2022版高中数学第三章指数函数和对数函数本章达标检测（word版含解析）北师大版必修1

第三章　指数函数和对数函数
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域为 (　　)
A. B.
C. D.
2.函数f(x)=()x在区间[1,2]上的最大值是 (　　)
A. B. C.3 D.2
3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,第一、二、三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是 (　　)
A.y=0.2x B.y=(x2+2x)
C.y= D.y=0.2+log16x
4.已知函数y=xa(a∈R)的图像如图所示,则函数y=a-x与y=logax在同一平面直角坐标系中的图像是 (　　)
5.若m>n,则 (　　)
A.0.2m<0.2n B.log0.3m>log0.3n
C.2m<2n D.m2>n2
6.设a=1.21.7,b=0.31.2,c=log1.20.5,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=3x,则f(log94)的值为 (　　)
A.-2 B.- C. D.2
8.已知函数f(x)=lg(-2x)+,则f(lg2)+f= (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
9.当0-lox的解集是(　　)
A.(0,+∞) B.(0,2) C.(2,4) D.(0,4)
10.函数y=的图像大致为(　　)
11.已知x=(-),n∈N+,则(x+)n的值为 (　　)
A.3 B.4
C. D.5
12.若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[5,+∞),则实数a的取值范围是 (　　)
A.(1,2] B.(1,]
C.[,+∞) D.(0,1)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答
案填在题中的横线上)
13.已知f(2x)=2x2-1,则f(1)=　　　　.
14.使不等式2x>成立的x的取值范围为　　　　.
15.如图所示,已知函数y=log2(4x)图像上的两点A,B和函数y=log2x图像上的点C,线段AC平行于y轴,当△ABC为正三角形时,点B的横坐标为　　　　.
16.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知:在室温25℃下,某种绿茶用85℃的水泡制,经过xmin后茶水的温度为y℃,且y=k×0.9085x+25(x≥0,k∈R).当茶水温度降至55℃时饮用口感最佳,此时茶水泡制时间大约为　　　　min.(结果保留整数,参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln0.9085≈-0.0960)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)化简求值:
(1)lg2-lg+3lg5-log32·log49;
(2)0.02-+2560.75+.
18.(本小题满分12分)设函数f(x)=不等式f(x)<1的解集为A,若集合B={x|2a≤x≤a+1},且A∪B=A,求a的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+bx(其中a,b为常数,a>0且a≠1,b>0且b≠1)的图像经过点A(1,6),B.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若a>b,函数g(x)=-+2,求函数g(x)在[-1,2]上的值域.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)有最小值而无最大值,求f(x)的单调递增区间.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(lgx)2-2alg(10x)+3,x∈.
(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数y=f(x)的最小值记为m(a),求m(a)的最大值.
22.(本小题满分12分)定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有-M≤f(x)≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)=4x+a·2x-2.
(1)当a=-2时,求函数f(x)在(0,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+∞)上是不是有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在(-∞,0)上是以2为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
答案全解全析
第三章　指数函数和对数函数
本章达标检测
1.C 2.C 3.C 4.C 5.A
6.B 7.B 8.C 9.C 10.C
11.D 12.B
一、选择题
1.C　由题意可得
解得-易错提醒
本题要特别注意以下几点:
(1)分母不为0;(2)被开方数不能为负数;(3)对数式的真数大于0.
2.C　由函数f(x)=()x 在R上递增知,f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=()2=3,故选C.
3.C　将x=1,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入验算,可知选C.
4.C　由题中y=xa的图像知,05.A　y=0.2x为减函数,若m>n,则0.2m<0.2n,A正确;y=log0.3x为减函数,若m>n>0,则log0.3mn,则2m>2n,C不正确;当m=1,n=-1时,满足m>n,但m2>n2不成立,D不正确.故选A.
6.B　a=1.21.7>1.20=1,b=0.31.2∈(0,1),c=log1.20.5所以c7.B　∵log94=lo22=log32>0,且f(x)是奇函数,∴f(log94)=-f(-log32),
又x<0时,f(x)=3x,∴f(log94)=-=-=-,故选B.
8.C　∵f(x)=lg(-2x)+,
∴f(x)+f(-x)=lg(-2x)++lg(+2x)+=lg(-2x)+lg(+2x)+1=lg(1+4x2-4x2)+1=lg1+1=1,
∴f(lg2)+f=f(lg2)+f(-lg2)=1.
9.C　∵-lox=logax,∴原不等式等价于loga(4-x)>logax,
又∵0∴原不等式的解集为(2,4),故选C.
10.C　设f(x)=,则f(x)的定义域为R,关于原点对称.且f(-x)==-f(x),即f(x)是奇函数,故D错误.
又f(x)==1-,
由3x>0得(3x)2+1>1,
∴0<<2,从而-2<<0,
因此-1<<1,
即f(x)的值域为(-1,1),故选C.
11.D　∵1+x2=1+(-2+)=×(+)2,∴(x+)n=(-)+(+)n=()n=5.故选D.
12.B　当x≤1时,f(x)=-2x+7为减函数,所以f(x)≥5.
因为f(x)的值域是[5,+∞),所以当x>1时,f(x)∈[5,+∞),
所以2+loga(x+1)≥5,即loga(x+1)≥3;若a>1,则有x+1≥a3恒成立,所以a3≤2,即1二、填空题
13.答案　-1
解析　令2x=1,得x=0,因此f(1)=f(20)=2×02-1=-1,故填-1.
14.答案　(-∞,0)∪(1,+∞)
解析　分别画出y=2x与y=的图像,如图所示:
由图像可得,x的取值范围为(-∞,0)∪(1,+∞).
15.答案　
解析　依题意,AC∥y轴,所以AC=log2(4x)-log2x=2,又因为△ABC为正三角形,所以点B到线段AC所在直线的距离为×2=.设点B(x0,2+log2x0),
则点A(x0+,3+log2x0).
由点A在函数y=log2(4x)的图像上,
得log2[4(x0+)]=3+log2x0,
即4(x0+)=8x0,解得x0=,
所以点B的横坐标为.
16.答案　7
信息提取　①y=k×0.9085x+25(x≥0,k∈R);②当x=0时,y=85.
数学建模　本题以中国传统文化——泡茶为背景,构建指数函数模型,通过指数与对数的关系解方程求解.本题求解时先根据已知条件求得k,从而得到函数y的解析式,然后列方程求得此时茶水泡制时间.
解析　由题意可知,当x=0时,y=85,即85=k+25,解得k=60,
故y=60×0.9085x+25(x≥0).当y=55时,得55=60×0.9085x+25,即0.9085x=0.5,
所以x=log0.90850.5=≈≈7.
易错提醒
在用换底公式求值时要注意掌握公式的正确形式,换底后的对数值是等于真数的对数值除以底数的对数值,而不是底数的对数值除以真数的对数值.
三、解答题
17.解析　(1)原式=lg2+lg4+3lg5-log32×log23=3(lg2+lg5)-1=3-1=2. (4分)
(2)原式=-(-1)-2×+(28+1=-×(6-1)-2+26+1=-36+64+1=+29=. (10分)
18.解析　由或
解得-2∴A={x|-2由A∪B=A,可知B A,
当B= 时,2a>a+1,∴a>1,满足题意;
当B≠ 时,解得-1综上,a的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).(12分)
19.解析　(1)由f(x)的图像经过A,B两点得
即
∴a,b是一元二次方程x2-6x+8=0的两根,解此一元二次方程得x1=2,x2=4, (4分)
∴a=2,b=4或a=4,b=2,
∴f(x)=2x+4x. (6分)
(2)∵a>b,∴由(1)知,a=4,b=2,
∴g(x)=-+2, (8分)
设t=,且x∈[-1,2],
则≤t≤2.
令h(t)=t2-t+2, (10分)
由h(t)=+知,≤h(t)≤4,
因此函数g(x)的值域为. (12分)
20.解析　(1)要使函数有意义,则
解得即-3所以函数f(x)的定义域为(-3,1). (4分)
(2)f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)
=loga(1-x)(x+3)
=loga(-x2-2x+3)
=loga[-(x+1)2+4]. (6分)
设t=-(x+1)2+4,当-3若函数f(x)有最小值而无最大值,则函数y=logat为减函数,则0要求f(x)的单调增区间,则等价于求t=-(x+1)2+4在-3∵t=-(x+1)2+4的单调递减区间为[-1,1),
∴f(x)的单调递增区间为[-1,1). (12分)
21.解析　(1)当a=1时,f(x)=(lgx)2-2lg(10x)+3=(lgx)2-2(lg10+lgx)+3=(lgx)2-2lgx+1=(lgx-1)2,
由x∈,得-2≤lgx≤1, (4分)
因此,当lgx=1时,f(x)min=0;
当lgx=-2时,f(x)max=9.
故f(x)的值域为[0,9]. (6分)
(2)f(x)=(lgx)2-2algx-2a+3,x∈,10.令t=lgx,t∈[-2,1],则g(t)=t2-2at-2a+3. (8分)
①当a<-2时,f(x)min=g(-2)=2a+7;
②当-2≤a≤1时,f(x)min=g(a)=-a2-2a+3;
③当a>1时,f(x)min=g(1)=4-4a.
所以m(a)=
所以m(a)max=4. (12分)
22.解析　(1)当a=-2时,f(x)=4x-2·2x-2=-3,
令t=2x,因为x∈(0,+∞),所以t=2x>1, (2分)
又函数y=(t-1)2-3的图像开口向上,其图像的对称轴为直线t=1,
所以y=(t-1)2-3在(1,+∞)上单调递增,因此y∈(-3,+∞),
即函数f(x)的值域为(-3,+∞); (4分)
因此不存在常数M>0,使得-M≤f(x)≤M成立,
所以f(x)在(0,+∞)上不是有界函数. (6分)
(2)若函数f(x)在(-∞,0)上是以2为上界的有界函数,
则-2≤4x+a·2x-2≤2对任意的x∈(-∞,0)恒成立,
即-2x≤a≤-2x对任意的x∈(-∞,0)恒成立. (7分)
因为x<0,所以2x∈(0,1),
因此-2x∈(-1,0), (8分)
又y==4·2-x与y=-2x都是减函数,
所以y=-2x在(-∞,0)上单调递减,
所以y=-2x>-20=3, (10分)
因此要使-2x≤a≤-2x对任意的x∈(-∞,0)恒成立,只需0≤a≤3,
即实数a的取值范围是0≤a≤3. (12分)
10