甘肃省白银市会宁县2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学（理）试题（Word版含答案）

会宁县2021~2022学年度第一学期高二级期末质量监测考试
理科数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b等于（ ）
A． B．2 C． D．4
3．已知向量，，且，则实数x等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如果，那么下面成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若a，b都是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则的最小值为（ ）
A．32 B．36 C．39 D．45
8．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
9．等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（ ）
A．72 B．90 C．36 D．45
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则为（ ）
A．等腰三角形 B直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在双曲线上，且轴，若，则双曲线的两心率等于（ ）
A． B． C．2 D．3
12．已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9．则b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x，y满足不等式组，则的最大值为______．
14．已知双曲线的渐近线方程为，则其离心率为______．
15．在等比数列中，，则______
16．已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过点F和的直线l与抛物线C交于P，Q两点．若，则______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）
已知集合，，若，且“”是“”的充分不必要条件，求数a的取值范围．
18．（12分）
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，求的面积的最大值．
19．（12分）
已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为2．
（1）求实数p的值；
（2）若直线l过C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．
20．（12分）
已知是各项均为正数的等比数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列通项公式为，求数列的前n项和．
21．（12分）
如图，在三棱柱中，四边形为矩形，，，点E为棱的中点，．
（1）求证：平面平面;
（2）求平面AEB与平面夹角的余弦值．
22．（12分）
已知椭圆的离心率为，点为椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴．求证：直线MN的斜率为定值．
会宁县2021~202学年度第一学期高二级期末质量监测考试·理科数学（B卷）
参考答案、提示及评分细则
1．C
2．A ．
4．C 对于A中，当时，，所以不正确；对于B中，因为，根据不等式的性质，可得，所以不正确；对于C中，由，可得，，可得，所以，所以正确；对于D中，由，可得，，则，所以，所以不正确．
5．A ，．
6．C ∵，∴椭圆右焦点坐标为，故抛物线的准线方程为．
7．B 由（当且仅当时取“”）．
8．C
9．B 由题意知：，，又，，成等比数列，∴，解之得，
∴，则，∴．
10．B 由余弦定理，∴，又，∴，故为直角三角形．
11．B ∵，∴设，，∴，
∵，∴，∴，故双曲线的离心率为．
12．C 由条件可知，，
即，解得：．
13．10 作出可行域，可知，时，的最大值为10．
14． 由渐近线方程可知，．
15．16 ，∴，，∴，．
16．9 由抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，所以，所以抛物线方程为．因为，，所以点P的纵坐标为1，代入抛物线方程，可得点P的横坐标为，不妨设，则，故直线l的方程为，将其代入得，可得，故．
17．解：由“”是“”的充分不必要条件得集合A是的真子集，且．
又，∴，∴，实数a的取值范为．
18．解：（1）由正弦定理及，得
，
∵，．
∵，∴．
（2）由余弦定理，∴，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的面积的最大值为．
19．解：（1）抛物线焦点为，准线方程为，
因为点到焦点F距离为2，所以，解得．
（2）抛物线C的焦点坐标为，
当斜率不存在时，可得不满足题意，
当斜率存在时，设直线l的方程为．
联立方程，得，
显然，设，，则，
所以，解得，．
所以直线l的方程为或．
20．解：（1）设的公比为q，由题意知：，，
又，解得，，所以．
（2），令，则，
因此，
又，
两式相减得，
所以．
21．（1）证明：由三棱柱的性质及可知四边形为菱形
又∵
∴为等边三角形，∴，
又∵，∴，∴
又∵四边形为矩形，∴
又∵，∴平面
又∵平面ABC，∴平面平面
（2）以点B为原点，BE为x轴，为y轴，BA为E轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，
设平面的法向量为
则，即，
∴
又∵平面ABE的法向量为
∴
∴平面ABE与平面夹角的余弦值为．
22．（1）解：∵椭圆的离心率，又，∴．
∵椭圆经过点，解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）证明：∵的角平分线总垂直于y轴，∴MP与NP所在直线关于直线对称．
设直线MP的斜率为k，则直线NP的斜率为
∴设直线MP的方程为，直线NP的方程为
设点，．
由，消去y，得，
∵点在椭圆C上，则有，即．
同理可得．
∴，又，
∴直线MN的斜率为．