2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷（word解析版）

2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级第一学期期末数学试卷
一、单项选择题（每题3分，共24分）
1．﹣2021的绝对值是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．预计到2025年，中国5G用户将超过460000000，将460000000用科学记数法表示为（　　）
A．4.6×109 B．46×107 C．4.6×108 D．0.46×109
3．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．把不等式x+1≤2x﹣1的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6．下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 AB＝10m，α＝45°，β＝56°
设树顶端到地面的高度DC为xm，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（　　）
A．x＝（x﹣10）cos56° B．x＝（x﹣10）tan56°
C．x﹣10＝xtan56° D．x＝（x+10）sin56°
7．下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，△AOB和△BCD均为等腰直角三角形，且顶点A、C均在函数y＝（x＞0）的图象上，连结AD交BC于点E，连结OE．若S△OAE＝4，则k的值为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
二、填空题（每空3分，共18分）
9．计算：m （m2）3＝　 　．
10．若a﹣b＝，ab＝1，则a2b﹣ab2＝　 　．
11．原价为x元的衬衫，若打8折销售，则现在的售价为 　 　元（用含x的代数式表示）．
12．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为　 　度．
13．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共78分）
15．先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣4（a+1）（a﹣1），其中a＝﹣．
16．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
17．在创建文明城市的进程中．某市为美化城市环境，计划种植树木6000棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树的棵数．
18．请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DC，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
19．已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．
20．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
一、数据收集，从全校随机抽取20名学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）：
30 60 81 50 44 110 130 146 80 100
60 80 120 140 75 81 10 30 81 92
二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x（min） 0≤x＜40 40≤x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160
等级 D C B A
人数 3 a 8 b
三、分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数 中位数 众数
80 c 81
四、得出结论：
①表格中的数据：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为　 　；
③如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有　 　人；
④假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读　 　本课外书．
21．甲、乙两车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点，甲车出发半小时后，乙车以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车行驶的速度是 　 　千米/小时．
（2）求乙车追上甲车后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出两车相距85千米时x的值．
22．教材星现：（华师版九上28.3圆周角）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）．
教材分析：如图，AB是⊙O的直径，∠C是AB所对的圆周角，根据上述定理，则∠C＝90°．如果我们把∠AOB看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论：∠C＝∠AOB，即：半圆所对的圆周角等于该半圆所对的圆心角的一半．
联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？
探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类：
（1）圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①．
∵OA＝OC，∴∠A＝∠C．∵∠AOB＝∠A+∠C＝2∠C，∴∠C＝∠AOB．
（2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径CD．
由（1）的结论，∠1＝∠　 　，∠2＝∠　 　．
∴∠ACB＝∠1+∠2＝（∠　 　+∠　 　）＝∠　 　．
（3）圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成推理过程．
23．如图，在 ABCD中，∠ABD＝90°，AD＝4cm，BD＝8cm．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，点P在AB边、BC边上的运动速度分别为1cm/s、cm/s．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM＝2PQ，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形PQMN与 ABCD重叠部分的面积为S（cm2）．
（1）求边AB的长；
（2）当0＜t＜4时，PQ＝　 　，当4＜t＜8时，PQ＝　 　（用含t的代数式表示）；
（3）当点M落在BD上时，求t的值；
（4）当矩形PQMN与 ABCD重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式．
24．已知抛物线G：y＝﹣mx2+2mx﹣3有最高点．
（1）m　 　0（填“＞、＝、＜”）；
（2）求二次函数y＝﹣mx2+2x﹣3的最大值（用含m的式子表示）；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）记（3）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标yp的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（每题3分，共24分）
1．﹣2021的绝对值是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
解：﹣2021的绝对值为2021，
故选：B．
2．预计到2025年，中国5G用户将超过460000000，将460000000用科学记数法表示为（　　）
A．4.6×109 B．46×107 C．4.6×108 D．0.46×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数
解：将460000000用科学记数法表示为4.6×108．
故选：C．
3．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
解：从正面看有两层，底层三个正方形，上层左边一个正方形，左齐．
故选：D．
4．把不等式x+1≤2x﹣1的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
解：由x+1≤2x﹣1，得：
x≥2，
故选：A．
5．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 AB＝10m，α＝45°，β＝56°
设树顶端到地面的高度DC为xm，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（　　）
A．x＝（x﹣10）cos56° B．x＝（x﹣10）tan56°
C．x﹣10＝xtan56° D．x＝（x+10）sin56°
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：∵∠DAC＝45°，
∴AC＝CD＝x，
∵AB＝10，
∴BC＝x﹣10，
∴tan56°＝，
∴x＝（x﹣10）tan56°，
故选：B．
7．下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】要确定AD＝BD，首先确定AB的垂直平分线即可．
解：根据作图方法可得B选项中AD＝BD，
故选：B．
8．如图，△AOB和△BCD均为等腰直角三角形，且顶点A、C均在函数y＝（x＞0）的图象上，连结AD交BC于点E，连结OE．若S△OAE＝4，则k的值为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出OA＝AB，∠AOB＝∠CBD＝45°，那么OA∥BC，S△OAB＝S△OAE＝4．过点A作AF⊥OB于F，根据等腰三角形的性质得出OF＝BF，那么
S△OAF＝S△ABF＝S△OAB＝2，再利用反比例函数比例系数k的几何意义求出k＝4．
解：∵△AOB和△BCD均为等腰直角三角形，
∴OA＝AB，∠AOB＝∠CBD＝45°，
∴OA∥BC，
∴S△OAB＝S△OAE＝4．
如图，过点A作AF⊥OB于F，则OF＝BF，
∴S△OAF＝S△ABF＝S△OAB＝2，
∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2，解得k＝4．
故选：C．
二、填空题（每空3分，共18分）
9．计算：m （m2）3＝　m7　．
【分析】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
解：m （m2）3＝m m6＝m7．
故答案为：m7．
10．若a﹣b＝，ab＝1，则a2b﹣ab2＝　　．
【分析】首先提公因式法分解因式，再代入求值即可．
解：∵a﹣b＝，ab＝1，
∴a2b﹣ab2
＝ab a﹣ab b
＝ab（a﹣b）
＝1×
＝，
故答案为：．
11．原价为x元的衬衫，若打8折销售，则现在的售价为 　0.8x　元（用含x的代数式表示）．
【分析】根据题意列出式子即可．
解：现在的售价为：0.8x元，
故答案为：0.8x．
12．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为　34　度．
【分析】根据三角形的内角和得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°，根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，进而根据角的和差得出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°．
解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°
∵AB＝BD
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°
故答案为：34．
13．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　45　°（点A，B，P是网格线交点）．
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理和逆定理证明∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案为：45．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为　5　．
【分析】首先求出抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数）的对称轴，然后根据A和B、C和D均关于对称轴直线x＝1对称，分别求出B和D点的坐标，即可求出OB和CD的长．
解：∵抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数），
∴对称轴为直线x＝1，
∵点A和点B关于直线x＝1对称，且点A（﹣1，0），
∴点B（3，0），
∴OB＝3，
∵C点和D点关于x＝1对称，且点C（0，a+k），
∴点D（2，a+k），
∴CD＝2，
∴线段OB与线段CD的长度和为5，
故答案为5．
三、解答题（本大题共6小题，共78分）
15．先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣4（a+1）（a﹣1），其中a＝﹣．
【分析】先利用乘法公式及单项式乘多项式的运算法则计算乘方，乘法，然后再合并同类项进行化简，最后代入求值．
解：原式＝4a2﹣4a+1﹣4（a2﹣1）
＝4a2﹣4a+1﹣4a2+4
＝﹣4a+5，
当a＝﹣时，
原式＝﹣4×（﹣）+5
＝1+5
＝6．
16．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
解：画树状图如下
由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．
17．在创建文明城市的进程中．某市为美化城市环境，计划种植树木6000棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树的棵数．
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，
依题意，得：﹣＝5，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天植树200棵．
18．请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DC，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
【分析】（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m．
（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BD交于一点，连接两点获得垂直平分线n．
解：（1）如图①，直线m即为所求
（2）如图②，直线n即为所求
19．已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
20．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
一、数据收集，从全校随机抽取20名学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）：
30 60 81 50 44 110 130 146 80 100
60 80 120 140 75 81 10 30 81 92
二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x（min） 0≤x＜40 40≤x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160
等级 D C B A
人数 3 a 8 b
三、分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数 中位数 众数
80 c 81
四、得出结论：
①表格中的数据：a＝　5　，b＝　4　，c＝　80.5　；
②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为　B　；
③如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有　160　人；
④假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读　13　本课外书．
【分析】①根据已知数据和中位数的概念可得；
②由样本中位数和众数、平均数都是B等级可得答案；
③利用样本估计总体思想求解可得；
④用没有阅读书籍的平均时间乘以一年的周数，再除以阅读每本书所需时间即可得．
解：①由已知数据知a＝5，b＝4，
∵第10、11个数据分别为80、81，
∴中位数c＝＝80.5，
故答案为：5、4、80.5；
②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为B，
故答案为：B；
③估计等级为“B”的学生有400×＝160（人），
故答案为：160；
④估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读课外书×52＝13（本），
故答案为：13．
21．甲、乙两车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点，甲车出发半小时后，乙车以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车行驶的速度是 　60　千米/小时．
（2）求乙车追上甲车后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出两车相距85千米时x的值．
【分析】（1）根据题意结合图象列式计算即可；
（2）分别求出相应线段的两个端点的坐标，再运用待定系数法解答即可；
（3）把y＝85代入（2）的结论解答即可．
解：（1）甲行驶的速度为：30÷0.5＝60（千米/小时），
故答案为：60．
（2）如图所示：
设甲出发x小时后被乙追上，根据题意得：
60x＝80（x﹣0.5），
解得x＝2，
即甲出发2小时后被乙追上，
∴点A的坐标为（2，0），
480÷80+0.5＝6.5（时），
即点B的坐标为（6.5，90），
设AB的解析式为y＝kx+b，由点A，B的坐标可得：
，解得，
所以AB的解析式为y＝20x﹣40（2≤x≤6.5）；
设BC的解析式为y＝﹣60x+c，
则﹣60×8+c＝0，解得c＝480，
故BC的解析式为y＝﹣60x+480（6.5≤x≤8）；
（3）根据题意得20x﹣40＝85或﹣60x＝480﹣85，
解得x＝或x＝．
答：出两车相距85千米时x的值为或．
22．教材星现：（华师版九上28.3圆周角）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）．
教材分析：如图，AB是⊙O的直径，∠C是AB所对的圆周角，根据上述定理，则∠C＝90°．如果我们把∠AOB看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论：∠C＝∠AOB，即：半圆所对的圆周角等于该半圆所对的圆心角的一半．
联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？
探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类：
（1）圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①．
∵OA＝OC，∴∠A＝∠C．∵∠AOB＝∠A+∠C＝2∠C，∴∠C＝∠AOB．
（2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径CD．
由（1）的结论，∠1＝∠　BOD　，∠2＝∠　AOD　．
∴∠ACB＝∠1+∠2＝（∠　BOD　+∠　AOD　）＝∠　AOB　．
（3）圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成推理过程．
【分析】（2）由（1）的结论得出∠1＝∠BOD，∠2＝∠AOD．再求和即可得出结论；
（3）由（1）的结论得出∠1＝∠BOD，∠2＝∠AOD．再求差即可得出结论；
解：（2）圆心在圆周角内，如图②
我们将其化归为①的情形，作直径CD．
由（1）的结论得，∠1＝∠BOD，∠2＝∠AOD．
∴∠ACB＝∠1+∠2＝（∠BOD+∠AOD）＝∠AOB，
故答案为：BOD，AOD，BOD，AOD，AOB．
（3）圆心在圆周角外，如图③，
我们将其化归为①的情形，作直径CD．
由（1）的结论得，∠BCD＝∠BOD，∠ACD＝∠AOD．
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝（∠AOD﹣∠BOD）＝∠AOB．
23．如图，在 ABCD中，∠ABD＝90°，AD＝4cm，BD＝8cm．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，点P在AB边、BC边上的运动速度分别为1cm/s、cm/s．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM＝2PQ，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形PQMN与 ABCD重叠部分的面积为S（cm2）．
（1）求边AB的长；
（2）当0＜t＜4时，PQ＝　2tcm　，当4＜t＜8时，PQ＝　（16﹣2t）cm　（用含t的代数式表示）；
（3）当点M落在BD上时，求t的值；
（4）当矩形PQMN与 ABCD重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式．
【分析】（1）由∠ABD＝90°，AD＝4cm，BD＝8cm，直接可得AB＝4cm；
（2）当0＜t＜4时，P边AB上，可得tan∠A＝＝＝2，即得＝2，故PQ＝2tcm；当4＜t＜8时，P在边BC上，由BP＝（t﹣4）cm，得CP＝BC﹣BP＝（8﹣t）cm，根据tanC＝tanA＝2，有＝，故PQ＝（16﹣2t）cm；
（3）当P在AB上时，可得4﹣t＝2×2t，即可解得t＝，当P在BC上时，由PQ＝16﹣2t得t﹣4＝2（16﹣2t），可解得t＝；
（4）当0≤t≤时，S＝PQ QM＝8t2（cm2）；当＜t＜4时，S＝＝＝（﹣4t2+16t）cm2，当4＜t＜时S＝＝＝（﹣t2+8t）cm2，当≤t＜8时，S＝（16﹣2t） （32﹣4t）＝（8t2﹣128t+512）（cm2）．
解：（1）∵∠ABD＝90°，AD＝4cm，BD＝8cm，
∴AB＝＝4（cm）；
（2）当0＜t＜4时，P边AB上，如图：
∵tanA＝＝＝2，
∴＝2，即＝2，
∴PQ＝2t（cm）；
当4＜t＜8时，P在边BC上，如图：
由已知得：BP＝（t﹣4）cm，
∴CP＝BC﹣BP＝（8﹣t）cm，
∵tanC＝tanA＝2，
∴＝2，
∴＝，即＝，
∴PQ＝（16﹣2t）cm，
故答案为：2tcm，（16﹣2t）cm；
（3）当P在AB上时，
∵QM＝2PQ，
∴BP＝2PQ，
∴4﹣t＝2×2t，
解得t＝，
当P在BC上时，如图：
∵PQ＝16﹣2t（cm）；
∴CQ＝PQ＝（8﹣t）（cm），
∴MQ＝4﹣（8﹣t）＝（t﹣4）（cm），
∵QM＝2PQ，
∴t﹣4＝2（16﹣2t），
解得t＝，
总上所述，t为或；
（4）当0≤t≤时，如图：
∵PQ＝2tcm，QM＝2PQ，
∴QM＝4tcm，
∴S＝PQ QM＝8t2（cm2）；
当＜t＜4时，如图：
∵四边形ABTQ是平行四边形，
∴QT＝4cm，
∵BP＝AB﹣AP＝（4﹣2t）cm，PQ＝2AP＝4tcm，
∴S＝＝＝（﹣4t2+16t）（cm2），
当4＜t＜时，如图：
∵四边形DKPC是平行四边形，
∴KP＝CD＝4cm，
∵PQ＝（16﹣2t）cm，
∴CQ＝（8﹣t）cm，
∴DQ＝4﹣（8﹣t）＝（t﹣4）（cm），
∴S＝＝＝﹣t2+8t（cm2），
当≤t＜8时，如图：
∵PQ＝（16﹣2t）cm，MQ＝2PQ，
∴MQ＝（32﹣4t）（cm），
∴S＝（16﹣2t） （32﹣4t）＝8t2﹣128t+512（cm2），
综上所述，S＝．
24．已知抛物线G：y＝﹣mx2+2mx﹣3有最高点．
（1）m　＞　0（填“＞、＝、＜”）；
（2）求二次函数y＝﹣mx2+2x﹣3的最大值（用含m的式子表示）；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）记（3）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标yp的取值范围．
【分析】（1）抛物线有最高点即开口向下，﹣m＜0，即m＞0；
（2）用配方法或公式法求得对称轴和函数最大值．
（3）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，m﹣3），即x＝m+1，y＝m﹣3，x﹣y＝4即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（4）求出抛物线恒过点A（2，﹣3），函数H图象恒过点A（2，﹣2），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．
解：（1）∵抛物线G：y＝﹣mx2+2mx﹣3有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴﹣m＜0，
∴m＞0，
故答案为：＞；
（2）∵y＝﹣mx2+2mx﹣3＝﹣m（x﹣1）2+m﹣3，抛物线有最高点，
∴二次函数y＝﹣mx2+2mx﹣3的最大值为m﹣3；
（3）∵抛物线G：y＝﹣m（x﹣1）2+m﹣3，
∴平移后的抛物线G1：y＝﹣m（x﹣1﹣m）2+m﹣3，
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，m﹣3），
∴x＝m+1，y＝m﹣3，
∴x﹣y＝m+1﹣（m﹣3）＝4，
即x﹣y＝4，变形得y＝x﹣4，
∵m＞0，m＝x﹣1，
∴x﹣1＞0，
∴x＞1，
∴y与x的函数关系式为y＝x﹣4（x＞1）；
（4）如图，函数H：y＝x﹣4（x＞1）图象为射线，
x＝1时，y＝1﹣4＝﹣3；x＝2时，y＝2﹣4＝﹣2，
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣2），
∵抛物线G：y＝﹣m（x﹣1）2+m﹣3，
x＝1时，y＝m﹣3；x＝2时，y＝﹣m+m﹣3＝﹣3，
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3），
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yA＜yP＜yB，
∴点P纵坐标的取值范围为﹣3＜yp＜﹣2．