河南省顶尖名校2021-2022学年高二上学期第二次素养调研（1月）理科数学试题（PDF版含答案）

河南省顶尖名校 2021-2022 学年高二上学期第二次素养调研
理科数学试卷
考生注意：
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的
答题区域内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．作．答．无．效．。
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。）
1. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）
(A) (3 2 , 2 2 , 2 ) ( 3 2 , 2 2 , 2 ) (B) (3 2 , 2 2 2. 和 . , )
10 5 2 10 5 2 10 5 2
(C) (3 2. , 2 2 , 2 ) 和 ( 3 2 , 2 2 , 2 ) (D) 3 2 2 2 2. ( , , )
10 5 2 10 5 2 10 5 2
x2 y2
2．已知点 (3, 2) 在椭圆 2 2 1上，则 （ ）a b
(A) .点 ( 3, 2) 不在椭圆上 (B) . 点 (3, 2) 不在椭圆上
(C) .点 ( 3,2)在椭圆上 (D) .无法判断点 ( 3, 2) 、 (3, 2) 、 ( 3,2)是否在椭圆上

3.平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AC1 xAB 2yBC 3zC1C ，
则 x y z （ ）
(A) .1 (B) 7. (C) . 5 (D) .2
6 6 3
4．已知向量a (0,0,1),b (0,1,1), 则a与b的夹角为 （ ）
(A) ．0° (B)．45° (C)．90° (D)．180°
5.已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的个
数是 （ ）
①PA⊥AD
②平面 ABC⊥平面 PBC
③直线 BC∥平面 PAE
④直线 PD与平面 ABC 所成角为30
(A)．1 个 (B) .2 个 (C) .3 个 (D) .4 个
6.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米.水下降 1 米后，
水面宽为 ( )
(A) . 3 米 (B) . 2 3 米
(C) . 6 米 (D) . 2 6 米
7．给出下列命题：
①直线 l的方向向量为a=(1,-1,2) 1，直线m的方向向量为b=(2,1,- )则 l m
2
②直线 l的方向向量为a=(0,1,-1)，平面 的法向量为n=(1,-1,-1)， l 则 l .
③平面 , 的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2)，则 // .
④平面 经过三点 A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面 的法向量，
则 u＋t＝1.
其中真命题的序号是 ( )
(A) .②③ (B) .①④ (C) .③④ (D) .①②
x2 16y2
8．若双曲线 2 1的左焦点在抛物线 y
2 2px的准线上，则 p的值为 （ ）
3 p
A. 2 B. 3 C. 4 D. 4 2
9．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，O 是底面
A1B1C1D1的中心，则点 O 到平面 ABC1D1的距离为( )
(A) .1 (B) . 2 (C) . 2 (D) . 3
2 4 2 2
x2 y2
10．若双曲线 2 2 1 ( a 0,b 0 )的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个, 则a b
双曲线离心率的取值范围是 ( )
(A) . e 2 (B) . 1 e 2 (C) . e 2 (D) .1 e 2
11. C y 2 4x y 2对于抛物线 ： ，我们称满足 0 4x0 的点M (x0 , y0 )在抛物线的内部.若点
M (x0 , y0 )在抛物线内部，则直线 l : y0 y 2(x x0 ) 与曲线 C （ ）
(A) . 恰有一个公共点 (B) . 恰有 2 个公共点
(C) . 可能有一个公共点，也可能有两个公共点 (D) . 没有公共点
x2 y2
12.已知 F1 、F2 是椭圆 2 2 1( a b 0 )的两个焦点, P是椭圆上任意一点,从任一焦a b
点引 F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足为Q , 则点Q的轨迹 ( )
(A) . 圆 (B) . 椭圆 (C) . 双曲线 (D) . 抛物线
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知命题 p： x∈R，x2＋x＋1>0，则 p 为 。
14.2021 年 2 月某地发生新冠肺炎疫情，急需从一所三甲医院的呼吸科抽调部分医生参加救
援，该呼吸科共有男女医生各 10 人，要求抽调的女医生至少有 1 人，男医生至少比女医生
多 2 人，为了保证该院呼吸科的正常运转，从该院呼吸科抽调的医生人数不能超过 10 人。
已知每名男医生一天可以给 40 名病人进行康复治疗，每名女医生一天可以给 35 名病人进行
康复治疗，那么应该从该呼吸科抽调男医生 人，女医生 人，从而使
每天获得康复治疗的病人最多。
15.在等比数列{an}中，a5－a3＝12，a6－a4＝24，记数列{an}的前 n 项和、前 n 项积分别为 Sn，
Sn 1
2
Tn，则 n＝ 时， 的值最大。
Tn
B C
16.在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， 3 bsin ＝asinB，△ABC 的
2
外接圆面积为 12π，则△ABC 面积的最大值是 。
三、解答题(本大题共 6个小题，共 70分)
17．(本题 10 分)如图所示，在空间四边形 ABCD中， E， F分别为 AB， AD的中点，G，
H 分别在BC，CD上，且BG :GC DH :HC 1: 2．求证：（1）E、F、G、H 四点共面；
（2） EG与HF的交点在直线 AC上．
18．在四棱锥 P﹣ABCD 中，∠ABC=∠ACD=90°，∠
BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA=2AB=2．求：
（1）求四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V；
（2）若 F 为 PC 的中点，求证 PC⊥平面 AEF．
19．(本题 12 分)抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按 80：1 的比例
随机抽取 200 人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为6组画出频率分布直方
图 (如图所示 )，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的 3 倍．
（1）若次数在120以上 (含120次 )为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀
学生的人数约为多少？
（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；
（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？
20．(本题 12 分)如图，四边形 ABCD是正方形，四边形 BEDF是菱形，平面 ABCD 平面
BEDF BD .
（1）证明： AE BD；
（2）若 AB BE，且平面 ABCD 平面 BEDF，求平面 ADE与平面 CDF所成的二面角的
正弦值.
21．(本题 12 分)某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：
表 1
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份序号 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
营业收入 y（亿元） 0.52 9.36 33.6 132 352 571 912 1207 1682 2135
由表 1，得到下面的散点图：
根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型 y bx2 a（b和 a是待定参数）来拟合 y
和 x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令 t x2 ，得 y bt a，由表 1 可得变换后的
数据见表 2.
表 2
t 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
y 0.52 9.36 33.6 132 352 571 912 1207 1682 2135
（1）根据表中数据，建立 y关于 t的回归方程（系数精确到个位数）；
（2）根据（1）中得到的回归方程估计 2021 年的营业收入，以及营业收入首次超过 4000
亿元的年份.
附：对于一组数据 u1,v1 , u2 ,v2 , , un ,vn ，其回归直线 v u 的斜率和截距的最小二
n
ui u vi v
乘估计分别为 i 1 n ， v u .
2 ui u
i 1
10 2 10
参考数据： t 38.5, y 703.45, t i t 1.051 10 4, t i t y i y 2.327 10 5 .
i 1 i 1
22．(本题 12 分)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1 平面 ABC， AB BC，
AA1 AB BC 2 .
（1）求证：BC1 平面 A1B1C；
B M 1
（2）点 M BC 1在线段 1 上，且 B C 3 ，试问在线段 A1B上是否存在一点 N，满足MN // 平面1
AN
A1ACC
1
1 ，若存在求 AB 的值，若不存在，请说明理由？1
理科数学答案
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B B A D B C B C D A
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
证明（1）∵BG :GC DH :HC，∴GH //BD． --------1 分
∵ E， F分别为 AB， AD的中点， --------3 分
∴ EF //BD，∴ EF //GH ，∴ E， F，G，H四点共面． --------5 分
（2）∵G，H不是 BC，CD的中点，
∴ EF //GH ，且 EF GH ，故 EFHG为梯形．
∴ EG与 FH 必相交，设交点为M ， -------6 分
∴ EG 平面 ABC，FH 平面 ACD，
∴M 平面 ABC，且M 平面 ACD， -------8 分
∴M AC，即GE与HF的交点在直线 AC上． -------10 分
18 5 3．(1) ，(2)见解析.
3
试题解析：
（1）在 Rt ABC中， AB 1, BAC 60 , BC 3, AC 2 .
在 Rt ACD中 AC 2, CAD 60 , ---------2 分
CD 2 3, AD 4, S 1 1ABCD AB·BC AC·CD --------4 分2 2
1 1 5
1 3 2 2 3 3 .
2 2 2
V 1 5 3 2 5则 3 . ---------6 分
3 2 3
（2） PA CA， F为 PC的中点， AF PC .
PA 平面 ABCD, PA CD . ---------8 分
AC CD,PA AC A, CD 平面 PAC, CD PC .
E为 PD中点，F 为 PC为中点， EF CD，则 EF PC . --------10 分
AF EF F , PC 平面 AEF . --------12 分
考点：四棱锥的体积公式；直线与平面垂直的判定与证明.
19．（1）8640；（2）第一组频率为0.03，第二组频率为0.09 ．频率分布直方图见解析；（3）
334
中位数为 ，均值为 121.9
3
（1）由频率分布直方图，分数在 120 分以上的频率为 (0.030 0.018 0.006) 10 0.54，
因此优秀学生有0.54 200 80 8640（人）； -------4 分
（2）设第一组频率为 x，则第二组频率为3x，
所以 x 3x 0.34 0.54 1， x 0.03，
第一组频率为0.03，第二组频率为0.09 ． -------6 分
频率分布直方图如下： -------8 分
（3）前 3 组数据的频率和为 (0.003 0.009 0.034) 10 0.46，中位数在第四组，
n n 110设中位数为 ，则 0.3 0.46 0.5， n 334 ． ------10 分
120 110 3
均值为0.03 95 0.09 105 0.34 115 0.3 125 0.18 135 0.06 145 121.9．------12 分
20 1 2 2 2．（ ）证明见解析；（ ） .
3
（1）证明：如图，连接 AC交 BD于点O，连接OE．
四边形 ABCD为正方形，
BD OA，且O为BD的中点．
又 四边形BEDF为菱形，
BD OE． -------2 分
∵OA OE O，OA，OE 平面OAE，
BD 平面OAE， -------4 分
又 AE 平面 OAE
BD AE． --------6 分
（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设 AB 2 ，
则 BD 2 2 ，OE 2 ，
则 A(2,0,0),D(0,0,0),C(0, 2,0)．
由（1）得OE BD，
又 平面 ABCD 平面 BEDF，平面 ABCD 平面 BEDF BD，
OE 平面 ABCD，故 E(1,1, 2)，同理F (1,1, 2) ，

DA (2,0,0),DE (1,1, 2),DC (0, 2,0),DF (1,1, 2)． ------8 分

m (x 设 1, y1, z1)为平面DAE的法向量， n (x2 , y2 , z2 )为平面DCF的法向量，

m ·DA 2x1 0，
则 故可取m (0, 2,1)，
m·DE x1 y1 2z1 0，

n ·DC 2y2 0，
同理 故可取 n ( 2,0,1)， -------10 分
n·DF x2 y2 2z2 0，
m ·n 1 1
所以 cos m，n m n 3 3 3 ．
2
设平面 ADE与平面CDF所成的二面角为 1 2 2，则 sin 1 ，
3 3
所以平面 ADE与平面CDF 2 2所成的二面角的正弦值为 ． -------12 分
3
21．（1） y 22t 144 ；（2）估计 2021 年的营业收入约为 2518 亿元，估计营业收入首次超
过 4000 亿元的年份为 2024 年.
10
ti t yi y
b i 1 2.327 10
5
（1） 10 22， --------3 分
t t 2 1.051 10
4
i
i 1
a y b t 703.45 22 38.5 144 ， --------5 分
故回归方程为 y 22t 144 . --------6 分
（2）2021 年对应的 t的值为 121，营业收入 y 22 121 144 2518，
所以估计 2021 年的营业收入约为 2518 亿元. -------8 分
依题意有 22t 144 4000，解得 t 188.4，故 x2 188.4 .
因为13 188.4 14， -------10 分
所以估计营业收入首次超过 4000 亿元的年份序号为 14，即 2024 年.--------12 分
AN 2
22．（1 1）证明见解析；（2）存在， AB 的值为 .1 3
（1）在三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1 平面 ABC， AB BC， AA1 AB BC 2 .
∴ BC1 B1C，BB1 A1B1， A1B1 B1C1，
∵ BB1 B1C1 B1 ， ------2 分
∴ A1B1 平面 BBC1B1，
∵BC1 平面 BBC1B1，
∴ A1B1 BC1， -------4 分
∵ A1B1 B1C B1 ，
∴BC1 平面 A1B1C . -------5 分
（2）以 B为原点， BC为 x轴， BA为 y轴， BB1 为轴，建立空间直角坐标系，如图，
A 0,2,0 C 2,0,0 C1 2,0, 2 ， B 0,0,0 ， B1 0,0,2 ， A1 0, 2, 2 ，

所以CA 2, 2,0 ，CC 0,0, 2 ， --------7 分1

n C A 2x 2y 0设平面 ACC1A1 的法向量 n x, y, z ，则 n
，
CC1 2z 0

取 x 1，得 n 1,1,0 ， --------8 分
B M 1
点 M BC 1在线段 1 上，且 A BB C 3 ，点 N在线段 1 上，设M a,b,c ， N x, y, z ，1
A1N 设 A B ，则 B1C 3B M，1 A N A B， 0≤ ≤1，1 11
即 2,0, 2 3 a,b,c 2 ， x, y 2, z 2 0, 2, 2
M 2 ,0, 4 解得 ， N 0,2 2 , 2 2 3 3 ，

MN 2 , 2 2 ,
2
2 ， -------10 分
3 3
∵MN //平面A1ACC1，
2 AN
∴ n MN 2 2 0
2 1 2
，解得 .∴ 的值为 . --------12 分
3 3 A1B 3