八下_第17章 勾股定理_17.2 勾股定理的逆定理
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下面四个三角形中是直角三角形的是
A. B.
C. D.
2. 以下列四组数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 下列条件能使 （，， 为 的三边长）为直角三角形的是
A. B.
C. D.
4. 下列命题中，是假命题的是
A. 中，若 ，则 为直角三角形
B. 中，若 ，则 为直角三角形
C. 中，若 ，则 为直角三角形
D. 中，若 ，，则 为直角三角形
5. 如果三角形的三边长分别为 ，，，那么它的最短边上的高为
A. B. C. D.
6. 下列命题中，逆命题为真命题的有
①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边长 ，， 满足 ，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若 ，则 ．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 的三边长分别为 ，，，且 ，则该三角形是
A. 以 为斜边长的直角三角形 B. 以 为斜边长的直角三角形
C. 以 为斜边长的直角三角形 D. 锐角三角形
8. 下列四组数中，不是勾股数的是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
9. 下列条件不能使 （，， 为 的三边长）为直角三角形的是
A. B.
C. D.
10. 如果 的三边长 ，， 满足 ，那么 是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 中，，，则 ．
12. 若一个三角形的三边长分别为 ，，，则此三角形是 ．
13. 在 中，若 ，，则此三角形是 ．
14. 若一个三角形三边的长度之比为 ，且周长为 ，则它的面积是 ．
15. 已知 ，， 是 的三边长，且满足 ，试判断 的形状．
错解：
，
，
，
是直角三角形．
（）上述解题过程，从哪一步开始出现错误 请写出该步的代号： ．
（）错误的原因为 ．
（）本题正确的结论是 ．
16. 一个三角形的三边长 ，， 满足 ，则这个三角形最长边上的高为 ．
三、解答题（共14小题；共182分）
17. 在 中，，，，求证：．
18. 有如图所示的一块地，已知 ，，，，．
（1）试判断以点 ，， 为顶点的三角形是什么三角形 并说明理由．
（2）求这块地的面积．
19. 在 中，，， 为 中 边上的高且 ，，求 的度数．
20. 在 中，，，，其中 ， 是正整数，且 ．试判断 是否是直角三角形．
21. 如图，已知 ，，，，．求证：．
22. 如图是一束平行光线从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测出 米， 米， 米， 米， 米．试说明 ，并求 的长．
23. 如果三角形的三边长 ，， 满足 ，你能确定这个三角形的形状吗 请说明理由．
24. 如图，在正方形 中， 是 边的中点， 在 上，且 ．
（1）请你判断 和 的位置关系，并说明理由；
（2）若此正方形的面积为 ，求 的长．
25. 如图，已知在平面直角坐标系中，，， 与 轴所夹锐角是 ．
（1）求 点的坐标；
（2）判断 的形状；
（3）求 最长边上的中线长．
26. 在 中，， 为直角边长， 为斜边长， 为斜边上的高，求证：以 ，， 为三边长的三角形是直角三角形．
27. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下表格：
（1）请将 ，， 分别用自然数 表示出来；
（2）猜想以 ，， 为三边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的结论．
28. 在平面直角坐标系中，点 ，点 ， 分别在 轴， 轴的正半轴上，且满足 ，试判断 的形状．
29. 如图， 是 的边 上的高，且 ，求证： 是直角三角形．
30. 如图， 中， 是 的角平分线， 是 边上的高．
（1）若 ，，求 的度数；
（2）若 ，，，则 （直接用 ， 表示）．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. B
4. C
5. C
6. A
7. A 【解析】化简 ，得 ，
所以三角形是以 为斜边长的直角三角形．
8. C
9. D
10. B
【解析】，
，
即 ．
，，，
，，，
，，．
，
为直角三角形．
第二部分
11.
【解析】，，
．
是 的外角，
．
．
．
12. 直角三角形
13. 等腰直角三角形
14.
【解析】由题意知该三角形为直角三角形，设其三边长分别为 ，，，则 ，解得 ，所以三角形的面积为 ．
15. ， 的值可能为 ， 是等腰三角形或直角三角形
16.
【解析】由题意得 ，，，
解得 ，，．
因为 ，
所以该三角形为直角三角形， 为斜边．
设斜边上的高为 ，由面积公式得 ，
所以 ．
第三部分
17. ，而 ．
．
是直角三角形，，
．
18. （1） 以点 ，， 为顶点的三角形是直角三角形．
理由如下：
连接 ．
，，，
，
，
为直角三角形．
（2） 为直角三角形，
，
，
这块地的面积 ．
19. ，，，
，
．
在 中，，
是以 为斜边的直角三角形，
．
20. ， 是正整数，且 ，
，，
，，
，
是直角三角形．
21. 在 中，，，，
．
在 中，，，，
，而 ，
．
是以 为斜边的直角三角形．
．
22. 因为 ，，
所以 ．
故 ，即 ．
在 中，，
米．
23. 此三角形是直角三角形．理由如下：
，，，
且 ，
，，．
，
此三角形是直角三角形．
24. （1） ．理由如下：
设正方形 的边长为 ，则 ，，，，
在 中，，
在 中，，
在 中，，
，
是直角三角形，且 ，即 ．
（2） 正方形 的面积为 ，
，
由（）知 ，
（负值已舍去）．
25. （1） 点 的坐标为 ．
（2） 求得 ，．
，
为直角三角形．
（3） 由（）得 为直角三角形，且 为斜边，
边上的中线长为 ．
26. ，，
．
以 ，， 为三边长的三角形是直角三角形．
27. （1） 通过题中表格信息可以得出 ，， 三数与自然数 之间的关系为 ，，．
（2） 以 ，， 为三边长的三角形是直角三角形．
证明：由于
故以 ，， 为三边长的三角形是直角三角形．
28. 由 ，得 ，．
又 ，
，．
在 中，，
在 中，，
在 中，，而 ，
．
是直角三角形．
29. 于 ，
．
又 ，
同理 ．
是直角三角形．
30. （1） ，，
，
平分 ，
，
，
，
，
．
（2）
【解析】，，
，
平分 ，
，
，
，
，
．
第1页（共1 页）八下_第17章 勾股定理_17.1 勾股定理
一、选择题（共9小题；共45分）
1. 若正方形的一条对角线长为 ，则此正方形的面积为
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是
A. 已知 ，， 是三角形的三边长，则
B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C. 在 中，，，， 分别是 ，， 的对边，所以
D. 在 中，，，， 分别是 ，， 的对边，所以
3. 如图，， 与 相交于点 ，，，则 的长为
A. B. C. D.
4. 如图，在四边形 中，，，垂足为 ，连接 交 于点 ，，若 ，，则 的长为
A. B. C. D.
5. 在 中，，则下列各式不成立的是
A. B.
C. D.
6. 如图，直线 上有三个正方形 ，，，若 ， 的面积分别为 和 ，则 的面积为
A. B. C. D.
7. 如图，，，，将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处；再将边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的点 处，两条折痕与斜边 分别交于点 ，，则线段 的长为
A. B. C. D.
8. 若一直角三角形两边长分别为 和 ，则第三边长为
A. B. 或 C. 或 D.
9. 如图，分别以 的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则图中三个阴影部分的面积之和为
A. B. C. D.
二、填空题（共19小题；共95分）
10. 如图，在 中，，，则 ．
11. 点 到原点的距离为 ．
12. 如图，已知 中，， 于 ，，则 长是 ．
13. 求下列各图中 的值．
14. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为 和 ，则斜边上的高为 ．
15. 若等边三角形的边长为 ，则其面积 ．
16. 如图， 中， 于 ，若 ，，，则 的长为 ．
17. 在 中，若斜边 ，则 ．
18. 已知直角三角形两直角边长的比为 ，若斜边长为 ，则两直角边长分别为 和 ．
19. 如图，在 中，， 于点 ，若 ，，则 的周长是 ．
20. 如图，直线 过正方形 的顶点 ，点 ， 到直线 的距离分别是 和 ，则正方形的边长是 ．
21. 如图， 中， 于点 ，，，则 ．
22. 一架长 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端 ，如果梯子的顶端沿墙向下滑动 ，那么梯子的底端将水平滑动 ．
23. 如图，正方形 的面积是 ，正方形 的边长是 ．
24. 如图所示一棱长为 的正方体，把所有的面均分成 个小正方形．其边长都为 ，假设一只蚂蚁每秒爬行 ，则它从下底面点 沿表面爬行至侧面的 点，最少要用 秒钟．
25. 已知一个矩形纸片 ，，，点 为 边上的动点（点 不与点 ， 重合），经过点 折叠该纸片，得折痕 和点 ，经过点 再次折叠纸片，使点 落在直线 上，得折痕 和点 ，当点 恰好落在边 上时 的长为 ．
26. 直角三角形两边长分别为 和 ，则此直角三角形斜边上的中线长为 ．
27. 如图是“赵爽弦图”，，， 和 是四个全等的直角三角形，四边形 和 都是正方形，如果 ，，那么 等于 ．
28. 在 中，，，若 边上的高等于 ，则 边的长为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
29. 如图，在 中，，垂足为 ，，．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
30. 如图，某学校（ 点）到公路（直线 ）的距离为 米，到公交车站（ 点）的距离为 米，现要在公路边上建一个商店（ 点），使之到学校 及车站 的距离相等，求商店 与车站 之间的距离．
31. 如图，在 中，，，，垂足为 ，．求 的长．
32. 为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在 所在的直线上建一图书阅览室（如图所示），该社区有两所学校，分别在点 和点 处， 于 ， 于 ，已知 ，，，试问：阅览室 建在距 点多少千米处，才能使它到 ， 两所学校的距离相等
33. 在 中，，，，若 ，如图①，根据勾股定理，得 ．若 不是直角三角形，如图②、图③，请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并说明你的理由．
34. 如图所示．
（1）如图①，分别以 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为 ，，，试说明 ，， 之间的关系；
（2）如图②，分别以 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为 ，，，试说明 ，， 之间的关系；
（3）如图③，分别以 的三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别为 ，，，试说明 ，， 之间的关系．
35. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法，如图，火柴盒的一个侧面 倒下到 的位置，连接 ，，，设 ，，，请利用四边形 的面积证明勾股定理．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. C
4. C
5. B
6. C
7. B 【解析】 中，由勾股定理可得 ．
根据折叠的性质可得 ，，，，，，
根据 ，可求得 ．
在 中，根据勾股定理可求得 ，
又 ，
，即 为等腰直角三角形，
，
．
8. B 【解析】当 是斜边时，第三边是 ；
当 是直角边时，第三边是 ．
9. C 【解析】在 中，，
，
，
，
同理：，，
在 中，，，
第二部分
10.
【解析】，，
．
是 的外角，
．
．
．
11.
12.
【解析】 ，，
，
又 于 ，
，
，
．
13. ，，，
14.
15.
16.
17.
18. ，
19.
20.
21.
22.
23. ，
24.
25. 或
26. 或
【解析】①当 和 均为直角边时，，则 ；
②当 为直角边， 为斜边时，则 ．
27.
【解析】 ，， 和 是四个全等的直角三角形，
．
四边形 和 都是正方形，
，
，，
，
解得 ．
28. 或
【解析】有两种情况：
①如图 ，
是 的高，
，
由勾股定理得：，，
；
②如图 ，
同理得：，，
．
综上所述， 的长为 或 ．
第三部分
29. （1） ．
（2） ，，
是等腰直角三角形，
，
，即 ，解得 （负值舍去）．
30. 设 米，则 米．作 于点 ，
则 米．
在 中，， 米， 米，
米，
米．
在 中，，
，解得 ．
商店与车站之间的距离为 米．
31. 因为 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
在 中，，
所以 ，
所以 ．
32. 设阅览室 到 点的距离为 ，则到 点的距离为 ．
在 和 中，，，
，
，
解得 ．
因此阅览室 应建在距 点 处，才能使它到 ， 两所学校的距离相等．
33. 如题图②，当 为锐角三角形时，．
理由如下：
过点 作 于点 ，
在 中，，
即 ．
在 中，，
即 ，
所以 ，
即 ．
整理得 ．
因为 恒大于 ，
所以 ．
如题图③，当 为钝角三角形时，．
理由如下：
过点 作 ，交 的延长线于点 ．
在 中，，
在 中，，
即 ．
所以 ，
整理，得 ．
因为 恒大于 ，
所以 ．
34. （1） 设 ，，．
，
，
，
．
依据勾股定理有 ，
．
（2） ，，，
．
又 ，
．
（3） 如图所示，过 作 ，垂足为 ，
在等边 中，，
．
在 中，由勾股定理得 ．
．
．
同理可得 ，
，
所以 ．
又 ．
．
35. 四边形 为直角梯形，则其面积为 ，另一方面，其面积为 ， 和 三个直角三角形的面积和，即 ．
所以 ，
所以 ．
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