嘉兴市 2021—2022 学年第一学期期末检测
高二数学 答案 （2022.1）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
BADA BCDB
7 2．【解析】先证 b a，令 f x ex 2ln x，则当 x 1时， f x ex 0成立，所以 f x 在 1, 上
x
单调递增，所以 f 2 f 3 ，即 b a成立．下证 a c，a c e 2 2e 2 ln 2，令 p x ex ex，e
则 p x ex e，可得 p x 在 ,1 单调递减， 1, 单调递增，所以 p x min p 1 0，所以 p 2 0；
x 1 1 x e
令 q x ln x，则 q x ，可得 q x 在 0,e 单调递减， e, 单调递增，所以
e e x ex
q x q e 0，所以min q 2 0，即 a c成立，故选 D．
8．【解析】因为 F2 F4 F6 F2020 F1 F2 F4 F6 F2020 1 F3 F4 F6 F2020 1
F5 F6 F2020 1 F2021 1，故 A错误；因为
F1 F3 F5 F2021 F2 F3 F5 F2021 F4 F5 F2021 F2022，故 D错误；由 AD知
F1 F2 F3 F2021 F2021 1 F2022 F2023 1，故 C错误；下证 B正确，因为 Fn 1 Fn 2 Fn，所以
F 2 2 2n 1 Fn 1Fn 2 FnFn 1，即 F2 F2F3 F1F2 ， F3 F3F4 F2F3， ， F
2
2021 F2021F2022 F2020F2021，累加得
F 2 22 F3 F
2
2021 F2021F2022 F1F2 ，即
F 21 F
2 2 2
2 F3 F2021 F2021F2022 得证，故 B正确．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2分．
9．ACD 10．CD 11．BCD 12．BC
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． x 1 2 y 1 2 4 14． 2n 1 n 2
15． 4 3 16 1 ． a ,e e
16 ln x
ex ln x ex
．【解析】由题意知 x 0，所以 ax ln x ex ax 0 a a 0，令 p x ，q x ，
x
x x x
高二数学 答案 第 1页（共 5 页）
1 x
可求得 p x p e ， q x min q 1 e
ln x
，所以 a e 1 恒成立，即 a ,e ．max e x x e
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分 10分）
选择①解析：(Ⅰ) S 100a 100 99d 100 100 99d因为 100 1 10000 ，2 2
所以 d 2， an 1 n 1 d 2n 1．………………………………………………5分
( ) b 1 1 1 1 1 Ⅱ 因为 n ，………………………………………………8分anan 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
1
所以Tn 1
1 1 1 1 1 1 1 n
1 ．…………………………………10分
2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
选择②解析：(Ⅰ)因为 a2，a5，a
2
14 成等比数列，所以 a
2
5 a2 a14 ，即 1 4d 1 d 1 13d ，化简得 d 2 2d，
因为 d 0，所以 d 2， an 1 n 1 d 2n 1．………………………………………………5分
(Ⅱ)同上
选择③解析：(Ⅰ)因为 1 1 a 1 2 a 1 3 a 1 20221 2 3 a2022 2022 ，所以1011d 2022，所以 d 2，
an 1 n 1 d 2n 1．………………………………………………5分
(Ⅱ)同上
18．（本题满分 12分）
解析：(Ⅰ)根据频率和为1，可知 0.0024 0.0036 0.0060 x 0.0024 0.0012 50 1，计算得
x 0.0044．………………………………………………3分
150 200
由图可知，最高矩形的数据组为 150,200 ，所以众数为 175度．………………………6分
2
(Ⅱ)由频率分布直方图知：用电量落在区间 100,250 内的频率为
0.0036 0.0060 0.0044 50 0.7，………………………………………………9分
所以用电量落在区间 100,250 内的总户数为 0.7 200 140万户． ………………………………12分
19．（本题满分 12分）
解析：(Ⅰ) 2 2圆C1 : x
2 y2 2x 8y 8 0，即为 x 1 y 4 25，所以C1 1, 4 ， r1 5，
圆C2 : x a
2 y 2a 2 2 25 ，所以C2 a,2a 2 ， r2 5，……………………………2分
2 2
因为两圆外切，所以 C1C2 r1 r2 10，得 a 1 2a 2 10，
高二数学 答案 第 2页（共 5 页）
2
化简得 a 1 20，所以 a 1 2 5．………………………………………………5分
(Ⅱ)法①圆C2 : x a
2 y 2a 2 2 25 ，即为 x2 y2 2ax 4 1 a y 5a2 8a 21 0，
x2 y2 2x 8y 8 0,
将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 x2 y
2 2ax 4 1 a y 5a2 8a 21 0,
两式相减得公共弦 AB的方程为： 2 2a x 4 4a y 5a2 8a 13 0，……………………………7分
2
AB 55 3 5
由于 AB 55，得点C1到直线 AB的距离： d
2
C1 AB
r 25 ，…………9分
2 4 2
2 2a 4 4 4a 5a 2 8a 13 23 5 5a 10a 5 3 5
所以 ，即 ，即 a 1 3，
2 2a 2 4 4a 2 2 2 5 a 1 2
解得 a 2或者 a 4．………………………………………………12分
法②如图因为 r1 r2 5，所以圆C1与圆C2 关于直线 AB对称，
因 为 AB 55 ， 得 点 C1 到 直 线 AB 的 距 离 ：
2
2 AB d 55 3 5C1 AB r 25 ，…………9分
2 4 2
2 2
所以 C1C2 3 5 a 1 2a 2 ，
解得 a 2或者 a 4．…………………………………12分
20．（本题满分 12分）
解析：(Ⅰ)法①：设等比数列 an 的公比为 q，因为 S1 a1， S3 a3 ， S2 a2成等差数列，所以
S a 2
a3 1
3 3 S1 a1 S2 a2 S3 a3 ，即 4a3 a1，于是 q
1
a 4 ，又因为首项为 的等比数列
an 单调
1 2
递减，所以 q
1
， a
1
n n ．………………………………………………3分2 2
1 n 1
法②：设等比数列 an 的公比为 q，所以 an q ，因为数列 an 单调递减，所以 0 q 1，因为 S1 a ，2 1
S3 a3 ， S2 a2成等差数列，所以 S1 a1 S2 a2 2 S3 a3 ，
1 1 1 q2 1 q31 1 1
1
即 2 q 2
1
2 2 1 q 2
2 q 2 ，化简得 4q2 1，因为 0 q 1，所以 q ，
1 q 2 2
高二数学 答案 第 3页（共 5 页）
a 1n ．………………………………3分2n
因为 nbn 1 n 1 bn n n
b
1 b b n ，即 n 1 n 1，所以数列 是以1为首项1为公差的等差数列，
n 1 n n
b
即 n n，所以 bn n
2．………………………………………………6分
n
a b n T 1 2 3 n(Ⅱ)因为 n n 2n
，所以 n 2 22 23
①，………………………8分
2n
1
所以 T
1 2 3 n
n 2 3 4 n 1 ②，2 2 2 2 2
1 1 n
1
两式相减得 1T 1 1 1 1 n
2 2 n 1 n n
n 2 3 n
1
2 2 2 2 2 2 n 1 1 1 2
n 1
2 2
n 1
2
T n 2所以 n 2 n 2 ，得证．………………………………………………12分2
21．（本题满分 12分）
解析：(Ⅰ)因为抛物线C : y2 2px p 0 的准线 l : x 1，
p
所以 1，即 p 2，抛物线C的方程为 y2 4x．………………………………………………4分
2
(Ⅱ)方法①：设 P 1,t ， A x1, y1 ， PA中点M x2 , y2 ，
则直线 PA的方程为： y k1 x 1 t k1 0 ，
y y 4 ,
y k 1 2
联列 1
x 1 t , x k 2 k1消 得
y2 4x , 1
y 4y 4k1 4t 0，所以 ………………………6分
y y 4k 1 4t1 2 ,
k1
y 8 t 1 ,t y 3k 3 8 t 4 t 4k 4t
又因为 y2 1
，则 1 ，所以 2 4 t 3k 3
1 ，
y , 1 3k1 3 k1
2 3k1 3
化简得 36 t 2 k 21 32tk1 32 0，同理 36 t 2 k 22 32tk2 32 0，………………………9分
k
32t
1 k2 , 36 t 2 1 1
所以 k1 、 k2 是方程 36 t 2 k 2 32tk 32 0的两根，则 则 t k3 ，所以存在
k k 32 , k1 k2
1 2 36 t 2
1满足条件．………………………12分
方法②：因为抛物线C的方程为 y2 4x，设 P 1,t ， A a2 , 2a ， PA中点M m2 , 2m ，
高二数学 答案 第 4页（共 5 页）
2
m
2 a 1 , a2 2m2 1,
2 t 2则 即 2
2a t m a t
消m得 a ta 2 0，………………………6分
, 4
2m , 2 2 4
2
同理设 B b2 , 2b ， PB中点 N n2 , 2n ，则 b2 tb t 2 0，
4
2
所以 a、 b是方程 x2 tx t 2 0的两根，即 a b t，………………………9分
4
2a 2m 2 1 a m 3 t 1 b m 3 t
又因为 k1 2 2 ，即 a ，同理 b ，a m a m k1 2 4 8 k2 2 4 8
1 1 3 t
所以 a b t k3，所以存在 1满足条件．………………………12分k1 k2 4 4
22．（本题满分 12分）
解析：(Ⅰ) f x x ln x 2 ，定义域 x 2, ， f 0 0， f x ln x x 2 ，……………2分
x 2
所以 f 0 ln 2，故 f x 在点 0, f 0 处的切线方程为： y ln 2 x．……………4分
(Ⅱ)证明：(ⅰ)令 g x x ln x 2 x 1，则 g x ln x 2 x 1 ln x 2 2x 2 ，
x 2 x 2
h x ln x 2 2x 2令 ，则 h 1 g 1 1 2 x 4 0， h x 0成立，
x 2 x 2 x 2 2 x 2 2
所以 h x 在 2, 上单调递增，所以当 x 2, 1 时， g x h x 0， g x 单调递减；
当 x 1, 时 g x h x 0 ， g x 单调递增，所以 g x ，所以 成min g 1 0 f x x 1
立．……………8分
(ⅱ)不妨设 x1 x2 ，因为 y k与 y x 1的交点为 k 1,k ，故 x1 k 1．……………9分
令 p x x ln x 2 ln 2 x，则 p x x ln x 2 ln 2，
x 2
令 q x ln x 2 x 1 2 x 4 ln 2，则 q 0 p 0 0， q x 0成立，
x 2 x 2 x 2 2 x 2 2
所以 q x 在 2, 上单调递增，所以当 x 2,0 时， p x q x 0， p x 单调递减；
当 x 0, 时 p x q x 0， p x 单调递增，所以 p x min p 0 0，所以 f x ln 2 x成立，
y k y ln 2 x k ,k k因为 与 的交点为 ，故 x2 ，……………11分
ln 2 ln 2
x x k k 1 1 1所以 1 2
k 1，得证．……………12分
ln 2 ln 2
高二数学 答案 第 5页（共 5 页）嘉兴市 2021—2022学年第一学期期末检测
高二数学 试题卷 （2022.1）
姓名 准考证号
本试题卷共 6页，满分 150分，考试时间 120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷
和答题纸上规定的位置。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本
试题卷上的作答一律无效。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．立德中学高一年级共有学生 640人，其中男生300人，现采用分层抽样的方法调查学生的身高
情况，在抽取的样本中，男生有 30人，那么该样本中女生的人数为
A． 30人 B．34人 C． 60人 D． 64人
2．若函数 f x 3x sin 2x，则
A． f x 3x ln 3 2cos2x B． f x 3x 2cos2x
C． f x 3x ln 3 cos2x D． f x 3x ln 3 2cos2x
3．过点 1,3 且垂直于直线 x 2y 3 0的直线方程为
A． x 2y 7 0 B． 2x y 5 0 C． x 2y 5 0 D． 2x y 1 0
x2 y24．已知双曲线C : 1的右顶点为 A，过点 A作圆 x2 y2 1的两条切线 AM ，AN ，切点
2 2
分别为M ， N，则△AMN 的面积为
A 1 B 1 C 7 7 7 7． ． ． D．
2 16 8
5．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一
定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 e的点的轨迹叫做圆锥曲线；
高二数学 试题卷 第 1页（共 6页）
当 0 e 1时，轨迹为椭圆；当 e 1时，轨迹为抛物线；当 e 1时，轨迹为双曲线．则方程
x 4 2 y 2 1
表示的圆锥曲线的离心率 e等于
25 4x 5
A 1 B 4 C 5． ． ． D． 5
5 5 4
6．跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的
有效手段．赵老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面 5天中每天跑 4千
米，以后每天比前一天多跑 0.4千米，则他要完成该计划至少需要
A． 23天 B． 24天 C． 25天 D． 26天
7．设 a e 2 ln 2，b e 3 ln 3， c 2e 2 （其中 e 2.71828是自然对数的底数），则
e
A． a b c B．b a c C．b c a D． c a b
8．1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中提出了一个关于兔子繁殖
的问题，发现数列：1，1， 2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项
起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列 Fn 称为斐波那契数列，则下列结论正确的是
A． F2 F
2 2 2 2
4 F6 F2020 F2021 B． F1 F2 F3 F2021 F2021F2022
C． F1 F2 F3 F2021 F2023 D． F1 F3 F5 F2021 F2022 1
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
9．已知直线 l : 1 a x y 1 0 a R 与圆C : x2 y2 1，则下列结论正确的是
A．直线 l必过定点 B． l与C可能相离
C l C 4 5． 与 可能相切 D．当 a 1时， l被C截得的弦长为
5
10．为唤起学生爱护地球、保护家园的意识，加强对节能减排的宣传，进一步营造绿色和谐的校
园环境，树人中学决定举办环保知识竞赛．现有甲、乙、丙、丁四个班级参加，每个班级各派10
位同学参赛，每位同学需要回答10道题，每题回答正确得1分，回答错误得 0分．若规定总得分
达到 70分且没有同学得分低于 5分的班级为“优胜班级”，则根据以下甲、乙、丙、丁各班参赛
高二数学 试题卷 第 2页（共 6页）
同学的得分数据信息，能判断该班一定为“优胜班级”的是
A．甲班同学平均数为8，众数为8 B．乙班同学平均数为8，方差为 4
C．丙班同学平均数为 7，极差为 3 D．丁班同学平均数为 7，标准差为 0
11．函数 f x 的定义域为 a,b ，导函数 f x 在 a,b 内的图象如图所示，则
A．函数 f x 在 a,b 内一定不存在最小值 y y f (x)
B．函数 f x 在 a,b 内只有一个极小值点
C．函数 f x 在 a b a O b x, 内有两个极大值点
D．函数 f x 在 a,b 内可能没有零点 第 10题图
12．已知平面内两个定点 A 5,0 ， B 5,0 ，直线 AM ， BM 相交于点M ，且它们的斜率之积
为常数 0 ，设点M 的轨迹为C．下列说法中正确的有
A．存在常数 0 ，使C上所有的点到两点 6,0 ， 6,0 的距离之和为定值
B．存在常数 0 ，使C上所有的点到两点 6,0 ， 6,0 的距离之差的绝对值为定值
C．存在常数 0 ，使C上所有的点到两点 0, 6 ， 0,6 的距离之和为定值
D．存在常数 0 ，使C上所有的点到两点 0, 6 ， 0,6 的距离之差的绝对值为定值
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．以点 1,1 为圆心且与直线 x 3 0相切的圆的方程是 ．
14．已知数列 a nn 的通项公式 an 2 1，则其前 n项和 Sn ．
2 2
15 x y．已知椭圆C : 1，双曲线D与椭圆C共焦点，且与椭圆C在四个象限的交点分别为M ，
4 3
N， P，Q，则四边形MNPQ面积的最大值是 ．
16 x．已知不等式 ax ln x e ax 0对任意 x 0恒成立（其中 e 2.71828是自然对数的底数），
则实数 a的取值范围是 ．
高二数学 试题卷 第 3页（共 6页）
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分 10分）
已知数列 an 为公差不为零的等差数列， a1 1，记 Sn 为其前 n项和， ．
给出下列三个条件：条件① S100 10000 ；条件② a2 ， a5 ， a14 成等比数列；条件③
1 1 a1 1
2 a2 1
3 a3 1
2022 a2022 2022 ．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的
横线上，完成下列两问的解答：
(Ⅰ)求数列 an 的通项公式；
(Ⅱ) b 1设 n ，求数列 b 的前 n项和Ta a n n ．n n 1
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
18．（本题满分 12分）
从某城市抽取 100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 50到 350度之间，将
数据按照 50,100 ， 100,150 ， ， 300,350 分成 6组，画出的频率分布直方图如下图所示．
(Ⅰ)求直方图中的 x值和月平均用电量的众数；
(Ⅱ)已知该市有 200万户居民，估计居民中用电
量落在区间 100,250 内的总户数，并说明理由．
第 18题图
高二数学 试题卷 第 4页（共 6页）
19．（本题满分 12分）
已知圆C1 : x
2 y2 2x 8y 8 0，圆C2 : x a
2 y 2a 2 2 25．
(Ⅰ)若圆C1与圆C2 外切，求实数 a的值；
(Ⅱ)若圆C1与圆C2 相交于 A， B两点，弦 AB的长为 55 ，求实数 a的值．
20．（本题满分 12分）
1
已知首项为 的等比数列 an 是递减数列，其前 n项和为 S2 n ，且 S1 a1，S3 a3 ，S2 a2成
等差数列，数列 bn 满足 b1 1， nbn 1 n 1 bn n n 1 ．
(Ⅰ)求数列 an ， bn 的通项公式；
(Ⅱ)设数列 an bn 的前 n项和为Tn ，证明：Tn 2．
高二数学 试题卷 第 5页（共 6页）
21．（本题满分 12分）
如图，已知点 P是抛物线C : y2 2px p 0 的准线 l : x 1上的动点，抛物线C上存在不同
的两点 A， B满足 PA， PB的中点均在C上．
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ) 1 1记直线 PA，PB，PO的斜率分别为 k1，k2，k3 ，请问是否存在常数 ，使得 k3？k1 k2
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． y
A
P
O x
B
第 21题图
22．（本题满分 12分）
已知函数 f x x ln x 2 ．
(Ⅰ)求函数 f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(Ⅱ)若 x1， x2为方程 f x k的两个不相等的实根，证明：
(ⅰ) f x x 1；
(ⅱ) x 11 x
2 1
k 1．
ln 2
高二数学 试题卷 第 6页（共 6页）
