河北省保定市定州市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

定州市2021-2022学年高二上学期期末考试
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．在等比数列中，，则必有（ ）
A. B． C． D．
3．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（ ）
A. B． C． D．
5．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m
6．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（ ）
A． B． C． D．
8．的最小值为（ ）
A．5 B． C．6 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线C的方程为，则（ ）
A．曲线C可能是直线 B当时，直线与曲线C相切
C．曲线C经过定点 D．当时，直线与曲线C相交
10．设等差数列的前n项和为，，公差为d，，，则（ ）
A． B．当时，取得最大值
C． D．使得成立的最大自然数n是15
11．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则（ ）
A． B．异面直线BE与CD所成角的余弦值为
C．点B到平面PCD的距离为 D．BC与平面PCD所成的角为
12．已知A，B，C是椭圆M：上三点，且A（A在第一象限），B关于原点对称，，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为，则（ ）
A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的离心率为
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：平行，则双曲线C的离心率是______．
14．将由2，5，8，11，14，…组成的等差数列，按顺序写在练习本上，已知每行写13个，每页有21行，则5555在第______页第______行．（用数字作答，本题第一空2分，第二空3分）
15．设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______．（本题第一空3分，第二空2分）
16．已知数列满足，将数列按如下方式排列成新数列：，，，，，，，，，…，，…．则新数列的前70项和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知圆O：与圆C：．
（1）在①，②这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答．
若______，判断这两个圆的位置关系；
（2）若，求直线被圆C截得的弦长．
注：若第（1）问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分．
18．（12分）
等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前n项和．若，求m的值．
19．（12分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（12分）
如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，．
（1）证明：．
（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值。
21．（12分）
已知数列和满足，．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，，证明为等差数列，并求和的通项公式．
22．（12分）
已知抛物线C：的焦点为F，为抛物线C上一点，且．
（1）求抛物线C的方程：
（2）若以点为圆心，为半径的圆与C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于D，E两点，若，证明直线DE过定点．
定州市2021-2022学年高二上学期期末考试
数学参考答案
1．C 由题意可得直线l的斜率，则直线l的倾斜角为120°．
2．A 因为，且，所以．
3．C 因为，所以，则A错误；因为，所以B错误；因为，所以C正确；因为，所以D错误．
4．C ，对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，．所以数列不是递增数列．
6．A 如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上．
设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，解得．因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m．
6．B 因为，，所以．
7．B ．
8．C 设，则，则曲线为抛物线的右半部分．抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P到准线l：的距离为，
则
．
9．ACD 当时，曲线C是直线，A正确．由，得，
令得，所以曲线C经过定点，C正确．当时，曲线C为圆，且圆心为，半径，因为到直线的距离，到直线的距离，所以B错误，D正确．
10．ABC 因为，，所以，则．当时．取得最大值．．因为，，，所以使得成立的最大自然数n是16．
11．BCD 以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．，，，，则．
，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为．
设平面PCD的法向量为，
则即解得
令，则，，所以平面PCD的一个法向量为．
则，所以点B到平面PCD的距离为，又，所以BC与平面PCD所成的角为．
12．AC 设，，，则，
，，两式相减并化简得，
即，则．
又，，所以，则，即，
解得，所以．
13． 由题意可得双曲线C的渐近线方程为，则，即，故双曲线C的离心率．
14．7；17 由2，5，8，11，14，…组成的等差数列的通项公式为，令，解得．
又，，．所以555在第7页第17行．
15．；l（注：第一空答案也可以写为）因为，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为，，所以，，，所以动点P的轨迹方程为．
故P到坐标原点的距离的最小值为．
16． 当时，；当时，，则，即．
又满足，所以．
由，得．
令，则，
两式相减得，则．
所以新数列的前70项和为．
17．解：（1）选①．
17．解：（1）选①．
圆O的圆心为，半径为l；
圆C的圆心为，半径为．因为两圆的圆心距为，
且两圆的半径之和为．所以两圆外离．
选②．
圆O的圆心为，半径为1．圆C的圆心为，半径为2．
因为两圆的圆心距为．且两圆的半径之和为，所以两圆外切．
（2）因为点C到直线的距离，
所以直线被圆C截得的弦长为．
18．解：（1）设的公比为q，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由，得，解得．
若，则．由，得，因为，所以此方程没有正整数解．
综上，．
19．解：（1）当时，．
当时，，
因为当时，，所以．
（2）因为，
所以
．
20．（1）证明：连接DE．
因为，且D为AC的中点，所以．
因为，且D为AC的中点，所以．
因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面BDE．
因为，所以平面BDE，所以．
（2）解：由（1）可知．
因为平面平面ACE，所以平面ABC，所以DC，DB，DE两两垂直．
以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设．则，，．从而，．
设平面BCE的法向量为，
则令，得．
平面ABC的一个法向量为．
设二面角为，由图可知为锐角，
则．
21．解：（1）当，时，，所以，即，
整理得，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
故，即．
（2）当时，由，，得，所以．
因为，所以，
则是以为首项，2为公差的等差数列，，；
是以为首项，2为公差的等差数列，，．
综上所述，．
所以，，故是以2为首项，1为公差的等差数列．
当时，，且满足，所以．
22．（1）解：因为为抛物线C上一点，且，
所以到抛物线C的准线的距离为2．
则，，
则，所以，故抛物线C的方程为．
（2）证明：由（1）知，则圆P的方程为．
设，，将与圆P的方程联立，可得，
则，．直线DE的斜率为，
则直线DE的方程为，即，
即，故直线DE过定点．