2022版高中数学第四章函数应用本章复习提升（word版含解析）北师大版必修1

第四章　函数应用
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视对参数取值范围的讨论导致错误
1.()若函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,求实数a的取值范围.
2.(2020北京首都师范大学附属中学高一下期中,)已知a是实数, 关于x的方程2ax2+2x-3-a=0在区间[-1,1]上有实数根, 求a的取值范围.
易错点2　忽视实际问题中函数的定义域导致错误
3.(2021四川泸州泸县一中高一上月考,)某商品在近30天内每件的销售价格P(单位:元)和时间t(t∈N)(单位:天)的关系如图所示:
(1)请确定销售价格P(元)和时间t(天)的函数解析式;
(2)该商品的日销售量Q(单位:件)与时间t(天)的关系:Q=-t+40(0≤t≤30,t∈N),求该商品的日销售金额y(单位:元)与时间t(天)的函数解析式;
(3)求该商品的日销售金额y(元)的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天
易错点3　忽视分段函数的计算方法导致错误
4.()某购物站在2019年11月开展“全部6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”的优惠.小淘在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品42件,为使花钱总数最少(不能多买),他最少需要下的订单张数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2021河南洛阳高一上期中,)已知函数f(x)=若存在互不相等的实数a,b,c,d满足|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|,则a+b+c+d的取值范围为 (　　)
A.(0,+∞) B.(-2,+∞) C. D.
6.()某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)设一次订购量为x,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式;
(2)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少 如果订购1000个,利润又是多少 (工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
7.(2019四川成都石室中学高一上期末检测,)目前,某市出租车的计价标准是:路程2km以内(含2km)按起步价8元收取,超过2km后的路程按1.9元/km收取,但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元/km).
(1)若0(2)某乘客行程为16km,他准备先乘一辆出租车行驶8km,然后换乘另一辆出租车完成余下路程,请问:他这样做是否比只乘一辆出租车完成全程更省钱
思想方法练
一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用
1.()原有一片面积为a的森林,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等.经计算,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林的剩余面积为原面积的.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,已经砍伐了多少年
(3)今后最多还能砍伐多少年
二、数形结合思想在解决函数问题中的应用
2.(2019浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)函数f(x)=|log2x|-e-x的所有零点的积为m,则有 (　　)
A.m=1 B.m∈(0,1)
C.m∈(1,2) D.m∈(2,+∞)
3.()函数f(x)=-x2的零点个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2021重庆缙云教育联盟高一上月考,)已知函数f(x)=|log3(x-1)|--1有2个不同的零点x1,x2,则 (　　)
A.x1x2<1 B.x1x2=x1+x2
C.x1x2>x1+x2 D.x1x2三、分类与整合思想在解决函数零点问题中的应用
5.(2021四川成都外国语学校高一上月考,)已知函数f(x)=若函数F(x)=f(x)-mx有4个零点,则实数m的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
6.(2019湖南明德中学高一上期中,)函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.
(1)若k=2,求函数f(x)的零点;
(2)若函数f(x)在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,求k的取值范围,并证明:+<4.
四、转化与化归思想在解决函数零点问题中的应用
7.()已知函数f(x)=若函数f(x)的图像上有且仅有两个点关于y轴对称,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,4)
C.(0,1)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,4)
8.()若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)上恰有一个零点,则a的取值范围是　　　　　.
答案全解全析
函数应用
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易混易错练
4.C 5.D
1.解析　当a=0时,f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,符合题意;
当a>0时,此函数图像开口向上,f(0)=-1<0,结合二次函数图像知符合题意;
当a<0时,此函数图像开口向下,f(0)=-1<0,由图像(图略)得
即a=-.
综上可知,实数a的取值范围为∪[0,+∞).
2.解析　当a=0时,f(x)=2x-3, 令2x-3=0,得x= [-1,1],
∴f(x)在[-1,1]上没有实数根, 故a≠0.
函数f(x)=2ax2+2x-3-a的图像的对称轴为直线x=-.
当a>0时,①当-≤-1,即0②当-1<-<0,即a>时,需使即
解得a≥1,∴a的取值范围是[1,+∞).
当a<0时,① 当0<-≤1,即a≤-时,
需使即
解得a≤或≤a≤5,
又a≤-,
∴a的取值范围是;
②当->1时,即-需使即∴a∈ .
综上所述 ,a的取值范围是∪[1,+∞).
易错警示
本题考查的是由二次函数零点的分布求参数范围的问题,当二次函数(方程)的二次项系数含有参数时,需要对参数进行分类讨论.
3.解析　(1)当0≤t<25,t∈N时,设P=at+b(a≠0),将点(0,19),(25,44)代入,得解得∴P=t+19(0≤t<25,t∈N),
当25≤t≤30,t∈N时,同理可得P=-t+100,
综上所述,销售价格P(元)和时间t(天)的函数解析式为P=
(2)由题意得,y=P·Q,
由(1)得
y=
即y=
(3)由y=
当0≤t<25,t∈N时,由二次函数的图像和性质,知当t=10或t=11时,y取最大值,为870.
当25≤t≤30,t∈N时,由二次函数的图像和性质,知当t=25时,y取最大值,为1125.
综上所述,在第25天,该商品的日销售金额最大为1125元.
4.C　要使6折后的价格满300元,则原价应满500元,因为每张订单金额必须是48的整数倍,所以每张订单中的商品数不小于11,若每张订单购买的商品数分别为11,11,11,9,则应下4张订单,但最后一张订单金额不满500元,不能参加“满减”活动,可将最后一个订单中的9件商品分到前3个订单中,此时只需下3张订单,所以他最少需要下3张订单.
5.D　f(x)=
则|f(x)|=
画出函数|f(x)|的图像,如图所示:
设|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|=k,则k∈(0,1],
不妨取ac+d=d+,d∈(1,10],故d+∈,故a+b+c+d∈.
故选D.
易错警示
对于分段函数,需特别注意以下几点:
(1)分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围,有不同的对应法则的函数;
(2)分段函数是一个函数;
(3)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.
6.解析　(1)若实际出厂单价为51元,则订购量为100+=550,
当0当100当x≥550时,P=51.
因此,P=
(2)设工厂获得的利润为L元,
当订购500个时,L=×500
=6000;
当订购1000个时,L=(51-40)×1000
=11000.
故当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元.
7.解析　(1)由题意得车费f(x)关于路程x的函数为
f(x)=
即f(x)=
(2)只乘一辆车的车费为f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元),
乘两辆车的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元).
∵40.3>38.8,
∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.
思想方法练
2.B 3.C 4.D 5.B 7.D
1.解析　(1)设每年砍伐面积的百分比为x,
则a(1-x)10=a,
根据题设构造方程,体现了方程思想.
即(1-x)10=,
解得x=1-,
所以所求百分比为1-.
(2)设经过n年的砍伐,森林的剩余面积为原面积的,则a=a,即=,解得n=5,
再次构造方程,利用方程思想求解.
所以到今年为止,已经砍伐了5年.
(3)设该片森林一共可砍伐m年,
则a=a,
即=,解得m=20,
所以该片森林一共可砍伐20年,故今后最多还能砍伐20-5=15年.
2.B　由f(x)=0得|log2x|=e-x=,在同一坐标系中,作出函数y=|log2x|与y=的图像,如图所示:
以形助数,借助函数图像解决零点问题.
由图像知,f(x)=0有两实数解,且0∴-log2x1=,log2x2=,
∴log2x1+log2x2=-,
∴log2(x1·x2)=-<0,
从而03.C　由f(x)=0得=x2.在同一坐标系中作出函数y=与y=x2的图像,如图所示:
同时作出两个函数的图像,数形结合,由图像
交点个数得到函数零点个数.
由图像知f(x)有3个零点,故选C.
4.D　函数f(x)=|log3(x-1)|--1有2个不同的零点x1,x2,
即y=|log3(x-1)|与y=3-x+1的图像有2个不同的交点.
分别画出y=3-x+1和y=|log3(x-1)|的图像,如图所示:
以形助数,借助函数图像直观得出图像的交
点个数.
发现两函数的图像在(1,2)和(2,+∞)有两个交点.
不妨设x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),
那么在(1,2)上有1+=-log3(x1-1),①
在(2,+∞)上有1+=log3(x2-1),②
①+②,得-=log3[(x1-1)(x2-1)].
∵x2>x1,∴<,即-<0,
∴log3[(x1-1)(x2-1)]<0,
∴0<(x1-1)(x2-1)<1,∴x1x2利用对数函数的单调性去掉对数符号.
故选D.
思想方法
判断方程是否有解、解的个数及解所在的区间,判断函数零点的个数及零点所在区间等问题,往往通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了数形结合思想.
5.B　函数f(x)=
函数F(x)=f(x)-mx有4个零点,即f(x)=mx有4个不同的交点.
画出函数f(x)的图像,如图所示:
以形助数,借助函数图像研究问题.
由图可知,当2≤x<4时,设对应二次函数顶点为A,则A,kOA==,
对x的范围分类讨论,体现分类讨论的思想.
当4≤x<6时,设对应二次函数的顶点为B,则B,kOB==,
所以当直线y=mx与2≤x<4时所对应的二次函数图像相切时,直线y=mx与函数f(x)的图像有3个交点,此时化简,得x2+(2m-6)x+8=0,Δ=(2m-6)2-4×8=0,解得m1=3-2,m2=3+2(舍);
将直线与二次函数图像相切转化为根的
判别式为0.
当直线y=mx与4≤x<6时所对应的二次函数图像相切时,直线y=mx与函数f(x)的图像有5个交点,此时
相切时也有两种情形,故继续分类讨论.
化简,得x2+(4m-10)x+24=0,
Δ=(4m-10)2-4×24=0,解得m3=-,m4=+(舍);
故当f(x)=mx有4个不同的交点时,m∈.故选B.
思想方法
本题考查函数零点与方程根的关系,依题意,函数y=f(x)的图像与直线y=mx有4个交点,作出函数图像,通过图像分析找到临界情况,画图时要考虑自变量取值不同时.对应的函数不同.考查分类与整合的思想方法.
6.解析　(1)若k=2,则f(x)=|x2-1|+x2+2x.
对绝对值内的代数式分类,从而去掉绝对值.
当x≥1或x≤-1时,f(x)=0可化为x2-1+x2+2x=0,即2x2+2x-1=0,
解得x=或x=(舍去).
当-1解得x=-.
针对另一种情形求函数的零点.
综上所述,f(x)的零点为,-.
(2)当0若f(x)的两个零点x1,x2都在(1,2)内,
将零点所在的范围转化到更具体的范围中.
则x1·x2=-,与x1,x2∈(1,2)不符合,
因此,两个零点分别在(0,1]和(1,2)内.
不妨设x1∈(0,1],x2∈(1,2),
由x1∈(0,1]得f(x1)=kx1+1=0,k=-≤-1.
由x2∈(1,2),且f(x)=2x2+kx-1,得
f(1)·f(2)<0 (k+1)(2k+7)<0 -证明:设g(k)=+,
∵x1=-,x2=或x2=(舍去),
∴g(k)=+=-k+==,
∴g(k)在上单调递减,
∴g(k)=+即+<4.
7.D　函数y=logax(x>0)的图像与函数h(x)=loga(-x)(x<0)的图像关于y轴对称,则函数f(x)图像上有且仅有两个点关于y轴对称的问题可转化为函数y=loga(-x)-|x+3|在-4≤x<0上有唯一零点的问题.
将对称问题转化为函数零点的个数问题.
当0将函数零点个数问题转化为函数图像交点的
个数问题.
当a>1时,由函数h(x)=loga(-x)与f(x)=|x+3|(-4≤x<0)的图像有唯一交点,得loga4>1,又a>1,所以1综上所述,a的取值范围是(0,1)∪(1,4).所以D选项是正确的.
8.答案　(1,+∞)
解析　f(x)在(0,1)上恰有一个零点可转化为2a=+在(0,1)内有唯一解.
将函数恰有一个零点转化为方程恰有一个解.设t=(x∈(0,1)),则t∈(1,+∞),2a=t+t2,2a=+在(0,1)内有唯一解,即2a=t+t2在(1,+∞)上有唯一解.
继续转化为另一个方程仅有唯一解的问题.
设h(t)=t+t2,易知函数h(t)=t+t2在(1,+∞)上单调递增,
依题意得2a>h(1)=2,即a>1,故a的取值范围是(1,+∞).
将不等式恒成立转化为参数与函数的最值关
系问题.
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