导数的概念及意义 教师版（Word版）

导数的概念及意义
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，
函数y＝f(x)的平均变化率为割线AB的斜率，如图所示．
【注意】Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式
实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用 刻画函数在某一点处变化的快慢
【注意1】“Δx无限趋近于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
【注意2】
“函数y＝f(x)在x＝x0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；
“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关．
3、导数的几何意义
（1）割线的定义：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．
（2）切线的定义：当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．
（3）导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
【进门测】设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变为x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【答案】D
【解析】函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与在x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
2、一物体运动方程是s＝2t2，则从2s到(2＋Δt)s这段时间内位移的增量Δs为________．
【答案】8Δt＋2(Δt)2
【解析】Δs＝2(2＋Δt)2－2(22)＝2[4＋4Δt＋(Δt)2]－8＝8Δt＋2(Δt)2.
【题型1 平均变化率】
求平均变化率的步骤：
（1）先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；
（2）再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；
（3）求平均变化率；
【注意】Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0
【例1】如图是函数y＝f(x)的图象，回答下列问题．
(1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为________．
【答案】 (1) (2)2
【解析】(1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝.
(2)函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为＝＝2.
【变式1-1】如图是函数y＝f(x)的图象，则
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
【答案】(1) (2)
【解析】 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
【变式1-2】（1）已知函数f(x)＝1－2x从x＝1到x＝2的平均变化率为k1，从x＝－2到x＝－1的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1＝k2 C．k1【答案】B
【解析】由平均变化率的几何意义知k1＝k2.
（2）函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为k2，则( )
A．k1>k2 B．k1【答案】A
【解析】∵k1＝＝2x0＋Δx， k2＝＝2x0－Δx，
又由题意知Δx>0，故k1>k2.
（3）已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较在两个区间上变化的快慢．
【解析】自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.
自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.由于<，
所以函数f(x)＝x＋在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢.
【变式1-3】（1）已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
【答案】C
【解析】＝＝＝＝2Δx＋4.
（2）若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3 C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
【答案】D
【解析】∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，∴＝＝－3－Δx.
【变式1-4】（1）求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？
【解析】在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx；
若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝，
由于k1＜k2＜k3，
故在x＝3附近的平均变化率最大．
（2）已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
（3）函数y＝－x2、y＝、y＝2x＋1、y＝在x＝1附近(Δx很小时)，平均变化率最大的一个是( )
A．y＝－x2 B．y＝ C．y＝2x＋1 D．y＝
【答案】C
【解析】y＝－x2在x＝1附近的平均变化率为k1＝－(2＋Δx)；
y＝在x＝1附近的平均变化率为k2＝－；
y＝2x＋1在x＝1附近的平均变化率为k3＝2；
y＝在x＝1附近的平均变化率为k4＝；
当Δx很小时，k1<0，k2<0,0【变式1-5】在表达式中，Δx的值不可能( )
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．大于0或小于0
【答案】C
【解析】Δx可正，可负，但不为0，故应选C.
【题型2 平均速度】
【例2】已知s(t)＝5t2.
(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；
(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；
【解析】(1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×(3.1)2－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，
∴＝＝30.5(m/s)．
(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，
Δs＝s(3.01)－s(3)，＝5×(3.01)2－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)，
∴＝＝30.05(m/s)．
【变式2-1】以初速度v0竖直上抛一物体的位移(单位：m)与时间(单位：s)的关系为：s(t)＝v0t－gt2.
(1)求物体从时刻t0到时刻t0＋Δt这段时间的平均速度；
(2)求物体在t＝10s到10.4s这段时间的平均速度．
【解析】(1)由t0到t0＋Δt，则改变量为Δt.
Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－v0t0＋gt＝Δtv0－gt0·Δt－g(Δt)2.
＝＝＝v0－gt0－gΔt.
(2)当t0＝10s，Δt＝0.4s，则物体在t＝10s到10.4s这段时间的平均速度
＝v0－10g－×g×0.4＝v0－10.2g(m/s)．
【变式2-2】甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A．v甲＞v乙
B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
【答案】B
【解析】设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，
s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
【题型3 瞬时变化率】
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，
若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，
则函数的平均变化率是＝＝.
而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．
(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．
【题型3 瞬时速度】
求运动物体瞬时速度的三个步骤：
（1）求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
（2）求平均速度＝；
（3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度。
【例3】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
【解析】 (1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
＝＝3－Δt，li ＝li (3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，
＝＝－1－Δt，
li ＝li (－1－Δt)＝－1，
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
【变式3-1】如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18 C．54 D．81
【答案】B
【解析】∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.
∴li ＝li (18＋3Δt)＝18，故应选B.
【变式3-2】某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是s，s是单位是m)，则它在4 s末的瞬时速度为( )
A. m/s B. m/s C．8 m/s D.m/s
【答案】B
【解析】由已知，得物体在4s末的瞬时速度为
li ＝li ＝li ＝li ，
∴li ＝8－＝.
【变式3-3】自由落体运动的公式为s(t)＝gt2(g＝10m/s2)，若，则下列说法正确的是( )
A．v是在0～1s这段时间内的速率
B．v是从1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．5Δt＋10是物体在t＝1s这一时刻的速率
D．5Δt＋10是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
【答案】D
【解析】v＝＝5Δt＋10，由平均速度的定义可知选D.
【题型4 函数在某点的导数】
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：
简称：一差、二比、三极限．
求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法：
（1）在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；
（2）求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可。
【例4】（1）已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0
【答案】C
【解析】f′(0)＝li ＝li ＝li (Δx－3)＝－3.故选C.
(2)函数f(x)＝在x＝1处的导数为________．
【答案】－
【解析】因为＝＝＝＝，
所以f′(1)＝li ＝li ＝－.
【变式4-1】设函数f(x)＝ax＋2，若f′(1)＝3，则a＝( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
【答案】C
【解析】f′(1)＝ ＝ ＝a＝3.
【变式4-2】求函数y＝x－在x＝1处的导数．
【解析】因为Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，
所以＝＝1＋.
当Δx→0时，→2，
所以函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
【变式4-3】（1）设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
【答案】C
【解析】f′(x0)＝li ＝li (a＋b·Δx)＝a.
（2）设函数y＝f(x)可导，则 等于( )
A．f′(1) B．3f′(1) C．f′(1) D．以上都不对
【答案】A
【解析】由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.]
【变式4-4】已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数．
【解析】(1)因为＝＝＝2＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2＋Δx无限趋近于2，所以f(x)在x＝1处的导数等于2.
(2)因为＝＝＝2a＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，
所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.
【题型5 对导数定义的理解】
瞬时变化率的变形形式：
【例5-1】若f(x)在x＝x0处存在导数，则 ( )
A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关 D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．
【例5-2】已知函数f(x)在x＝x0处的导数为4，则＝________.
【答案】8
【解析】li ＝li ＝2li ＝2f′(x0)＝2×4＝8.
【变式5-1】(1)已知，求.
【答案】4
【解析】li ＝(－2)×li ＝(－2)×(－2)＝4
（2）若可导函数f(x)的图象过原点，且满足，则f′(0)＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝li ＝li ＝－1，∴选B.
（3）设函数f(x)在x0处可导，求①；②
解：(1)li ＝－mli ＝－mf′(x0)．
(2)原式＝li
＝li －li
＝4li －5li ＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．
【变式5-2】设函数f(x)在x0处可导，求下列式子的值． .
【解析】 ＝ ＝f′(x0).
【变式5-3】若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则的值为( )
A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0
【答案】B
【解析】 ＝2
＝2 ＝2f′(x0)．
【变式5-4】已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
＝________.
＝________.
【答案】11 －
【解析】 ＝ ＝f′(x0)＝11；
＝－ ＝－f′(x0)＝－.
【题型6 导数的几何意义-切线问题】
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即
【进门测】过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
【解析】∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
∴割线PQ的斜率＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.
类型1 “在”点P处的切线
过曲线上一点求切线方程的三个步骤
【例6】已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率及切线方程．
【解析】因为＝＝5＋3Δx，
当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
所以切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
【变式6-1】求曲线f(x)＝x2＋1在点A(1,2)处的切线方程．
【解析】在曲线f(x)＝x2＋1上的点A(1,2)的附近取一点B，
设B点的横坐标为1＋Δx，
则点B的纵坐标为(1＋Δx)2＋1，
所以函数的增量Δy＝(1＋Δx)2＋1－2＝(Δx)2＋2Δx，
所以切线AB的斜率kAB＝＝Δx＋2，
∴ ＝ (Δx＋2)＝2，
这表明曲线f(x)＝x2＋1在点A(1,2)处的切线斜率k＝2．
∴所求切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
【变式6-2】求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
解：∵曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率
k＝y′＝＝(3Δx＋2)＝2，
∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，
由直线的点斜式，得y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0，
∴所求直线的方程为2x－y＋4＝0.
【变式6-3】若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )
A．(－1,2) B．(1，－3) C．(1,0) D．(1,5)
【答案】C
【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，
所以f′(x0)＝4x－1＝3，即x0＝1.
把x0＝1代入函数f(x)＝x4－x，得y0＝0，
所以点P的坐标为(1,0)．
“过”点P处的切线
过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤
(1)设切点为Q(x0，y0)；
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(3)利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
【例7】求抛物线f(x)＝x2过点的切线方程．
解：由于点不在抛物线上，所以可设切点为(x0，x)，
因为f′(x0)＝＝＝(2x0＋Δx)＝2x0，所以该切线的斜率为2x0，
又因为此切线过点和点(x0，x)，所以＝2x0，即x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3，
因此切点为(2,4)或(3,9)，所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)，
即y＝4x－4，y＝6x－9.
【变式7-1】已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
【解析】(1) ＝ ＝－.设过点A(1,0)的切线的切点为P，则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.
因为点A(1,0)，P在切线上，所以＝－，解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.所以切点坐标为或.
故满足斜率为－的曲线的切线方程为y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
【变式7-2】求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
【解析】设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，
当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.
因此，＝2a，解得a＝1±，
所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
【变式7-3】若直线y＝x是曲线y＝x3－3x2＋px的切线，则实数p的值为( )
A．1 B．2 C. D．1或
【答案】D
【解析】∵y′＝3x2－6x＋p，设切点为P(x0，y0)，
∴解得或
【变式7-4】已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
【解析】(1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x＋)，则切线的斜率为＝x.
∴切线方程为y－(x＋)＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
【题型8 导数几何意义的应用】
曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：
曲线f(x)在x＝x0附近 切线的斜率k 切线的倾斜角
f′(x0)>0 上升 k>0 锐角
f′(x0)<0 下降 k<0 钝角
f′(x0)＝0 k＝0 零角(切线与x轴平行)
【例8】下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
【答案】C
【解析】根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
【变式8-1】已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
【答案】B
【解析】由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)【变式8-2】如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则＝______.
【解析】由导数的概念和几何意义知，li ＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
【答案】－2
【变式8-3】函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A．0B．0C．0D．0【答案】B
【解析】f′(2)、f′(3)是x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f(3)－f(2)＝，
∴f(3)－f(2)是x为2和3时对应两点连线的斜率，故选B.
【变式8-4】函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．0B．0C．0D．0【答案】B
【解析】f′(a)，f′(a＋1)分别为曲线f(x)在x＝a，x＝a＋1处的切线的斜率，
由题图可知f′(a)>f′(a＋1)>0，
而f(a＋1)－f(a)＝表示(a，f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，
且在f′(a)与f′(a＋1)之间．∴0【变式8-5】已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“＜”“＝”或“＞”)．
【答案】＞
【解析】[f′(a)与f′(b)分别表示函数图像在点A，B处的切线斜率，由图像可得f′(a)＞f′(b)．]
【变式8-6】如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
【答案】D
【解析】由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
【变式8-7】 如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )
【答案】D
【解析】函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的且图象是下凸的；
当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的且图象是上凸的；
当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．
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