广东省深圳市宝安区2021-2022学年高二上学期期末调研数学试题（Word版含答案）

宝安区2021-2022学年第一学期期末调研测试卷
高二 数学
2022.1.15
全卷共四道大题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三维数组，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．2
2．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（ ）
A．16 B．8 C．2 D．1
3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A． B．或
C．或 D．
4．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）
B．
C． D．
5．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，若.则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知,为椭圆上关于短轴对称的两点，,分别为椭圆的上、下顶点，设,分别为直线,的斜率，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知数列满足，，则下列各数不是的项的有（ ）
A． B． C． D．3
10．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点 B．若，则或
C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限
11．若公差为d的等差数列满足，则下列结论正确的为（ ）
A．数列也是等差数列 B．
C． D．13是数列中的项
12．已知，为双曲线C：x2–=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P，使得PF1⊥PF2，直线PF2与y轴交于点Q，连接QF1，△PQF1，的内切圆圆心为I，则下列结论正确的有（ ）
A．F1，F2，P，I四点共圆 B．△PQF1的内切圆半径为1
C．I为线段OQ的三等分点 D．PF1与其中一条渐近线垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为___________.
14．，若2是与的等比中项，则的最小值为___________.
15．已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________．
16．如图，抛物线上的点与轴上的点构成等边三角形，，，其中点在抛物线上，点的坐标为，，猜测数列的通项公式为_____．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本题10分)在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.
（1）求的面积；
（2）若a、b、c成等差数列，求b的值.
18．(本题12分)已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大整数，当时，求的值.
19．(本题12分)已知圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（3）设直线与圆相交于两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值．
(本题12分)已知三棱柱中,.
（1）求证:平面平面.
（2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
21．(本题12分)若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.
（1）求a，b的值；
（2）若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.
22．(本题12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证:直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
宝安区2021-2022学年第一学期调研测试卷
高二数学参考答案
2022.1.15
全卷共四道大题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-4 DCBB 5-8 ACDA
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AC 10.ACD 11.ABC 12.ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.1 14.3 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）由得，所以，
所以，所以， --------3分
所以； --------5分
（2）因为a、b、c成等差数列，所以，
由余弦定理得， --------8分
即，解得. --------10分
18. （1）不妨设等差数列的公差为，
故，，
解得，， --------2分
从而，
即的通项公式为. --------3分
（2）由题意可知，，
所以， --------5分
故
，
因为当时，；
当时，，
所以， --------8分
由可知，， --------10分
即，解得，即的值为9. --------12分
19. （1）解：解法一：设圆的标准方程为，
由已知得， --------2分
解得，
所以圆的标准方程为； --------3分
解法二：由圆经过点和，可知圆心在线段的垂直平分线上，
将代入，得，即， --------2分
半径，
所以圆的标准方程为； --------3分
（2）解：当直线的斜率存在时，设，即，
由直线与圆相切，得，解得，
此时， --------6分
当直线的斜率不存在时，直线显然与圆相切．
所以直线的方程为或； --------8分
（3）解：圆心到直线的距离，
所以， --------10分
则点到直线距离的最大值为， --------11分
所以的面积的最大值 --------12分
20. （1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，
而，则是菱形，连接，如图，
则有，
因，，平面，
于是得平面， --------2分
而平面，
则，
由得，，平面，
从而得平面， --------4分
又平面，所以平面平面. --------5分
在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面，则平面，
以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，
如图，因，，
则， --------7分
假设在线段上存在符合要求的点P，
设其坐标为，
则有，设平面的一个法向量，
则有，令得， --------9分
而平面的一个法向量，
依题意， ，
化简整理得：
而，解得，
所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为. --------12分
21. 令，则， --------2分
则题目等价于在的最大值为9，最小值为1，
对称轴，开口向上，
则， --------5分
解得； --------6分
（2）令，则， --------8分
于是方程可变为，
即，
因为函数在单调递减，在单调递增，
且， --------11分
要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以. -------12分
22. （1）设椭圆方程为，由题意可得 ，解得， ∴椭圆方程为； --------3分
（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，，
所以设直线的方程为，
由消元，得 --------5分
∵直线l与椭圆交于A，B两个不同点，
所以，解得，
所以m的取值范围为. --------7分
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可， --------8分
设，由（Ⅱ）可知，
则，
由，
而
，
，
故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. --------12分