2022版高中数学第一章集合本章达标检测（word版含解析）北师大版必修1

第一章　集合
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列几组对象可以构成集合的是 (　　)
A.充分接近π的实数的全体
B.善良的人
C.世界著名的科学家
D.某单位所有身高在1.70m以上的人
2.下列各组中,集合A和集合B表示同一集合的是 (　　)
A.A={π},B={3.14159}
B.A={2,3},B={(2,3)}
C.A={1,,π},B={π,1,|-|}
D.A={x|-13.已知集合A={x|x2-1=0},则下列式子表示不正确的是(　　)
A.1∈A B.{-1}∈A
C. A D.{1,-1} A
4.设集合M={x||x|≤2,x∈R},N={x|x2≤4,x∈N},则 (　　)
A.M=N B.N M
C.M N D.M∩N=
5.已知集合A={0,1,2},B={2,3},则集合A∪B= (　　)
A.{1,2,3} B.{0,1,2,3}
C.{2} D.{0,1,3}
6.已知M={x|y=x2+1},N={y|y=x2+1},则M∩N= (　　)
A.{x|x≥1} B. C.{x|x<1} D.R
7.若全集A={x∈Z|0≤x≤2},则集合A的真子集共有 (　　)
A.3个 B.5个
C.7个 D.8个
8.集合M={x|x=3k,k∈N},P={x|x=3k+1,k∈N},Q={x|x=3k-1,k∈N},若 a∈M,b∈P,c∈Q,则a+b-c∈ (　　)
A.M∪P B.P
C.Q D.M
9.已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m= (　　)
A.0或 B.1或
C.0或3 D.1或3
10.已知集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax+6=0},若A∩B=B,则实数a不可能取的值为 (　　)
A.3 B.2 C.0 D.-2
11.定义集合运算:A B={z|z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B},设A={,},B={1,},则集合A B的真子集个数为 (　　)
A.8 B.7 C.16 D.15
12.如图所示,M、P、S是V的三个子集,则阴影部分所表示的集合是 (　　)
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩S)∩( SP) D.(M∩P)∪( VP)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答
案填在题中的横线上)
13.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则A∩( UB)=　　　　　.
14.方程组的解组成的集合为　　　　.
15.已知集合P={0,2,5},Q={1,2,6},定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},则P+Q中元素的个数是　　　　.
16.“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”.某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况,随机调查了100名学生,其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有80名,使用过扫码支付的学生共有65名,使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30名,则使用过共享单车的学生人数为　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知集合A={-4,2m-1,m2},B={m-5,1-m,9},若A∩B={9},求实数m的值.
18.(本小题满分12分)已知集合A={x|4≤x<8},B={x|5a}.
(1)求A∪B;( RA)∩B;
(2)若A∩C≠ ,求a的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.
(1)当a=3时,求A∩B;
(2)若a>0,且A∩B= ,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.
(1)若集合A是空集,求a的取值范围;
(2)若集合A中只有一个元素,求a的值,并把这个集合A写出来.
21.(本小题满分12分)设集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|2m(1)若A∩B=B,求实数m的取值范围;
(2)若B∩( RA)中只有一个整数,求实数m的取值范围.
22.(本小题满分12分)若集合A具有以下性质:
①0∈A,1∈A;
②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A.
则称集合A是“好集”.
(1)判断有理数集Q是不是“好集”,并说明理由;
(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A;
(3)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由.
命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A;
命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有∈A.
答案全解全析
第一章　集　合
本章达标检测
1.D 2.C 3.B 4.B 5.B
6.A 7.C 8.C 9.C 10.B
11.B 12.C
一、选择题
1.D　选项A,B,C所描述的对象没有一个明确的标准,故不能构成一个集合,选项D的标准唯一,故能构成集合.故选D.
2.C　A中,集合A中的元素为无理数,而集合B中的元素为有理数,故A≠B;B中,集合A中的元素为实数,而集合B中的元素为有序实数对,故A≠B;C中,因为|-|=,则集合A={1,,π},B={π,1,},故A=B;D中,集合A中的元素为0,1,而集合B中的元素为1,故A≠B.故选C.
3.B　由A={x|x2-1=0}={1,-1}知,A,C,D选项中的式子正确,B选项中的式子错误,应该是{-1} A,故选B.
4.B　M={x||x|≤2,x∈R}={x|-2≤x≤2},N={x|x2≤4,x∈N}={-2,-1,0,1,2},
∴N M.故选B.
5.B　依题意得A∪B={0,1,2,3},故选B.
6.A　因为M={x|y=x2+1}=R,N={y|y=x2+1}={y|y≥1},所以M∩N={x|x≥1},故选A.
7.C　集合A={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2},含3个元素,其子集有8个,除去其本身得真子集共有7个,故选C.
8.C　由题意设a=3k1,b=3k2+1,c=3k3-1(k1,k2,k3∈N),则a+b-c=3k1+3k2+1-(3k3-1)=3(k1+k2-k3)+2=3(k1+k2-k3+1)-1,而k1+k2-k3+1∈N,∴a+b-c∈Q.故选C.
9.C　由A∪B=A得B A,因为A={1,3,},B={1,m},所以m=3或m=,解得m=3或m=0或m=1(舍去),故选C.
10.B　由x2-x-6=0,得x=-2或x=3,∴A={-2,3}.又A∩B=B,∴B A.
当a=0时,ax+6=0无解,B= ,符合题意.
当a≠0时,由ax+6=0得x=-,
依题意得-=-2或-=3.
解得a=3或a=-2,
对比四个选项知a的值不能为2,故选B.
11.B　已知A={,},B={1,},则A B中的元素有(+1)×(-1)=1,(+)×(-)=0,(+1)×(-1)=2,(+)×(-)=1四种结果,由集合中元素的互异性得集合A B有3个元素,故集合A B的真子集个数为23-1=7,故选B.
12.C　题图中的阴影部分是M∩S的子集,但不含集合P中的元素,含于集合P的补集,用关系式表示出来即可.
二、填空题
13.答案　{2,5}
解析　∵U={1,2,3,4,5,6},B={1,3,4,6},∴ UB={2,5},
又A={2,3,5},∴A∩( UB)={2,5}.
14.答案　{(2,-2),(-2,2)}
解析　由x2-4=0,解得x=2或x=-2,代入x+y=0,得或
所以方程组的解组成的集合为{(2,-2),(-2,2)}.
15.答案　8
解析　根据题意,得P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},因此集合P+Q中有8个元素.
16.答案　45
信息提取　①共调查100名学生;②使用过共享单车或扫码支付的学生共有80名,使用过扫码支付的学生共有65名,使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30名;③求使用过共享单车的学生人数.
数学建模　本题以社会热点问题——“新四大发明”为背景,将实际问题集合化,通过构建集合模型求解.先用集合A表示使用过共享单车的人,用集合B表示使用过扫码支付的人,再根据集合运算确定结果.
解析　设参加调查的所有人组成全集U,使用过共享单车的人组成集合A,使用过扫码支付的人组成集合B,card(A)表示集合A中的元素,由题意card(A∪B)=80,card(B)=65,card(A∩B)=30,
∴card(A∩( UB))=80-65=15,
∴card(A)=15+30=45.
三、解答题
17.解析　因为A∩B={9},所以9∈A且9∈B,所以2m-1=9,或m2=9,
解得m=5,或m=±3. (3分)
当m=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},A∩B={-4,9},不符合题意;
当m=3时,B={-2,-2,9},与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;
当m=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},A∩B={9},符合题意. (9分)
综上所述,m=-3. (10分)
18.解析　(1)A∪B={x|4≤x<10}.
∵ RA={x|x<4,或x≥8},B={x|5∴( RA)∩B={x|8≤x<10}. (6分)
(2)要使得A∩C≠ ,画出数轴如图所示,
由图可知a<8. (12分)
19.解析　(1)∵当a=3时,A={x|-1≤x≤5},又B={x|x≤1或x≥4},
∴A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}. (6分)
(2)∵A∩B= ,A={x|2-a≤x≤2+a(a>0)},B={x|x≤1或x≥4},
∴∴020.解析　(1)要使集合A为空集,方程ax2-3x+2=0应无实数根,
∴应满足解得a>.
故a的取值范围是. (4分)
(2)当a=0时,方程为一元一次方程,有一个解为x=; (7分)
当a≠0时,方程为一元二次方程,此时集合A中只有一个元素的条件是Δ=0,解得a=,此时x1=x2=,
∴a=0或a=. (10分)
当a=0时,A=;
当a=时,A=. (12分)
21.解析　(1)因为A∩B=B,所以B A. (1分)
①当B≠ 时,-1≤2m<1 -≤m<; (3分)
②当B= 时,2m≥1,即m≥. (5分)
综上所述,实数m的取值范围是. (6分)
(2)∵A={x|-1≤x≤2},
∴ RA={x|x<-1 或x>2}. (7分)
①当B≠ 时,2m<1,即m<.
若B∩( RA)中只有一个整数,则-3≤2m<-2,得-≤m<-1; (9分)
②当B= 时,2m≥1,即m≥,因此B∩( RA)= ,不符合题意. (11分)
综上所述,实数m的取值范围是. (12分)
22.解析　(1)有理数集Q是“好集”. (1分)
理由如下:因为0∈Q,1∈Q,
对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,∈Q,所以有理数集Q是“好集”. (4分)
(2)证明:因为集合A是“好集”,
所以0∈A.若x,y∈A,则0-y∈A,
即-y∈A,
所以x-(-y)∈A,即x+y∈A. (6分)
(3)命题p,q均为真命题. 理由如下:
对任意的一个“好集”A,任取x,y∈A,
若x,y中有0或1时,显然xy∈A. (7分)
假设x,y均不为0,1,由定义可知:x-1,,∈A,
所以-∈A,即∈A,所以 x(x-1)∈A. (8分)
由(2)可得x(x-1)+x∈A,即x2∈A,
同理可得y2∈A,
若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2∈A;
若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A.
所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A,
所以∈A. (10分)
由(2)可得:=+∈A,所以xy∈A.
综上可知,xy∈A,即命题p为真命题.
若x,y∈A,且x≠0,则∈A,所以 =y·∈A,即命题q为真命题. (12分)
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