2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.4角的平分线 同步训练 （word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角的平分线》同步练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AD＝3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（　　）处．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BC＝5，DC＝2，AC＝3，则AB的值等于（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
4．如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上；②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB＝OC．以上结论正确的有（　　）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
5．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，则∠MAB的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
6．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
7．如图，E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（　　）
A．6 B．+4 C．+2 D．2+2
10．如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连接AB、BC，则四边形OABC的面积为（　　）
A．4cm2 B．2cm2 C．4cm2 D．2cm2
11．如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（　　）cm．
A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
13．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
14．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
15．如图，在△ABC中，CD平分∠BCA，DE⊥BC于点E，且DE＝3cm，BC＝8cm，AC＝4cm，则△ABC的面积是　 　cm2．
16．如图，已知OC是∠AOB的角平分线，点D、F分别是射线OC、OA的动点，DE⊥OB于E且DE＝3cm，则线段DF的最小值是　 　cm．
17．如图所示，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM＝PN．
18．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB＝AD，BC＝DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．
求证：CE＝CF．
19．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC．
20．如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．
21．已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，
求证：OB＝OC．
证明：∵AO平分∠BAC，
∴OB＝OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．
22．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
23．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示.
∵AC＝4，AD＝3CD，
∴CD＝AC＝1．
又∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝1．
故选：A．
2．解：∵度假村到三条公路的距离相等，
∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，
∵△ABC的三条角平分线相交于一点，
∴度假村可供选择的位置有一处，
故选：A．
3．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，
∵S△ABD：S△ACD＝BD：CD，
∴AB：AC＝BD：CD，即AB：3＝3：2，
∴AB＝4.5．
故选：C．
4．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵BO平分∠DBC，OD⊥BD，OE⊥BC，
∴OD＝OE，
同理可得OE＝OF，
∴OD＝OF，
∴点O在∠A的平分线上，所以①正确；
OD＝OE＝OF，所以②正确；
∵不能确定∠ABC＝∠ACB，
∴不能确定∠OBE＝∠OCE，
∴不能确定OB＝OC，所以③错误．
故选：B．
5．解：作MN⊥AD于N，如图，
∵∠B＝∠C＝90°，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，MN⊥AD，
∴MC＝MN，
∵M点为BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，
∴AM平分∠DAB，
∴∠MAB＝∠DAB＝×60°＝30°．
故选：A．
6．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ AB OE： BC OF： AC OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
7．解：∵AB＝4，△ABE的面积为12，
∴点E到直线AB的距离＝，
∵E为∠BAC平分线AP上一点，
∴点E到直线AC的距离＝6，
故选：D．
8．解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，
∴OD＝OE＝OM，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴S△ABC＝AC BC＝×AB OE+AC OD+BC OM，
∴＝+ OM+，
∴OM＝2，
故选：B．
9．解：∵在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，∠AFD＝∠BFD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝BAC＝30°，
∴AD＝2DF＝4，
∵∠B＝45°，
∴∠FDB＝∠B＝45°，
∴BF＝DF＝2，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴AB＝AF+BF＝2+2，
故选：D．
10．解：由题意可知OB是∠MON的角平分线，
∵∠MON＝60°，
∴∠BON＝30°，
作BD⊥ON于D，
∵OC＝BC＝2，
∴∠BOC＝∠OBC＝30°，
∴∠BCN＝60°，
∴BD＝BC＝，
∴S△BOC＝OC×BD＝＝，
∴四边形OABC的面积＝2S△BOC＝2，
故选：B．
11．解：∵点P到△ABC三边的距离相等，
∴AP平分∠BAC，
∴∠DAP＝∠CAP，
∵DE∥AC，
∴∠DPA＝∠PAC，
∴∠DAP＝∠APD，
∴AD＝PD，
同理PE＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，
故选：B．
12．解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC＝ED＝3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AD，
∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，
∴BD＝4，
设AC＝x，则AB＝4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
即x2+82＝（x+4）2，
解得：x＝6，
即AC的长为：6．
故选：C．
13．解：当PE⊥BC时，PE值最小，
∵AB∥CD，AD过点E，且与AB互相垂直，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PE＝AE，PE＝DE，
即PE＝AD，
∵AD＝8，
∴PE＝4，
即PE的最小值是4，
故选：D．
14．解：过P点作PF⊥OD，
∵∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠POE＝75°，
∵DP∥OA，
∴∠DPO＝∠POE＝75°，
∴∠DOP＝∠DPO＝75°，
∴DP＝OD＝4，
∴∠PDO＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵PF⊥OD，
∴∠PFD＝90°，
∴PF＝DP＝2，
∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，
∴PE＝PF＝2，
故选：A．
15．解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
∵CD平分∠BCA，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
∴S△ABC＝S△DBC+S△DAC
＝×8×3+×4×3
＝18（cm2）．
故答案为18．
16．解：当DF⊥OA时，DF的值最小，
∵OC是∠AOB的角平分线，DF⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DF＝3cm，
故答案为：3．
17．证明：在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB．
又PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
18．证明：连接AC，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠DAC＝∠BAC．
又∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CE＝CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
19．证明：（1）在Rt△OEC和Rt△OFB中
∵，
∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL），
∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等），
∴AB＝AC（等角对等边）；
（2）在Rt△OEC和Rt△OFB中，
∵，
∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL），
∴∠OBF＝∠OCE，
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠FBO+∠OBC＝∠OCE+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
20．解：PE＝PF，
理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
则∠PME＝∠PNF＝90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PM＝PN，
∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠MPE＝∠FPN，
在△PEM和△PFN中
∴△PEM≌△PFN，
∴PE＝PF．
21．证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD＝OE，
在△DOB和△EOC中，
∠DOB＝∠EOC，OD＝OE，∠ODB＝∠OEC，
∴△DOB≌△EOC（ASA），
∴OB＝OC．
22．解：相等．
证明如下：连EB、EC，
∵AE是∠BAC的平分线，
且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴EF＝EG．
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB＝EC．
∴Rt△EFB≌Rt△EGC，
∴BF＝CG．
23．解：CE＝CF＝GB．
理由如下：
（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD＝90°．
∴∠ACD＝∠ABC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE．
∵∠CEF＝∠BAE+∠ABC，∠CFE＝∠CAE+∠ACD，
∴∠CEF＝∠CFE．
∴CE＝CF（等角对等边）．
（2）如图，过E作EH⊥AB于H，
∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC，
∴EH＝EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∴EH＝CF．
∵FG∥AB，
∴∠CGF＝∠EBH．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴∠CFG＝∠EHB＝90°．
在Rt△CFG和Rt△EHB中
∵，
∴Rt△CFG≌Rt△EHB（AAS）．
∴CG＝EB．
∴CE＝GB．
∴CE＝CF＝GB．