5.2导数的运算 （Word解析版）

导数的运算
1、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
函数 导函数 函数 导函数
y＝c(c是常数) y′＝0 y＝sin x y′＝cos_x
y＝xα(α为实数) y′＝αxα－1 y＝cos x y′＝－sin_x
y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axlna 特别地(ex)′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝
2、导数的运算法则
（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；
（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
3、复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法链接
【常用结论】
（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．
（2）函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
题型目录：
【题型1 初等函数求导】
【题型2 复合函数求导】
【题型3 导数的运算技巧】
【题型4 求导数值】
【题型5 求切线方程】
【题型6 利用切线求参数】
【题型7 公切线问题】
【题型1 初等函数求导】
【例1】求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1） （2） (3) (4) (5) (6)
【解析】（1）由，则；
（2）由，则；
（3）由 ，则；
（4）由，则；
（5）由，则 ；
（6）由，则.
【变式1-1】求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）
（2）
（3）
【变式1-2】求下列函数的导数：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得.
（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得.
【变式1-3】求下列函数在指定点的导数：
（1） ，；
（2），．
【答案】（1）（2）
【解析】（1），
（2），
【变式1-4】给出下列命题：
①y＝ln2，则y′＝ ②y＝，则y′|x＝3＝－
③y＝2x，则y′＝2x·ln2 ④y＝log2x，则y′＝
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由求导公式知②③④正确．
【题型2 复合函数求导】
【例2】求下列函数的导数：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）；
（2）．或．
【变式2-1】求下列函数的导数：
（1）； （2）； (3)； (4)．
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）.
【解析】（1）；
（2） ；
（3）∵∴；
（4）.
【变式2-2】求下列各函数的导数：
（1）； （2） （3）y＝
【答案】（1）；（2）.（3）
【解析】（1）因为令，
所以
（2）.
（3）令，则，所以；
【题型3 求导数值问题】
【例3-1】（1）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，因此，.
（2）已知函数，则（ ）
A．3 B．0 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题得.故选：A
【例3-2】已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，求导得，则，解得.故选：A.
【变式3-1】若函数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以令，则，所以，则，故选：B.
【变式3-2】已知，则 .
【答案】－4
【解析】∵f′（x）＝2x＋2f′（1），
∴f′（1）＝2＋2f′（1），
∴f′（1）＝－2，
∴f′（0）＝2f′（1）＝2×（－2）＝－4.
【变式3-3】已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2＋3xf′（2）＋ln x，则f′（2）＝ .
【答案】－
【解析】因为f（x）＝x2＋3xf′（2）＋ln x，所以f′（x）＝2x＋3f′（2）＋，
所以f′（2）＝4＋3f′（2）＋＝3f′（2）＋，所以f′（2）＝－.］
【变式3-4】（1）已知函数满足，求的解析式为
【答案】f(x)＝ex－x＋x2
【解析】由已知得f′(x)＝f′（1）ex－1－f(0)＋x， 所以f′（1）＝f′（1）－f(0)＋1，即f(0)＝1.
又f(0)＝f′（1）e－1，所以f′（1）＝e.从而f(x)＝ex－x＋x2.
（2）已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
【答案】C
【题型4 求切线方程】
【例4】已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过点的切线方程
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）∵，∴在点处的切线的斜率，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
（2）设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率，
∴切线方程为，即．
∵点在该切线上，∴，即，
∴，∴，
∴，解得或．故所求切线方程为或．
【变式4-1】曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即，故选A.
【变式4-2】曲线在某点处的切线的斜率为，则该切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求导得，根据题意得，解得（舍去）或，可得切点的坐标为，
所以该切线的方程为，整理得.故选：D.
【变式4-3】过点P（0，2）作曲线y＝的切线，则切点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（2，） C．（3，） D．（0，1）
【答案】A
【解析】设切点,,即切点故选：A
【变式4-4】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
（1）求曲线f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程；
（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
【答案】（1）x－y－4＝0 （2）x－y－4＝0或y＋2＝0
【解析】（1）∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′（2）＝1，又f（2）＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．
（2）设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x02－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x02－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，x03－4x02＋5x0－4)，
∴x03－4x02＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．
【题型5 利用切线求参数】
【例5】已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【解析】令，则，所以，
因为曲线在点处的切线方程为，所以该切线过原点，
所以，解得，即.故选：D.
【变式5-1】已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.
【答案】
【解析】因为函数，所以，
又因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，解得，故答案为：
【变式5-2】曲线在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a＝_____.
【答案】1
【解析】， ，.故答案为：1.
【变式5-3】（1）已知直线是曲线的一条切线，则________.
【答案】4
【解析】设，切点为，
因为，所以，解得，所以，故切点为，又切点在切线上，故.故答案为：4
（2）若直线是曲线的切线，则实数的值为 .
【答案】a=1
【变式5-4】函数的图象上有两点和，在区间内求实数，使得函数的图像在处的切线平行于直线.
【解析】
【题型6 公切线问题】
【例6】已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f（1）)，则m等于( )
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
【答案】D
【解析】∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′（1）＝1.
又f（1）＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
于是解得m＝－2.故选D.
【变式6-1】已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为( )
A. B. C．1 D．4
【答案】A
【解析】由题意可知g′(x)＝，
由f′()＝g′()，得×＝， 可得a＝，经检验，a＝满足题意．
【变式6-2】若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．
【解析】易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．
（1）当O(0,0)是切点时，由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
（2）当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②
联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，故直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝.综上，a＝1或a＝.
【变式6-3】已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值．并判断两条切线是否为同一条直线．
【解析】根据题意有
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′（1）＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′（1）＝－a.
所以f′（1）＝g′（1），即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f（1）＝3(x－1)，又f（1）＝－1，得y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g（1）＝3(x－1)，又g（1）＝－6，
得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以两条切线不是同一条直线．
【变式6-4】已知函数，，，若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，则实数的值为 .
【答案】
【变式6-5】已知函数，和直线，且.
（1）求实数的值；
（2）是否存在实数，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。
【题型7 导数的与运算技巧】
【例7】若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′（1）＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
【解析】f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′（1）＝2，∴f′(－1)＝－2.
【变式7-1】设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2015(x)的值是( )
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
【答案】D
【解析】依题意：f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，
f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，
按以上规律可知：f2015(x)＝f3(x)＝－cosx，故选D.
【变式7-2】（1）已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f′(0)＝________.
【答案】－(1×2×3×…×2015)
【解析】依题意，设g(x)＝(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，
则f(x)＝x·g(x)，f′(x)＝[x·g(x)]′＝g(x)＋x·g′(x)，
故f′(0)＝g(0)＝－(1×2×3×…×2015)．
（2）设，则
【答案】48
（3）已知函数，在处的导数为27，则（ ）
A.-27 B.27 C.-3 D.3
【答案】D
【变式7-3】（1）已知函数，则的值（ ）
A. 1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
（2）已知函数，其导函数记为，则 .
【答案】2
（3）已知函数，其导函数记为，则
【答案】2
1