秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2022 年 1 月 14 日下午 3:50-5:50】
南充市 2021—2022 学年度上期普通高中二年级教学质量监测
文科数学
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．直线 x 3y 3 0的倾斜角为（ ）
2 5 A． 6 B． C． D．3 3 6
2．采用简单随机抽样的方法，从含有 6个个体的总体中抽取 1个容量为 3的样本，某个个
体被抽到的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 5 3 2
3．不等式 x 4y 4表示的区域在直线 x 4 y 4 0的（ ）
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
4．已知直线 l : y kx b，则“b 0”是“直线 l过第一、二象限”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．已知命题 p : x0 0, ,3x 30 x0 ，则 p是（ ）
A． x0 ,0 ,3x 30 x0 B． x0 ,0 ,3x x 30 0
C． x 0, ,3x x3 D． x 0, ,3x x3
6．已知圆C : x2 y 2 2x 4y 0 关于直线3x 2ay 11 0对称，则实数 a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．3 D．4
高二数学（文）试卷第 1页（共 4页）
7．青少年视力被社会普遍关注，为了解
他们的视力状况，经统计得到图中右下
角 12 名 青 少 年 的 视 力 测 量 值
ai i 1, 2,3, ,12 的茎叶图，其中茎表示
个位数，叶表示十分位数．如果执行如
图所示的算法程序，那么输出的结果是
（ ）
A． 4 B．5
C．6 D． 7
8．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
x y 0
9．已知实数 x, y满足条件： x y 3 0
y
，则 的最大值为（ ）
x 1
x 1
3
A 1． 2 B．2 C． D．15
10．已知点 P m,n 在圆O : x2 y2 1内部，则直线mx ny 1与圆O的公共点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或 2个
11．设 f x, y x 2 y 2 x 2 2 y 2 2 x 2 y 3 2 x 2 y 4 2 ，其
中 2 x 2， 4 y 0．则 f x, y 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．6 13 D． 4 3 5
12．已知圆O : x2 y2 2﹐ A,B为圆O上两个动点，且 AB 2 ,M 为弦 AB的中点，
C 5,a 1 ，D 5,a 3 ．当 A,B在圆O上运动时，始终有 CMD为锐角，
则实数 a的取值范围是（ ）
A． , 3 1, B． , 2 0,
C． 3,1 D． 2,0
高二数学（文）试卷第 2页（共 4页）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分）
1 1
13．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，则乙不输的概率为 ．
2 4
14．将某班的 60名学生编号为 01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为 5的
样本，且随机抽得的第一个号码为 03，则抽得的最大号码是______．
15．已知直线 x 3y 3 0与直线 2x ay 2 0平行，则这两直线之间的距离为 ．
16．过定点 M 的直线 ax y 1 0与过定点 N 的直线 x ay 3a 2 0 交于点 P ，
则 PM PN 的最大值为 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17．（本小题满分 12分）已知命题 p : x 1,3 ，都有m x成立；命题 q : x0 1,3 ，
使m x0 成立．若 p q为真命题，求实数 m的取值范围．
18．（本小题满分 12分）某省电视台为了了解该省卫视一档
成语类节目的收视情况，抽查东、西部各 5个城市，得
到观看节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如
下的茎叶图，其中西部人数一个数字被污损，用 m表示
(m N )．
（I）若东部各城市观看该节目的观众的中位数不超过西
部各城市观看该节目的观众的平均人数，求 m的值；
（II）该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观
众中随机统计了 4位观众周均学习成语知识的时间 y (单位：小时)与年龄 x (单位：
岁)，并制作了如下对照表：
年龄 x（岁） 20 30 40 50
周均学习成语知识时间 y(小时 ) 2.5 3 4 4.5
根据表中数据，用最小二乘法原理求出周均学习成语知识的时间 y与年龄 x的线性回
归方程 y b x a，并预测年龄为 60岁的观众周均学习成语知识的时间．
n n
x x y y x y nxy
i i i i
i 1 i 1
附：参考公式： b n n ， a y b x
x 2i x x 2i nx 2
i 1 i 1
高二数学（文）试卷第 3页（共 4页）
19．（本小题满分 12分）已知△ABC中，顶点 A 0,6 ,B 12,2 ， ACB的平分线所在直
线的方程为 x y 0．
（I）求 BC边所在的直线方程；
（II）求△ABC的内切圆方程．
20．（本小题满分 12分）某校在 2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取 40名学生
的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第 1组 75，80 ，第 2组 80，85 ，第 3组 85，90 ，
第 4组 90，95 ，第 5组 95，100 ，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩
小于 85分的学生为“良好”，成绩在 85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优
秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将
进入复试．
（I）根据样本频率分布直方图估计样本的众数；
（II）如果第三、四、五组的人数成等差数列，
求 m、n的值；
（III）如果用分层抽样的方法从“良好”和“优
秀”的学生中共选出 5人，再从这 5人中
选 2人发言，那么这两人中至少有一人是
“优秀”的概率是多少？
2
21．（本小题满分 12分）已知圆Q : x 5 y 2 1和点M 10，0 ．
（I）点 A在圆 Q上运动，且 A为线段 MN的中点，求点 N的轨迹曲线 T的方程；
（II）设 E为（I）中曲线 T上任意一点，过点 E向圆 Q引一条切线，切点为 F．
EF 2 1
试探究： x轴上是否存在定点 G（异于点 Q），使得 为定值？
EG 2
若存在，请求出定点 G的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共 10 分．考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．已知 x, y满足0 x 2, 0 y 3.
（I）若 x, y N ，求 x y 2的概率；
（II）若 x, y R，求 x y 2的概率.
23．某广告公司接到社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌 4个，绘画标牌 5
个.该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张 3 平方米，可做文字标牌 1 个和绘
画标牌 2个；乙种规格原料每张 2 平方米，可做文字标牌 2 个和绘画标牌 1个.问两种
规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小 并求最小用料面积.
高二数学（文）试卷第 4页（共 4页）南充市 2021—2022 学年度上期普通高中二年级教学质量监测
文科数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D C D B B D C A B A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
3
13. 14. 51 15. 1 16. 4
4
三、解答题：共 70 分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：命题 p : x 1,3 ，都有m x成立为真命题，则m xmax ，即m 3 ┄┄┄3 分
命题q : x0 1,3 ，使m x0 成立为真命题，则m x0 ，即m 1 ┄┄┄6 分 min
由 p q为真命题知 p假 q真， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分
m 3
故 ， 即 m的取值范围是 1，3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分
m 1
18．解：（I）东部各城市观看该节目的观众的中位数为 90 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
1 1
西部各城市观看该节目的观众的平均人数为90 -7-7-3 m 9 90 m 8 ┄┄4 分
5 5
1
由题意可得90 90 m 8 m 8 , m N , 0 m 9, m 8或9 ┄┄┄┄┄5 分
5
4 4
（II）由表中数据得 xi yi 525， x
2
i 5400， x 35， y 3.5 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分
i 1 i 1
4
xi yi 4xy
i 1 525 4 35 3.5
∴b = =0.074 ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分
2 2 5400 4 35 35 xi 4x
i 1
a y b x =1.05 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分
故线性回归方程为 y 0.07x 1.05 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分
可预测年龄为60 岁的观众周均学习成语知识时间 y 0.07 60 1.05=5.25小时 ┄┄12 分
19．解：（I）点 A 0,6 关于 ACB的平分线所在直线的对称点 A'在BC边所在的直线上 ┄1 分
m n 6
0 2 2 m 6' '
设 A m,n ， 则 , A 6,0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分
n 6 n 0 1 1
m
1
kBC k ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 BA' 3
高二文科数学参考答案 第 1 页（共 3 页）
1
故BC边所在的直线方程为 y x 6 ，即 x 3y 6 0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
3
（II）由△ABC的内切圆圆心在 ACB的平分线 x y 0上，设为M a,a ┄┄┄┄┄7 分
1 1
又 kAB 得 AB边所在的直线方程为 y x 6，即 x 3y 18 0 ┄┄┄┄┄8 分
3 3
2a 6 4a 18
由M a,a 到BC和 AB边距离相等得 a 2或a 12 舍 ┄10 分
10 10
故圆心为M 2,2 ，此时圆半径 r 10 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分
2 2
所以△ABC的内切圆方程 x 2 y 2 10 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分
1
20．解：（I）根据样本频率分布直方图估计样本的众数为 80 85 =82.5； ┄┄┄┄┄2 分
2
（II）由第三、四、五组的人数成等差数列得
0.02 n 5 40=2m 5 40 0.02 n 2m，① ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
“良好”的学生频率为 0.01 0.07 5=0.4，“优秀”学生频率为1 0.4=0.6；
故 n 0.02 m 5=0.6，② ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
由①②可得m 0.04, n 0.06 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分
（III）由分层抽样可得“良好”的学生有5 0.4=2人，“优秀”的学生有 3 人， ┄┄┄┄┄8 分
将三名优秀学生分别记为 A,B,C，两名良好的学生分别记为a,b，
则这 5 人中选 2 人的基本事件有： AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共 10 种 ， ┄10 分
其中至少有一人是“优秀”的基本事件有： AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共 9 种 ┄11 分
9
所以至少有一人是“优秀”的概率是 P ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分
10
x 10
x0 = 2
21．解：（I）设 A x0 , y0 ,N x, y ，则 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
yy0 2
2
由点 A在圆Q上运动，有 x 5 y 2 1 0 0
2 2
x y
1 x
2 y2 4即为点N 的轨迹曲线T的方程． ┄┄┄┄┄┄5 分
2 2
（II）设E x, y 为曲线T： x2 y2 4上任意一点，
假设存在 x轴上定点G（异于点Q）满足条件，设G t,0 , t 5
2 2 2
EF 1 EQ x 5 y2 x2 y2 10x 25 10x 29
则 2 2 2 2 2 2 2
EG EG x t y2 x y 2tx t 2tx t 4
对 x 2,2 恒为定值， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
高二文科数学参考答案 第 2 页（共 3 页）
10 29 2 4
必有 = 5t 29t 20 0 t 或t 5
2 舍 ┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 2t t 4 5
2 2
4 EF 1 EQ 25
所以存在 x轴上定点G ，0 使得 为定值． 2 2 ┄┄┄┄┄12 分
5 EG EG 4
（二）选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，共 10 分．
22．解：（I）设“ x, y N ， x y 2”为事件 A,
由 x, y N ，0 x 2, 0 y 3，得 x 0,1,2， y 0,1，2，3 ┄┄┄┄┄┄┄┄1 分
则 x, y 包含的基本事件有：(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,1),
(2,2), (2,3)共 12 个， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分
其中满足事件 A的基本事件 x, y 有 0,0 , 0,1 , 1,0 共 3 个，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
3 1 1
所以 p A = ．即 x, y N ， x y 2的概率 ． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分
12 4 4
（II）设“ x, y R， x y 2”为事件 B，
因为 x, y R，0 x 2, 0 y 3，则基本事件 x, y 构成如图长方形OABC区域┄6 分
满足事件 B的基本事件 x, y 包括的区域为其中的阴影部分，即 OAD． ┄┄┄┄┄8 分
1
2 2 y
所以 S 1p B OAD = 2 = ，
S长方形 2 3 3 C BOABC 3
2 D1
故 x, y R， x y 2的概率为 ． ┄┄┄┄┄10 分 A x
3 o 2
x+y=2
23．解：设需要甲种原料 x张，乙种原料 y张 ┄┄┄┄1 分
x 2y 4
2x y 5
则 ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分
x 0, y 0
x, y N
所用原料的总面积 z 3x 2y． ┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
由约束条件作出可行域如图，
x 2y 4
联立 ，解得 x 2， y 1，即 A(2,1)，┄┄7 分
2x y 5
3 z
由 z 3x 2y，得 y x ，由图可知，
2 2
3 z
当直线 y x 过A 时， z取得最小值为3 2 2 1 8． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分
2 2
故需要甲种原料 2 张，乙种原料 1 张，才能使总的用料面积最小，为8平方米． ┄10 分
高二文科数学参考答案 第 3 页（共 3 页）
