2022版高中数学第三章指数函数和对数函数本章复习提升（word版含解析）北师大版必修1

第三章　指数函数和对数函数
本章复习提升
易混易错练
易错点1　利用指数、对数运算性质进行运算时忽视公式中的限定条件导致错误
1.(2021江西吉安永丰中学高一上月考,)化简求值:(-2018)0+×+.
2.()计算:+.
易错点2　研究指数、对数函数时忽视对底数分0和a>1两种情况讨论导致错误
3.(2020陕西榆林绥德中学高一下期末,)设函数f(x)=log2x,若f(a+1)<2,则a的取值范围为 (　　)
A.(-1,3) B.(-∞,3)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
4.()若函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,a≠1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为　　　　.
5.(2021河南部分重点高中高三上四联,)已知函数f(x)=loga(ax2-2x+5)(a>0,且a≠1)在上单调递增,则a的取值范围为　　　　.
6.()解关于x的不等式:a2x+1≤ax-5(a>0,且a≠1).
易错点3　研究指数、对数函数时忽视定义域与值域导
致错误
7.()下列两个函数,为相等函数的是 (　　)
A.函数y=x和y=
B.函数y=log22x和y=
C.函数y=ln(x2-1)与y=ln(x-1)+ln(x+1)
D.函数y=ln(1-x2)与y=ln(1-x)+ln(1+x)
8.(2021河南开封五县高一上联考,)函数f(x)=log2(x2-2x+3)的值域为 (　　)
A.[0,+∞) B.[1,+∞)
C.R D.[2,+∞)
9.()若函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则a的取值范围为 (　　)
A.(-∞,4] B.(-4,4]
C.[-4,4) D.[-4,4]
10.()若4x+2x+1+m>1对一切实数x成立,则实数m的取值范围是　　　　.
11.(2019河南师范大学附属中学高一上期中检测,)已知函数h(x)=+.
(1)求h(x)的定义域P;
(2)若函数f(x)=log3·log3(27x),x∈P,求函数f(x)的值域.
思想方法练
一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用
1.()函数的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为,那么就称函数为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则t的取值范围为 (　　)
A.(0,1) B.(0,1]
C. D.
2.()已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于任意给定的两个非负数a,b且a>b,不等式af(a)f(1)的解集为 (　　)
A. B.
C.(0,e) D.(e,+∞)
3.(2019湖南长郡中学高一上第一次模块检测,)已知函数f(x)=a+是奇函数,则a的值为　　　　.
二、数形结合思想在解决函数问题中的应用
4.(2021四川江油一中高一上期中,)已知函数f(x)=|log2x|,实数a,b满足05.(2020福建厦门一中高一上月考,)已知函数f(x)=x2-2x+loga在内恒小于零,则实数a的取值范围是　　　　.
三、分类与整合思想在解决函数问题中的应用
6.(2019浙江金华一中高一上期中,)设函数f(x)=e|lnx|(e为自然对数的底数),若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是 (　　)
A.x2f(x1)>1 B.x2f(x1)<1
C.x2f(x1)=1 D.x2f(x1)7.(2021福建福州一中高一上月考,)函数f(x)=loga(ax2-x)(a>0,且a≠1)在(2,4)上是减函数,则实数a的取值范围是 (　　)
A.C.≤a<1 D.08.()若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a=　　　　.
四、转化与化归思想在解决函数问题中的应用
9.(2019江西赣州十四县(市)高一上期中联考,)已知a>0,且a≠1,函数f(x)=满足对任意实数x1,x2(x1≠x2)都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(2,3) B.(2,3]
C. D.(1,2]
10.()当x∈(-∞,-1]时,不等式(2m-1)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
11.()若3x=4y=36,则+=　　　　.
五、特殊与一般思想在解决函数问题中的应用
12.()设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)= (　　)
A.1 B.-1
C.-3 D.3
13.()已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数,求a,b的值.
答案全解全析
第三章　指数函数和对数函数
本章复习提升
易混易错练
3.A 7.D 8.B 9.D
1.解析　(-2018)0+×+
=1+×+-1
=1+×+-1
=1+.
易错警示
对于指数、对数的混合运算,易忽略偶次算术根非负而致错,错用指数幂的运算性质而致错;对于根式化简时要注意n是正奇数还是正偶数.进行指数幂化简和计算时,为避免错误可先将根式化为分数指数幂,然后按分数指数幂的运算性质进行化简和计算.
2.解析　原式=2+=-1+1+=2.
3.A　∵函数f(x)=log2x在定义域内单调递增,f(4)=log24=2,
∴不等式f(a+1)<2等价于f(a+1)4.答案　
解析　当a>1时,y=ax与y=loga(x+1)(a>0,a≠1)在[0,1]上都是增函数,
因此f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,a≠1)在[0,1]上都是增函数,
∴f(x)max=f(1)=a+loga2,f(x)min=f(0)=a0+loga1=1,
∴a+loga2+1=a,∴loga2=-1=loga,解得a=(舍去);
当0∴f(x)max=f(0)=a0+loga(0+1)=1,f(x)min=f(1)=a+loga2,
∴a+loga2+1=a,∴loga2=-1=loga,
解得a=.综上所述,a=.
5.答案　∪[2,+∞)
解析　由题意可得
或
解得≤a≤或a≥2.
易错警示
本题考查由复合函数的单调性求参数的范围,在解题过程中要注意真数的取值范围,保证真数大于零,其次对数式对底数a的限制条件为a>0,且a≠1,然后分01讨论.
6.解析　①当0②当a>1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.
综上所述,当01时,不等式的解集为{x|x≤-6}.
7.D　对于A,y=x和y==|x|的解析式不同,两函数不相等;
对于B,y=log22x的定义域为R,y=的定义域为(0,+∞),定义域不同,两函数不相等;
对于C,y=ln(x2-1)的定义域为{x|x<-1或x>1},y=ln(x-1)+ln(x+1)的定义域为{x|x>1},定义域不同,两函数不相等;
对于D,y=ln(1-x2)的定义域为(-1,1),y=ln(1-x)+ln(1+x)=ln(1-x2)的定义域为(-1,1),定义域和解析式都相同,两函数相等.故选D.
8.B　∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,∴f(x)=log2(x2-2x+3)≥log22=1.
因此,函数f(x)=log2(x2-2x+3)的值域为[1,+∞).故选B.
9.D　设u=x2-ax+3a,
则函数f(x)是由y=lou,u=x2-ax+3a复合而成.因为y=lou是减函数,
所以u=x2-ax+3a在(2,+∞)上递增,
从而≤2,解得a≤4.
又当x∈(2,+∞)时,u=x2-ax+3a>0,
所以当x=2时,u=4-2a+3a≥0,
解得a≥-4,
所以-4≤a≤4.故选D.
易错警示
f(x)在(2,+∞)上为减函数,既要考虑单调性,又要考虑f(x)在(2,+∞)上有意义,解题时易忽视对数函数的定义域,导致错误.
10.答案　[1,+∞)
解析　设t=2x,y=t2+2t+m,
∵t=2x∈(0,+∞),∴t+1∈(1,+∞),
由y=(t+1)2-1+m,得y>1-1+m=m,因此m≥1,故填[1,+∞).
11.解析　(1)由得即x>3.
因此函数h(x)的定义域P为(3,+∞).
(2)依题意得,f(x)=(log3x-2)·(3+log3x)=(log3x)2+log3x-6=-.
∵x∈P,log3x>1,∴f(x)>-4,
即函数f(x)的值域为(-4,+∞).
易错警示
解题时忽视了log3x>1,误以为log3x的取值范围为R,导致解题错误.
思想方法练
1.D 2.C 6.B 7.C 9.D
12.C
1.D　显然f(x)是定义域上的增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,则
即f(x)=有两个不相等的实数根,
将函数问题转化为方程有两个不相等的实
数根问题.
又logc(2cx+t)=,∴2cx+t=.
令=u,则u>0,且2u2-u+t=0.
依题意知方程有两个不等正根,
进一步转化为方程有两个不相等的正实数
根求参数.
∴解得02.C　设F(x)=x·f(x),则F(x)是R上的奇函数,且在[0,+∞)上是减函数,从而F(x)在R上递减,
研究新函数的单调性与奇偶性.
则lnx·f(lnx)>f(1) F(lnx)>F(1) lnx<1=lne 0利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.
3.答案　
解析　由题知,f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
任取x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有
f(-x)+f(x)=0,
即a++a+=0,
利用函数的奇偶性进行转化,得到关于参数
的方程.
所以a++a+=0
2a+=0 2a-1=0 a=.
通过解方程体现方程思想.
故a的值为.
4.答案　4
解析　如图所示:根据函数f(x)=|log2x|的图像得0以形助数,借助函数图像得到a与b的关系.
结合函数图像,易知当x=a2时,f(x)在[a2,b]上取得最大值,所以f(a2)=|log2a2|=2,
又0再结合f(a)=f(b),可得b=2,所以+b=2+2=4.
5.答案　
解析　∵f(x)=x2-2x+loga=x2-2x+logaa-loga(x-1)=(x-1)2-loga(x-1)<0,
∴不等式loga(x-1)>(x-1)2对任意的x∈恒成立.
当a>1时,∵1由于底数a为参数,故对a进行分类讨论.
此时loga(x-1)(x-1)2对任意的x∈不成立;
当0(x-1)2对任意的x∈恒成立,
则解得≤a<1.
因此,实数a的取值范围是.
思想方法
本题考查对数不等式恒成立问题,解题时要注意对底数的取值范围进行分类讨论,并利用数形结合思想得出一些关键点列不等式(组)求解,考查数形结合思想的应用,属于中档题.
6.B　由题知,f(x)=e|lnx|=
分段函数分段求,体现分类讨论思想.
由x≥1时,f(x)=x是增函数;0当0针对x1与x2的大小关系进一步分类讨论.
∴x1x2=1,
∴x2·f(x1)=>1,x1·f(x2)=x1·x2=1,
从而x2f(x1)>x1f(x2).此时A成立.
当0∴x1x2=1,
∴x2f(x1)=x2·x1=1,x1·f(x2)=>1,
从而x2f(x1)因此无论何种情况,B一定不成立,故选B.
7.C　函数f(x)=loga(ax2-x)(a>0,且a≠1)在(2,4)上是减函数,令t=ax2-x,
则利用复合函数的单调性可知:
由于底数a为参数,故对底数a分a>1和
0①当a>1时,y=logat在定义域内为增函数,
所以t=ax2-x在(2,4)上是减函数,
其图像的对称轴为直线x=,且ax2-x>0在(2,4)上恒成立,
转化为不等式恒成立问题.
则此不等式组无解;
②当0所以t=ax2-x在(2,4)上是增函数,
其图像的对称轴为直线x=,且ax2-x>0在(2,4)上恒成立,
转化为不等式恒成立问题.
则解得a≥,∴≤a<1.
综上,实数a的取值范围是≤a<1.
故选C.
8.答案　
解析　若a>1,则函数f(x)在[-1,2]上单调递增,有a2=4,a-1=m,解得a=2,m=,此时g(x)=-为减函数,不合题意;
由于底数含参数a,故需对a进行分类讨论.
若0体现方程思想.
思想方法
对于指数函数与对数函数的底数a,当a>1或09.D　由对任意x1,x2(x1≠x2)都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0知,f(x)在R上是增函数.当x≤0时,f(x)=-|x+3a-6|,由f(x)递增得6-3a≥0,解得a≤2.
由函数单调性进一步转化为解不等式.
当x>0时,f(x)=ax是增函数,因此a>1,
又由f(x)在R上递增得-|3a-6|≤a0,解得a∈R,∴110.答案　
解析　原不等式可变形为2m-1<.
因为函数y=在(-∞,-1]上是减函数,所以ymin==2.
不等式2m-1<在(-∞,-1]上恒成立等价于ymin>2m-1,
将不等式恒成立问题转化为参数与函数的
关系.
因此2m-1<2,解得m<,故实数m的取值范围是.
11.答案　1
解析　3x=4y=36,取以6为底的对数,将指数式化为对数式得xlog63=ylog64=2,
指数式化为对数式,体现转化与化归思想.∴=log63,=log64,
即=log62,故+=log63+log62=1.
利用对数运算性质进一步转化.
12.C　由f(x)是定义在R上的奇函数知,f(0)=20+0+b=0,解得b=-1,
根据奇函数的性质转化为f(0)=0.
∴f(-1)=-f(1)=-(21+2-1)=-3,故选C.
13.解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1,所以f(x)=,又由-f(x)=f(-x)知,-=,化简,得2x+1+a=2+a·2x,即(a-2)(2x-1)=0.
根据奇函数的定义转化为关于a的方程
求解.
由(a-2)(2x-1)=0对x∈R恒成立,解得a=2.故a=2,b=1.
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