(共21张PPT)
3.8圆内接正多边形
北师大版 九年级下册
复习旧知
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫作正n边形.
三条边相等，三个角也相等（60°）.
四条边都相等，四个角也相等（90°）.
情景导入
观看下面这些美丽的图案,都是在日常生活中经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
探究新知
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
新知讲解
怎样由圆得到多边形呢？
定义：把一个圆 n 等分（n ≥ 3），依次连结各分点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
探究新知
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
弦心距
正多边形的边心距
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距r
弦a
圆心
中心角
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
类比学习
圆内接正多边形
探究新知
E
F
C
D
.
中心角
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为l=na.
a
中心角=
∠AOG=∠BOG=
边心距r=
面积S=
A
B
G
O
归纳
正n边形的一个内角的度数是______________;
中心角是___________;
正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
相等
典例精析
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
O
A
B
C
D
E
G
F
典例精析
解：连接 OD.
∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴∠COD=
∴△COD 为等边三角形.
∴CD =OC = 4 .
O
A
B
C
D
E
G
在Rt△COG 中，OC = 4， CG=2
OG=
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，
边长为 4，边心距为.
F
做一做
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ，
所以正六边形的边长与圆的半径 .
因此，在半径为R的圆上依次截取等于 的弦，
即可将圆六等分.
60
相等
R
做一做
方法（减少累积误差）：
作⊙O的任意一条直径FC，分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则 A，B，C，D，E，F 是 ⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.
O
F
C
A
E
B
D
典例精析
例、 用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD 内接于⊙O.
O
练一练
你能简单说明下如何用尺规做出两条垂直的直径吗？
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
所以AB=BC=CD=DA.
因为AC，BD都是直径，
所以∠ABC =∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
O
A
C
B
D
课堂练习
1．正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系为( )
A．两角互余 B．两角互补
C．两角互余或互补 D．不能确定
2.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝( )
A．2： B．：
C.： D．：2
B
B
课堂练习
3. 已知正六边形的外接圆半径为3cm，那么它的周长为 cm.
18
4. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要___ _cm.
课堂练习
5.如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距.
B
A
C
解:设这个正三角形的中心为点O，
连接OB，OC，作OH⊥BC于点H，
则∠BOC=360°÷3=120°，
∴∠BOH=60°.
在Rt△BOH中，
BH=BC=3，∠OBH=30°，
OH=
O
H
∴正三角形ABC的中心角为120°，半径为，边心距为
作业布置
1.课本P99 习题3.10 1,2,4
课堂小结
圆内接正多边形
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正n边形各顶点等分其外接圆.
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3.8圆内接正多边形教学设计
课题 圆内接正多边形 单元 3 学科 数学 年级 九
学习 目标 1．掌握正多边形和圆的关系． 2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念． 3．能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题． 4．会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形．
重点 掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算．
难点 正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 等边三角形和正方形各有什么特点 什么是正多边形 观看下面这些美丽的图案,都是在日常生活中经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗 教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结． 创设情境，激发学生学习的兴趣和探究欲望，为本节课的探究做好铺垫.
讲授新课 你知道正多边形与圆的关系吗？ 如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上．如图，正六边形ABCDEF，连接AD，CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B，C，D，E，F都在这个圆上． 引出圆内接正多边形概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆． 因此，正多边形和圆的关系十分密切．把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形． 下面我们来学习圆内接正多边形的有关概念．如图， 六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，圆心O叫做这个正六边形的中心；OA是这个正六边形的半径；∠AOB是这个正六边形的中心角；OG⊥AB，垂足为G，OG是这个正六边形的边心距． 例1 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距． 解：连接OD， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠COD＝＝60°. ∴△COD为等边三角形． ∴CD＝OC＝4. 在Rt△COG中，OC＝4，CG＝2， ∴OG＝2. ∴正六边形ABCDEF中心角为60°，边长为4，边心距为2. 做一做：利用尺规作一个已知圆的内接正六边形． 由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长等于外接圆的半径R.所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形． 作法如下： (1)作⊙O的任意一条直径FC，如图①； (2)分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于A，E和B，D，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点； (3)顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF，如图②. 图① 图② 学生独立作图，两分钟后分组交流展示想法．学生经过小组讨论交流的方式总结得出 学生自主思考,独立解题,老师给予订正. 师生共同做圆内接正六边形 概念性知识让学生自主完成，培养学生的自学能力。 本环节一是检验学生学习状况，二是让学生产生一种利用新知解决问题的成就感，提升学生学习积极性。 通过教师讲解，学生掌握画正六边形的方法。
课堂练习 1．正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系为( ) A．两角互余 B．两角互补 C．两角互余或互补 D．不能确定 2.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝( ) A．2： B．： C.： D．：2 3. 已知正六边形的外接圆半径为3cm，那么它的周长为 cm. 4. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm. 5.如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 圆内接正多边形 1．正多边形的有关概念 2．正多边形的画法 3．正多边形的有关计算
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