1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（1）课件(共23张PPT)-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共23张PPT)
1.4
空间向量的应用
第一章
1.4.2 用空间向量研究距离、
夹角问题（第1课时）
1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.
2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想.
核心素养：数学推理、数学运算.
学习目标
A
P
Q
l
我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等如何用空间向量解决这些距离问题呢？下面我们先研究用向量方法求直线外一点P到直线l的距离．
A
P
Q
l
思考
类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
A
P
Q
l
已知平面α的法向量为 ，A为平面α内的定点，P是平面α外一点。过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则 是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是 在直线l上的投影向量 的长度，因此：
一　点P到直线l的距离
新知学习
二　点P到平面α的距离
思考　怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？
两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离.
例1　如图1.4-18，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点。
（1）求点B到直线AC1的距离；
（2）求直线FC到平面AEC1的距离。
典例剖析
A
C
B
D
y
x
z
A1
B1
C1
D1
E
F
图1.4-18
A
C
B
D
y
x
z
A1
B1
C1
D1
E
F
图1.4-18
反思感悟
与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论．
跟踪训练
1.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离；
解　建立如图所示的空间直角坐标系，
设DH⊥平面PEF，垂足为H，
x＋y＋z＝1，
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解　连接AC，则AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，
平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，
反思感悟 用向量法求点面距的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量：求出相关向量的坐标( ，α内两不共线向量，平面α的法向量n).
(4)求距离d＝ .
即时巩固
1.已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为（ ）
C
2.已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________.
3.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.
解　因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，
4.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离.
解　以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，
5.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是（ ）
解析　分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
D
6.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，则点A到平面EFG的距离为________.
解析　建系如图，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
点A到平面EFG的距离为d，
令z＝1，此时n＝(1,1,1)，
7.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C 与平面A1C1D 之间的距离为（ ）
B
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1) ，
设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y，1) ，
显然平面AB1C∥平面A1C1D，
1.知识清单：
(1)点到直线的距离.
(2)点到平面的距离与直线到平面的距离.
2.方法归纳：数形结合、转化法.
3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础.
课堂小结