河北省衡水市部分学校2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 河北省衡水市部分学校2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 741.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-16 13:21:58 | ||
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文档简介
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衡水市部分学校2021-2022学年高二上学期期末联考
数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（ ）．
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
3．若圆与圆内切，则实数（ ）．
A． B．7 C．或7 D．9
4．已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
5．若，且，则“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则这个新数列各项之和为（ ）．
A．6923 B．6921 C．8483 D．8481
7．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵中，若，，点P为线段的中点，则点P到平面的距离为（ ）．
A．3 B．1 C． D．
8．已知直线l与曲线和曲线都相切，则直线l在y轴上的截距为（ ）．
A． B． C．或 D．4
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列求导错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线l恒过定点
B．直线l与圆O相交
C．当时，直线l被圆O截得的弦长为2
D．直线l被圆O截得的最短弦的长度为
11．已知函数，将函数的图象上所有点的橫坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数的图象，则以下结论正确的是（ ）．
A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．的单调递减区间为
D．若在区间上的最大值为0，最小值为，则t的取值范围为
12．在数列中，记为不超过的最大整数，则数列称为的取整数列．设数列满足，，，记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）．
A．数列是等差数列 B．
C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则______．
14．已知函数同时具有下列性质：①；②是奇函数；③的最大值为3．请写出一个符合函数条件的解析式______．
15．一张B4纸的厚度为0.09mm，将其对折后厚度变为0.18mm，第2次对折后厚度变为0.36mm，…．设，第次对折后厚度变为，则______；记，则数列的前n项和______．
16．已知抛物线的焦点为F，F关于原点的对称点为A，C上的动点M在x轴上的射影为B，则的最小值为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设，证明：曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1．
18．（本小题满分12分）
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若的外接圆半径为2，且，求的面积．
19．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，，记．
（1）证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（本小题满分12分）
2021年4月6日，我国发表了《人类减贫的中国实践》白皮书，白皮书提到占世界人口近五分之一的中国全面消除绝对贫困，提前10年实现减贫目标．为帮助村民巩固脱贫成果，某村委会积极引导村民种植一种名贵中药材，并成立药材加工厂对该药材进行切片加工，包装成袋出售．已知这种袋装中药的质量以某项指标值为衡量标准，k值越大，质量越好，该质量指标值的等级及出厂价如下表所示：
质量指标值k
等级 三有 二级 一级 优级
出厂价（元/袋） 100 120 150 190
该药材加工厂为了解生产这种袋装中药的经济效益，从所生产的这种袋装中药中随机抽取了1000袋，测量了每袋中药成品的k值，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）视频率为概率，求该药材加工厂所生产的袋装中药成品的质量指标值k的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（2）现将该种袋装中药放在某药店出售，在某天进店的甲、乙、丙3位顾客中，购买此款袋装中药的概率分別为，，，且三人是否购买互不影响，试求这3人中恰有2人购买此款袋装中药的概率；
（3）假定该中药加工厂一年的袋装中药的产量为10万袋，且全部都能销售出去，若每袋袋装中药的成本为90元，工厂的设备投资为200万元，问：该中药加工厂是否有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资？并说明理由．
21．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，侧面为矩形，且侧面侧面，，．
（1）证明：平面；
（2）若点D为棱的中点，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
（1）求C的标准方程；
（2）若C的左、右顶点分别为A，B，过C的右焦点F的直线交C于M，N两点，问：直线AM与直线BN的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
衡水市部分学校2021-2022学年高二上学期期末联考数学参考答案
一、选择题
1．D
【解析】由，得，
∴，故直线l的倾斜角为150°．故选D．
2．B
【解析】，，故．故选B．
3．A
【解析】圆的方程可配方为，
由已知得圆心为，半径，圆心，半径，
由两圆内切，得，于是得，解得．故选A．
4．C
【解析】因为在R上单调递增，，
所以由，得，即，解得．故选C．
5．B
【解析】若，则，则，
若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，
但当n为负数时，不能推出“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，
故“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选B．
6．C
【解析】由题意可知数列既是3的倍数，又是5的倍数，
因此数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，
，令，解得，
因此这个新数列的最后一项为，
设新数列的前n项和为，则．故选C．
7．D
【解析】如图，在堑堵中，
由可知，．
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，取，得，
设点P到平面的距离为d，
则．故选D．
8．B
【解析】设，，
则，．
设上的切点为，上的切点为，
则，则．又，，
所以，故，．
故．故选B．
二、选择题
9．AB
【解析】，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D正确．故选AB．
10．BD
【解析】直线整理得，故直线过定点，故A错误；
由于点在圆O内，故直线l与圆O相交，B正确；
当时，直线过圆心O，故直线l被圆O截得的弦为直径，其长为4，C错误；
当点为弦的中点时，直线l被圆O截得的弦最短，
此时的弦长为，故D正确．故选BD．
11．BCD
【解析】易求得，A错误；
当时，，此时取得最大值，
故直线是图象的一条对称轴，B正确；
令，解得．
故函数的单调递减区间为，故C正确；
当时，，
若在区间上的最大值为0，最小值为，
则，解得，D正确．故选BCD．
12．AC
【解析】由，得，
∴，且，
因此，数列是以4为首项，以2为公差的等差数列，故A正确；
∴，
∴，
∴，故B错误；
则，，当时，，则，
则，即，故，C正确；，，
当时，，
综上所述，，D错误．故选AC．
三、填空题
13．7
【解析】由，得，所以，解得，，∴．
14．（答案不唯一）
【解析】由，
是奇函数，的最大值为3，
所以函数符合题意．
15．5.76
【解析】因为每对折一次，纸张的厚度增加一倍，所以数列是首项为0.18，公比为2的等比数列，
所以，；
，
所以．
16．
【解析】由已知可得，，
则点A在C的准线上，根据对称性，不妨设在第一象限，
如图所示，过点M作于点D，
则点B在线段MD上，
且，，
当取最小值时，取最大值，
，
当时，等号成立，故，所以的最小值为．
四、解答题
17．解：∵当时，，∴，
又，
∴，∴点处的切线方程为，
即，当，当，
∴，
故命题得证．
18．解：（1）由已知及正弦定理得，
又，∴，∴，
∴，
∴，即，∴，又，∴．
（2）∵的外接圆半径，
∴，∴，
由余弦定理得，
即，则，
∴的面积．
19．解：（1）由，得，
当时，由，可得，
上述两式作差得，
整理得，即，所以，
当时，，所以，，
所以是以为首项，公比为3的等比数列，所以．
（2）由（1）可得，，
所以，
令，，
作差得，
，所以．
20．解：（1）平均数为，，
故可以估计该中药加工厂生产的袋装中药的质量指标值的平均数为71．
（2）这3人中恰有2人购买此款袋装中药的概率为
．
（3）设每袋袋装中药的销售利润为z元，
则样本中每袋的平均利润为（元/袋）
利用样本平均数估计总体平均数可得该厂一年内生产该袋装中药的盈利约为
（元）＝360万元，
因为360万元＞200万元，故该中药加工厂有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资．
21．解：（1）连接，
因为侧面为矩形，所以，又，
所以，即． ①
因为侧面侧面，侧面侧面，
，面，所以平面，
又平面，
所以， ②
由①②及，得平面．
（2）由（1）知：，，，
以A为原点，以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
由已知，得，，，，
由D为棱的中点，得，∴，，．
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得．
由（1）知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
22．解：（1）由题意可得，解得，
所以C的标准方程为．
（2）易知，，．
当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，
联立方程，消去x整理得，
则，解得，
∴，，
分别记直线AM，BN的斜率为，，则，，
∴，又，
∴，即为定值．
即直线AM与直线BN的斜率之比为定值．
衡水市部分学校2021-2022学年高二上学期期末联考
数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（ ）．
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
3．若圆与圆内切，则实数（ ）．
A． B．7 C．或7 D．9
4．已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
5．若，且，则“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则这个新数列各项之和为（ ）．
A．6923 B．6921 C．8483 D．8481
7．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵中，若，，点P为线段的中点，则点P到平面的距离为（ ）．
A．3 B．1 C． D．
8．已知直线l与曲线和曲线都相切，则直线l在y轴上的截距为（ ）．
A． B． C．或 D．4
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列求导错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线l恒过定点
B．直线l与圆O相交
C．当时，直线l被圆O截得的弦长为2
D．直线l被圆O截得的最短弦的长度为
11．已知函数，将函数的图象上所有点的橫坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数的图象，则以下结论正确的是（ ）．
A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．的单调递减区间为
D．若在区间上的最大值为0，最小值为，则t的取值范围为
12．在数列中，记为不超过的最大整数，则数列称为的取整数列．设数列满足，，，记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）．
A．数列是等差数列 B．
C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则______．
14．已知函数同时具有下列性质：①；②是奇函数；③的最大值为3．请写出一个符合函数条件的解析式______．
15．一张B4纸的厚度为0.09mm，将其对折后厚度变为0.18mm，第2次对折后厚度变为0.36mm，…．设，第次对折后厚度变为，则______；记，则数列的前n项和______．
16．已知抛物线的焦点为F，F关于原点的对称点为A，C上的动点M在x轴上的射影为B，则的最小值为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设，证明：曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1．
18．（本小题满分12分）
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若的外接圆半径为2，且，求的面积．
19．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，，记．
（1）证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（本小题满分12分）
2021年4月6日，我国发表了《人类减贫的中国实践》白皮书，白皮书提到占世界人口近五分之一的中国全面消除绝对贫困，提前10年实现减贫目标．为帮助村民巩固脱贫成果，某村委会积极引导村民种植一种名贵中药材，并成立药材加工厂对该药材进行切片加工，包装成袋出售．已知这种袋装中药的质量以某项指标值为衡量标准，k值越大，质量越好，该质量指标值的等级及出厂价如下表所示：
质量指标值k
等级 三有 二级 一级 优级
出厂价（元/袋） 100 120 150 190
该药材加工厂为了解生产这种袋装中药的经济效益，从所生产的这种袋装中药中随机抽取了1000袋，测量了每袋中药成品的k值，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）视频率为概率，求该药材加工厂所生产的袋装中药成品的质量指标值k的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（2）现将该种袋装中药放在某药店出售，在某天进店的甲、乙、丙3位顾客中，购买此款袋装中药的概率分別为，，，且三人是否购买互不影响，试求这3人中恰有2人购买此款袋装中药的概率；
（3）假定该中药加工厂一年的袋装中药的产量为10万袋，且全部都能销售出去，若每袋袋装中药的成本为90元，工厂的设备投资为200万元，问：该中药加工厂是否有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资？并说明理由．
21．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，侧面为矩形，且侧面侧面，，．
（1）证明：平面；
（2）若点D为棱的中点，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
（1）求C的标准方程；
（2）若C的左、右顶点分别为A，B，过C的右焦点F的直线交C于M，N两点，问：直线AM与直线BN的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
衡水市部分学校2021-2022学年高二上学期期末联考数学参考答案
一、选择题
1．D
【解析】由，得，
∴，故直线l的倾斜角为150°．故选D．
2．B
【解析】，，故．故选B．
3．A
【解析】圆的方程可配方为，
由已知得圆心为，半径，圆心，半径，
由两圆内切，得，于是得，解得．故选A．
4．C
【解析】因为在R上单调递增，，
所以由，得，即，解得．故选C．
5．B
【解析】若，则，则，
若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，
但当n为负数时，不能推出“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，
故“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选B．
6．C
【解析】由题意可知数列既是3的倍数，又是5的倍数，
因此数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，
，令，解得，
因此这个新数列的最后一项为，
设新数列的前n项和为，则．故选C．
7．D
【解析】如图，在堑堵中，
由可知，．
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，取，得，
设点P到平面的距离为d，
则．故选D．
8．B
【解析】设，，
则，．
设上的切点为，上的切点为，
则，则．又，，
所以，故，．
故．故选B．
二、选择题
9．AB
【解析】，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D正确．故选AB．
10．BD
【解析】直线整理得，故直线过定点，故A错误；
由于点在圆O内，故直线l与圆O相交，B正确；
当时，直线过圆心O，故直线l被圆O截得的弦为直径，其长为4，C错误；
当点为弦的中点时，直线l被圆O截得的弦最短，
此时的弦长为，故D正确．故选BD．
11．BCD
【解析】易求得，A错误；
当时，，此时取得最大值，
故直线是图象的一条对称轴，B正确；
令，解得．
故函数的单调递减区间为，故C正确；
当时，，
若在区间上的最大值为0，最小值为，
则，解得，D正确．故选BCD．
12．AC
【解析】由，得，
∴，且，
因此，数列是以4为首项，以2为公差的等差数列，故A正确；
∴，
∴，
∴，故B错误；
则，，当时，，则，
则，即，故，C正确；，，
当时，，
综上所述，，D错误．故选AC．
三、填空题
13．7
【解析】由，得，所以，解得，，∴．
14．（答案不唯一）
【解析】由，
是奇函数，的最大值为3，
所以函数符合题意．
15．5.76
【解析】因为每对折一次，纸张的厚度增加一倍，所以数列是首项为0.18，公比为2的等比数列，
所以，；
，
所以．
16．
【解析】由已知可得，，
则点A在C的准线上，根据对称性，不妨设在第一象限，
如图所示，过点M作于点D，
则点B在线段MD上，
且，，
当取最小值时，取最大值，
，
当时，等号成立，故，所以的最小值为．
四、解答题
17．解：∵当时，，∴，
又，
∴，∴点处的切线方程为，
即，当，当，
∴，
故命题得证．
18．解：（1）由已知及正弦定理得，
又，∴，∴，
∴，
∴，即，∴，又，∴．
（2）∵的外接圆半径，
∴，∴，
由余弦定理得，
即，则，
∴的面积．
19．解：（1）由，得，
当时，由，可得，
上述两式作差得，
整理得，即，所以，
当时，，所以，，
所以是以为首项，公比为3的等比数列，所以．
（2）由（1）可得，，
所以，
令，，
作差得，
，所以．
20．解：（1）平均数为，，
故可以估计该中药加工厂生产的袋装中药的质量指标值的平均数为71．
（2）这3人中恰有2人购买此款袋装中药的概率为
．
（3）设每袋袋装中药的销售利润为z元，
则样本中每袋的平均利润为（元/袋）
利用样本平均数估计总体平均数可得该厂一年内生产该袋装中药的盈利约为
（元）＝360万元，
因为360万元＞200万元，故该中药加工厂有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资．
21．解：（1）连接，
因为侧面为矩形，所以，又，
所以，即． ①
因为侧面侧面，侧面侧面，
，面，所以平面，
又平面，
所以， ②
由①②及，得平面．
（2）由（1）知：，，，
以A为原点，以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
由已知，得，，，，
由D为棱的中点，得，∴，，．
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得．
由（1）知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
22．解：（1）由题意可得，解得，
所以C的标准方程为．
（2）易知，，．
当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，
联立方程，消去x整理得，
则，解得，
∴，，
分别记直线AM，BN的斜率为，，则，，
∴，又，
∴，即为定值．
即直线AM与直线BN的斜率之比为定值．
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