(共37张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标 素养要求
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，理解等式与不等式的共性与差异 数学建模
逻辑推理
| 自 学 导 引 |
1．不等式的概念：用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接______或_____________，以表示它们之间的不等关系，含有这些______的式子叫做不等式．
两个数
用不等式表示不等关系
两个代数式
不等号
2．常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示：
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ____
大于等于 ≥ 不少于 ____
小于等于 ≤ 不多于 ____
≥
≥
≤
【预习自测】
某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是________．
【答案】x＋y≥120
关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
a－b>0 ________；a－b＝0 a＝b；a－b<0 ________.
a>b
实数大小比较的依据
a
【预习自测】
已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是________．
【答案】a>－b>b>－a
等式的性质与不等式的性质的比较
等式的性质 不等式的性质
a＝b b＝a a>b ba＝b，b＝c a＝c a>b，b>c a>c
a＝b a＋c＝b＋c a>b a＋c>b＋c
a＝b ac＝bc a>b，c>0 ac>bc；
a>b，c<0 aca＝b，c＝d a＋c＝b＋d a>b，c>d ____________
a＝b，c＝d ac＝bd a>b>0，c>d>0 ________
a＝b≥0 an＝bn a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)
a＋c>b＋d
ac>bd
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( )
(2)若a(3)若a>b，则ac>bc一定成立． ( )
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d. ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)×
【解析】(1)不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.
(2)不等式a≤b表示a(3)由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
| 课 堂 互 动 |
(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？请用不等式表示问题中的不等关系．
(2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
素养点睛：考查数学建模的核心素养．
题型1 用不等式(组)表示不等关系
将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，找准不等关系所联系的量．
(2)用适当的不等号连接．
(3)多个不等关系用不等式组表示．
用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．
1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
【答案】4.5t<28 000
【解析】由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.
素养点睛：考查逻辑推理的核心素养．
题型2 代数式的大小比较
利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
素养点睛：考查逻辑推理的核心素养．
题型3 不等式的性质的应用
利用不等式的性质求取值范围的注意点
(1)利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
(2)同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
若a＞b，则ac2________bc2.
错解：因为c2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞.
易错防范：上面的解法错在忽视了c＝0的情况．当c＝0时，ac2＝bc2.防范措施是使用不等式的性质时，不可忽视条件．
正解：因为c2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故应填≥.
易错警示 忽视因式可能为0
巧题妙解 利用不等式的性质证明不等式
【思路点拨】不等式证明，就是利用不等式性质或者已知条件，推出不等式成立．
【精彩点拨】应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
| 素 养 达 成 |
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差并判断符号就可以了．
a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.
2．作差法比较大小的一般步骤：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．不等式的性质的应用(体现了逻辑推理的核心素养)．
1．(题型2)(2020年沈阳高一期中)设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有 ( )
A．P≥Q B．P＞Q
C．P＜Q D．P≤Q
【答案】A
【解析】P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，所以P≥Q.故选A．
【答案】D
【解析】因为a，b，c∈R且a＞b，所以取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝－1，可排除C．由不等式的性质知当a＞b时，－2a＜－2b，故D正确．故选D．
3．(题型1)完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设请木工x人，瓦工y人，则其中的不等关系是 ( )
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
【答案】D
【解析】据题意知500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.故选D．
4．(题型2)(2020年天津月考)若x≠2且y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系为________．
【答案】M＞N
【解析】M－N＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)2，又x≠2，y≠－1，所以M＞N.
5．(题型3)已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．(共36张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
| 自 学 导 引 |
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥____，当且仅当____时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把________叫做正数a，b的算术平均数，把______叫做正数a，b的几何平均数．
2ab
重要不等式与基本不等式
a＝b
a＝b
【答案】(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
已知x>0，y>0，则
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值________．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________．
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．
基本不等式与最值
通过以上结论可以得出，利用基本不等式求最值要注意哪几个方面？
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
素养点睛：考查逻辑推理的核心素养．
题型1 利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否相同；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的式子可重新组合，构造基本不等式模型再使用．
素养点睛：考查逻辑推理和数学运算的核心素养．
题型2 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
(2)并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值．
(3)配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
【答案】(1)16 (2)2
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
素养点睛：考查逻辑推理和数学运算的核心素养．
题型3 利用基本不等式解应用题
求解实际问题中最值的四步骤
(1)先读懂题意，设出变量，列出关系式；
(2)把实际问题抽象成求式子的最大值或最小值问题；
(3)求最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，求出最值，然后写出使等号成立的条件；
(4)回归到实际问题中，正确写出答案．
【答案】B
易错警示 忽视基本不等式成立的前提“正数”
| 素 养 达 成 |
【答案】B
3．(题型3)(2021年潍坊高一期末)某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为如图所示的二次函数关系．若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运________年．
【答案】5
4．(题型2)已知0第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标 素养要求
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数零点与方程根的关系 逻辑推理
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集 直观想象
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 数学运算
| 自 学 导 引 |
1．只含有________未知数，并且未知数的最高次数是________的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
一个
一元二次不等式的概念
2
不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
【提示】此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的________．
解集
一元二次不等式的解与解集
类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
【提示】不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
三个“二次”的关系
{x|x＜x1或x＞x2}
R
{x|x1＜x＜x2}
【预习自测】
若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
| 课 堂 互 动 |
题型1 不含参数的一元二次不等式的解法
素养点睛：考查数学运算和逻辑推理的核心素养．
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，
因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，
所以方程2x2－3x＋2＝0无实根．
又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)标准化：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图．
(5)写解集：根据图象写出不等式的解集．
1．解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；
(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；
(4)－3x2＋5x－2>0.
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
素养点睛：考查数学运算和逻辑推理的核心素养．
题型2 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
2．解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.
已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2素养点睛：考查数学运算和逻辑推理的核心素养．
题型3 三个“二次”之间的关系
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号．
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．
(3)将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
素养点睛：考查数学建模和数学运算的核心素养．
题型4 一元二次不等式的实际应用
解不等式应用题的步骤
4．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
易错警示 不等式变形前后不同解
| 素 养 达 成 |
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集(体现了直观想象的核心素养)．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．
有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”(体现了数学运算和逻辑推理的核心素养)，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的零点及图象的开口方向．
【答案】B
【解析】因为2x＋3－x2＞0，所以x2－2x－3<0，方程x2－2x－3＝0的根为－1,3，所以不等式的解集为{x|－1＜x＜3}．故选B．
2．(题型4)用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形，设围成的矩形一边的长为x m，则x的取值范围为 ( )
A．{x|15＜x＜25} B．{x|20＜x＜30}
C．{x|25＜x＜35} D．{x|30＜x＜40}
【答案】B
【解析】设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
4．(题型3)(2020年枣庄高一期中)已知关于x的不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，则a＋b＝________.
【答案】5
【解析】根据不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，知方程x2－5ax＋b＝0的两个根是1和4，则5a＝1＋4，b＝1×4，解得a＝1，b＝4.所以a＋b＝5.
5．(题型1)解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1)．
解：(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，
因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，
所以方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2开口向上，
所以原不等式的解集为R.(共41张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
章末素养提升
| 体 系 构 建 |
| 核 心 归 纳 |
1．作差法比较大小
作差法的依据是a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a步骤：作差→变形→判断差的符号→得出结论．
[注意] 只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．
(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．
4．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．具体理解如下：
(1)“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．
(2)“二定”：即含变量的各项的和或者积必须是定值，如要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值．
(3)“三相等”：具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或最小值．
在利用基本不等式求最值时必须同时考虑以上三个条件，如果其中一个不成立就可能得出错误的答案．
5．二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下：
(1)从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．
(2)从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是大于小根，且小于大根的实数的集合．
因此，利用二次函数的图象和一元二次方程的两根就可以解一元二次不等式．
| 素 养 提 升 |
数学建模——运用基本不等式解决实际问题
1．应用题求解，关键是建立数学模型，而应用题中最值问题的数学模型，关键是建立目标函数，培养学生利用基本不等式求最值的能力．这一类问题的求解必须具备一定的阅读理解能力和发现、提出、分析解决问题的能力，同时也要有一定的计算能力等．
2．解应用题应注意两个问题：一是建模问题，即通过建立数学模型把应用题转化为单纯的数学问题；二是建模后求解问题，即如何用相关的数学知识将其解答出来．
【典例】 如图所示，要设计一张矩形广告，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5 cm，怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌最省料？
某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
| 思 想 方 法 |
(一)分类与整合思想
思想方法解读：在求解不等式问题时，因概念、参数、解法等存在不确定因素的制约，常常需要分类讨论．
【点评】本题结合a对结果的影响进行分类讨论，应注意a变化引起结论的变化情况，分类要做到分类标准明确、不重不漏．
解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
【点评】用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式时，若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；若求对应一元二次方程的根的情况，则应对判别式Δ进行讨论；若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
1．已知关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.
(1)当a＝2时，求不等式的解集；
(2)当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集．
解：(1)当a＝2时，不等式为(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4，
所以该不等式的解集为{x|2＜x＜4}．
(2)因为a∈R，a≠0且a≠1，
当0＜a＜1时，a2＜a，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a2＜x＜a；
当a＜0或a＞1时，a＜a2，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a＜x＜a2.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＜0或a＞1时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}．
(二)转化与化归思想
思想方法解读：通过某种变换，把复杂问题转化为简单问题，把陌生问题转化为熟知、易解的问题，将未知化归为已知的思想方法，最终使问题得以解决．
1．通过转化证明不等式
策略：从待证式出发，分析使待证式成立的充分条件，如果条件具备则不等式得证，其特征是以“未知”看“已知”，逐步“执果索因”．
已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
证明：由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理可得b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2.
所以(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
【点评】利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
3．已知实数m∈{m|1≤m≤4}，求使不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围．
| 链 接 高 考 |
(2019年新课标Ⅱ改编)设集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝ ( )
A．{x|x＜1} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－3＜x＜－1} D．{x|x＞3}
【答案】A
【解析】A＝{x|x2－5x＋6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，则A∩B＝{x|x＜1}．故选A．
一元二次不等式的解法
【点评】解一元二次不等式的一般步骤是把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，然后计算对应方程的判别式，求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根，最后写出不等式的解集．
(2019年天津)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为________．
【点评】基础题，注意计算的准确性和迅速性．
基本不等式的应用
【点评】本题是已知和为定值，求积的最小值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分．
(2017年江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
【答案】30
【点评】应用基本不等式解决实际问题时，应先建立相应的关系式，把实际问题抽象成求最大值或最小值问题，最后求出函数的最大值或最小值，根据题意写出答案．