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3.7切线长定理
北师大版 九年级下册
复习回顾
1、什么叫切线的判定定理？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、什么是切线的性质定理？
圆的切线垂直于经过切点的半径．
情景导入
同学们打篮球吗？当你把篮球夹在腋下时，你能从中抽象出什么样数学图形？
新知讲解
B
A
大家知道，过圆上一点可以作圆的切线有且只有一条．借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.
思考：那么，过圆外一点P能作圆的几条切线呢？
O
P
议一议
A
B
O
P
如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点.
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
是轴对称图形，对称轴是直线 OP .
探究新知
（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.
PA = PB
A
B
O
P
切线长
切线长
探究新知
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
比一比
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
3.联系：都垂直于过切点的半径.
新知讲解
O.
P
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：∵PA切☉O于点A，
∴ OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP ≌ Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
A
B
归纳总结
B
P
O
A
切线长定理:
过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
注意
想一想
如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？
A
B
O
C
D
DN=DP，
AP=AL，
BL=BM，
CN=CM
L
M
N
P
典例精析
B
D
A
F
C
E
O
例、如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径.
典例精析
B
D
A
F
C
E
O
解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r.
在 Rt△ABC 中，AC = 10，BC = 24，
∴AB=26
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD⊥BE，AD = AF，CE = CF.
又∵∠C = 90°，
r
典例精析
∴ 四边形 OECF 为正方形.
∴ CE = CF = r.
∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r.
∴ AB = BD + AD = BE + AF = 24 – r + 10 – r
= 34 – 2r=26.
∴r=4
即⊙O 半径为4.
练一练
如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
B
P
O
A
20 °
4
课堂练习
1.如图，从⊙O外一点P 引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
A．4 B．8 C．4 D．8
2.如图，PA，PB 均为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD D．AB平分PD
B
D
课堂练习
3.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，若∠APB＝90°，OP＝4，则⊙O的半径为_______．
4.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为______．
2
2
课堂练习
5.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，求∠P的度数．
解：∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠AOB＝110°.
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠P＝360°－(∠AOB＋∠PAO＋∠PBO)＝360°－(110°＋90°＋90°)＝70°
课堂练习
6.如图，△ABC中，I 是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I 是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
作业布置
1.课本第96页习题3.9第1、2、3、4题
课堂小结
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
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3.7切线长定理教学设计
课题 切线长定理 单元 3 学科 数学 年级 九
学习 目标 1. 使学生理解切线长定义. 2. 使学生掌握切线长定理，并能初步运用.
重点 理解切线长定理并能应用.
难点 运用切线的性质定理解决问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.切线的性质是什么？ 同学们打篮球吗？当你把篮球夹在腋下时，你能从中抽象出什么样数学图形？ 学生自由讨论回答 让学生回顾直线与圆的位置关系，并在根据d=r判断直线和圆相切的过程中.明确用数量关系判断相切是常见的一种方法之一，在作图过程中体会判断圆的切线需要的条件，为下步归纳切线的判定定理作准备.
讲授新课 想一想:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条 学生迅速抢答:过圆外一点可以作一条、两条,还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作,教师巡视发现问题. 过圆外一点能画出两条圆的切线. 课件出示: 【议一议】 如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点. 问题:(1)这个图形是轴对称图形吗 如果是,它的对称轴是什么 学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线. 问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗 想一想：切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 3、联系：都垂直于过切点的半径。 上面我们了解了切线长的概念,那么过圆外一点所画的圆的两条切线的长度有什么关系呢 通过情境导入和上面对议一议第二个问题的探究,我们都得到了一个同样的结论切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等. 【想一想】 除了刚才我们利用轴对称的性质外,你还有其他的方法对切线长定理进行证明吗 学生分析:根据“见切点连半径”的思路,可以构造出两个直角三角形,再根据切线的性质证明两个三角形全等就可以得出PA=PB. 已知:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点. 求证:PA=PB. 证明:连接OA,OB,PO. ∵PA,PB是☉O的切线, ∴∠PAO=∠PBO=90°. 在Rt△OPA和Rt△OPB中, ∵OA=OB,OP=OP, ∴Rt△OPA≌Rt△OPB. ∴PA=PB. 符号语言描述: 若线段PA,PB是☉O的切线,则PA=PB. 【想一想】 如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系 与同伴进行交流. 为帮助学生更好地解决问题,教师出示下面的图形,帮助学生进行分析. 代表发言:∵四边形ABCD为圆外切四边形,根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH. 【问题】 但是原图中并没有E,F,G,H四个点,显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等,你还能得出线段之间的相等关系吗 证明:∵AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH, ∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)= AD+BC, 即AB+CD=AD+BC. 例、如图所示,在Rt△ABC中,C=90°,AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O的半径. 学生思考后得出PA=PB.教师要求学生说说理由. 要求学生先独立解答,完成后同伴相互交流,代表板演展示.学生完成后,教师课件出示解答过程,供学生参考,规范他们的解题步骤. 学生仔细观察,找出图中相等的线段后,与同伴交流,统一答案 学生分组讨论,教师巡视并参与到学生的讨论当中去,对感觉有难度的学生及时进行点拨、指正.每组的代表把得到的结论写在黑板上,统一学生的答案,教师找学生说明理由. 学生自主解答，老师订正 通过切线长概念的探究过程,不但了解了切线长的概念,而且通过对相等线段的判断,使学生初步感知了切线长定理的证明方法,为下面定理的证明打下良好的基础. 通过对切线长定理的证明,不但加深了对切线长定理的印象,还进一步掌握了切线的辅助线的做法,一举两得. 通过探究,使学生对切线长定理有了更深刻的理解,同时利用切线长定理的拓展也提高了学生分析问题、解决问题的综合能力. 本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点,通过对例题的解答,既巩固了本节课的重点,又培养了学生灵活应用切线长定理的能力.
课堂练习 1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( ) A．4 B．8 C．4 D．8 2.如图，PA，PB均为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是( ) A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 3.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，若∠APB＝90°，OP＝4，则⊙O的半径为_______． 4.如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为______． 5.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，求∠P的度数． 6.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 3.7切线长定理 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 如图，线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长． 切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线 相等. 符号语言： ∵PA、PB切⊙O于点A、B， ∴PA=PB投 影 区 学 生 活 动 区
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