2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.2直角三角形 同步训练 （word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-2直角三角形》同步练习题（附答案）
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这个锐角的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．40°
3．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是（　　）
A．25° B．30° C．50° D．65°
6．下列说法，正确的是（　　）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点
C．三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形
D．两边分别相等的两个直角三角形全等
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（　　）
A．2 B．3
C．2 D．5
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则BD的长度是（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
9．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
10．如图AB∥DF，AC⊥CE于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于（　　）
A．110° B．100° C．80° D．70°
11．在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　）
A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上
C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点
12．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．2.5 B． C． D．2
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝12，D为AB的中点，F为CD上一点，CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（　　）
A．12 B．6 C．7 D．8
15．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）
A．28 B．20 C．14 D．18
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝3，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为（　　）
A．12 B．3+3 C．6+3 D．6
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，则∠DCB＝（　　）
A．50° B．45° C．40° D．25°
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，AD＝1，则AB的长为　 　．
19．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，若AC＝6，则DE的长为　 　．
20．如图，等边△ABC的边长为8，D、E分别是BC、AC边的中点，过点D作DF⊥AB于F，连接EF，则EF的长为 　 　．
21．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是　 　度．
22．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为　 　．
23．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D为BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE，且AE＝DE．
（1）求证：∠AEC＝∠C；
（2）若AE＝8.5，AD＝8，求△ABE的周长．
24．已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E．
求证：△ACD≌△CBE．（以上两个不同的图形所得的结论相同．请你任选其中一个图形加以证明）
25．已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥AC交BC于D，AD＝2，求BC的长度．
26．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
参考答案
1．解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2＝4cm．
故选：B．
2．解：设一个锐角的度数为x，则另一个锐角的度数为x，
则x+x＝90°，
解得，x＝60°，
故选：C．
3．解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；
②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；
③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；
④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；
故选：A．
4．解：过A作AD⊥BC，
∵在等腰△ABC中，∠A＝120°，
∴∠ADB＝90°，∠B＝30°，
∵AB＝4，
∴AD＝2，BD＝2＝DC，
∴△ABC的面积＝，
故选：C．
5．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝65°，
∴∠B＝25°，
∵CD⊥AB，E是BC的中点，
∴ED＝BC＝EB，
∴∠EDB＝∠B＝25°，
∴∠EDC＝90°﹣25°＝65°，
故选：D．
6．解：A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，错误；
B、到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，正确；
C、三角形一边上的中线将三角形分成面积长相等的两个三角形，错误；
D、若一个直角三角形的斜边和直角边与另一个直角三角形的两个直角边相等则这两个直角三角形不全等，错误；
故选：B．
7．解：设BE＝EC＝x，CF＝FA＝y，
∵∠C＝90°，AE＝3，BF＝4，
则有，
解得x2＝，y2＝，
∴AB＝＝＝2，
故选：C．
8．解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9cm，
故选：C．
9．解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．
很据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，
还需补充一对直角边相等，
即AC＝AD或BC＝BD，
故选：B．
10．解：∵AC⊥BC于C，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
∴∠ABC＝∠1＝70°，
∵AB∥DF，
∴∠1+∠CEF＝180°，
即∠CEF＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
11．解：A、∵AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A＝∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；
B、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
C、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；
D、无法判定，错误，
故选：D．
12．解：作PH⊥MN于H，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝4，
故选：B．
13．解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，
∴AC＝，CF＝3，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×2＝．
故选：B．
14．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝6，
∵CF＝CD，
∴CF＝2，
∴DF＝4，
∵BE∥DC，D为AB的中点，
∴BE＝2DF＝8，
故选：D．
15．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+5+5＝14．
故选：C．
16．解：∵AB的中垂线l交BC于点D，
∴AD＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∵∠C＝90°，AC＝3，
∴AD＝6，CD＝．
BC＝BD+CD＝6+3
故选：C．
17．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝50°，
故选：A．
18．解：如图：
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠B＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∵AD＝1，
∴AC＝2，
∴AB＝4，
故答案为：4．
19．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴D是BC的中点，
∵E是AB的中点，
∴DE是三角形中位线，
∵AC＝7，
∴DE＝3．
故答案为：3．
20．解：连接DE，
∵D、E分别是BC、AC边的中点，等边△ABC的边长为8，
∴BD＝DE＝4，DE∥AB，
∴∠CDE＝∠B＝60°，
∵DF⊥AB，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BDF＝30°，DF＝BD＝2，
∴∠FDE＝90°，
∴EF＝＝2，
故答案为：2．
21．解：∵一个锐角为50°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
22．解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠POD，
又∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，
∴PE＝PC＝2，
则PD＝PE＝2．
故答案为：2．
23．（1）证明：∵AD⊥AB，点E是BD的中点，
∴AE＝BD＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠AEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠B，
∵∠C＝2∠B，
∴AEC＝∠C；
（2）解：由（1）得，BD＝2AE＝17，
由勾股定理得，AB＝＝15，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝32．
24．证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
又∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∠ADC＝∠CEB＝90°，且AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE．
25．解：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∵∠C＝30°
∴CD＝2AD＝4，∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝DB＝2，
∴BC＝CD+BD＝4+2＝6．
26．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．