河南省南阳市部分示范高中12-13学年高二上学期期中考试（数学理）

2012年秋期南阳市部分示范高中期中考试二年级
数学试题（理）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷 (选择题)第Ⅱ卷 (非选择题) 和答题卷三部分，共150分，考试时间120分钟。
2．答题前，务必将自己的姓名考号填写在机读卡和答题卷规定的位置上；所有题目必须在答题
卷上作答，在试题卷上答题无效。
请将本试卷第Ⅰ卷 (选择题)第Ⅱ卷 (非选择题)两部分答案答在答题卷上指定区域内，超出答
题区域的无效。用机读卡的同学直接把第Ⅰ卷 (选择题)的答案用2B铅笔将答题卡上对应题
目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
4．考试结束后，将答题卷和机读卡交上，试题卷自己保存。
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：(每小题5分，共60分，在每小题答案中只有一项是符合题目要求的)
1. 满足A=45°,c= ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．不确定
2. 等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于 ( 　)
A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不对
3. 等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于 （ ）
A．160 B．180 C．200 D．220
4.在等比数列中，若则为 （ ）
A. B. C.100 D.50
5. 若△ABC的内角A、B、C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B等于 （ ）
A. B. C. D.
6. 在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC是 （ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7. 已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于 （ ）
A. B. C. D.
8.设是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知则 （ ）
A． B． C． D．
9. 设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则
＋的最小值为 （ ）
A. B. C. D．4
10. 在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则 （ ）
A．－111.锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B＝2A，则的取值范围是（ ）
A．(1,2) B．(0,2) C．(，2) D．(，)
12.设数列是首项为50，公差为2的等差数列，是首项为10，公差为4的等差数列，
以为相邻两边的矩形内的最大圆面积记为若则 （ ）
A. B. C. D. [来源:21世纪教育网]
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：(每小题5分，共20分，请将符合题意的最简答案填在题中横线上)
13．在等比数列中，各项都是正数，则
14. 当时，不等式恒成立，则m的取值范围是 ．
15. 已知命题：“在等差数列中，若则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为
16. 在中，角的对边分别为，下列四个论断正确的是__ _____．（把你认为正确的论断都写上）
①若，则；
②若，则满足条件的三角形共有两个；
③若成等差数列，成等比数列，则为正三角形；
④若，则．
三、解答题：（解答题必须写出解题步骤和必要的文字说明，共70分）21世纪教育网
17．(10分)在△ABC中，若8·sin2－2cos 2A＝7.
(1)求角A的大小；
(2)如果a＝，b＋c＝3，求b，c的值．
18. (12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；[来源:21世纪教育网]
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
19．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当bn＝log (3an＋1)时，求证：数列的前n项和Tn＝.
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20. (12分)祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作实验
区和台湾农业创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、
审批一站式服务.某台商到大陆创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费
12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万元。设f（n）表示前n年的纯
收入（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）
（1）从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：(年平均利润最大时以48万美元
出售该厂；(纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？
21. (12分)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和
Sn＝f(n)－1.
(1)求数列{an}的通项公式；[来源:21世纪教育网][21世纪教育网
(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
22．(12分)已知函数数列满足
（1）求证：
（2）求数列的通项公式；
（3）若求中的最大项.
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高二数学理科试卷参考答案21世纪教育网
一 、选择题：AABCD ACBAC DB
二 、填空题:13.7 14. 15.18 16. ①③
三 、解答题：
17.解： (1)∵＝－，∴sin ＝cos ，∴原式可化为8cos2－2cos 2A＝7，
∴4cos A＋4－2(2cos2A－1)＝7，∴4cos2A－4cos A＋1＝0，解得cos A＝，∴A＝60°.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2－bc＝3.
又∵b＋c＝3，∴b＝3－c，代入b2＋c2－bc＝3，并整理得c2－3c＋2＝0，
解之得c＝1或c＝2，∴或
18. 解：(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2(2)∵f(x)＝x2－2x－8.当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当x＝3时等号成立)．
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
19. (1)解：由已知(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)．∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．又a2＝S1＝a1＝，∴an＝a2×n－2(n≥2)． ∴an＝
(2)证明：bn＝log(3an＋1)＝log＝n. ∴＝＝－.
∴Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
20.解：(1)设从第年开始获取纯利润，则
整理得，解得： ∴从第三年开始获取纯利润.
(2)方案1：年平均利润为
当且仅当即时取等号 ∴总利润为（万元）
方案2：纯利润总和为
∴时，∴总利润为（万元）
由于方案1用时较短，故方案1最合算
21.解：(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，∴数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，对n＝1时也适合，∴an＝2n－1.
(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，∴anbn＝n·2n－1.Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②由①－②得：－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，
所以Tn＝(n－1) 2n＋1.
22.解：(1)
又 即
(2)由(1)知： 即
是以为公比的等比数列. 又
(3)由题意可知，
令 则且[来源:21世纪教育网]
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且
时，取最大值为，此时
中的最大项为