八下_第18章 平行四边形_18.2 特殊的平行四边形_18.2.2 菱形（第1课时）
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A. 对角相等 B. 对边平行且相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
2. 如图，在菱形 中， 与 相交于点 ，，，则菱形的边长 等于
A. B. C. D.
3. 菱形的周长为 ，一个内角的度数是 ，则两条对角线的长分别是
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
4. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ，拉动这个四边形，使它的形状发生改变，当 时，如图①，测得 ，当 时，如图②，
A. B. C. D.
5. 如图，菱形 的两条对角线相交于点 ，若 ，，则菱形的周长是
A. B. C. D.
6. 如图，菱形 中，，，，，垂足分别为 ，，连接 ，则 的面积是
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
7. 如图，在 中，，，则 ．
8. 是菱形 对角线 上的点， 于点 ，，则点 到 的距离是 ．
9. 是菱形 的一条对角线，若 ，则 ．
10. 如图，菱形 的高 垂直平分边 ，且 ，则 ， ．
11. 菱形的周长为 ，两个相邻内角的度数之比为 ，则较长的对角线长为 ．
12. 如图，菱形 中，，，，则 ．
三、解答题（共9小题；共117分）
13. 如图所示，在菱形 中，， 分别是 ， 的中点，连接 ，．
求证：．
14. 如图，在菱形 中， 是 的中点， 交 的延长线于点 ．求证： 与 互相平分．
15. 如图，已知在菱形 中， 为边 的中点， 与对角线 交于点 ，过 作 于点 ，．
（1）若 ，求 的长；
（2）求证：．
16. 如图，四边形 是菱形， 是 延长线上一点，连接 ， 是 延长线上一点，且 ．请你以 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，试猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．（只需证明一组线段相等即可）
（1）连接 ；
（2）猜想 ；
（3）证明你的猜想．
17. 在平面直角坐标系中，菱形 的位置如图所示，，点 的坐标为 ．求点 ，， 的坐标．
18. 如图，在边长为 的菱形 中，， 为 的中点， 是 上一动点，求 的最小值．（提示：根据轴对称的性质）
19. 如图，已知四边形 是菱形，过 的中点 作 的垂线 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证：；
（2）已知 ，求菱形 的周长．
20. 如图，四边形 是菱形，，交 的延长线于 ，，交 的延长线于 ．请你猜想 与 的大小关系，并证明你的猜想．
21. 如图，在菱形 中，，， 为对角线 的中点，过 点作 ，垂足为 ．
（1）求 的度数；
（2）求线段 的长．
答案
第一部分
1. C
2. D 【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分，可得 ，，，
根据勾股定理可得 ．
3. C
4. A
5. C
6. B 【解析】连接 ，交 于点 ．
在 中，，，
．
由题意可知 ，．
是等边三角形，
．
易证 是 的垂直平分线，
．
的面积为 ．
第二部分
7.
【解析】，，
．
是 的外角，
．
．
．
8.
9.
10. ，
11.
12.
【解析】连接 ，交 于点 ，
，，
．
四边形 为菱形，
，，
，
为等边三角形．
于点 ，
，
．
第三部分
13. 四边形 为菱形，
，，
， 分别是 ， 的中点，
，，
．
在 和 中，
，
．
14. 连接 ，，．
四边形 为菱形，
，．
又 ，
，，
四边形 是平行四边形，
．
为 的中点，
，
，，
四边形 为平行四边形，
与 互相平分．
15. （1） 四边形 是菱形，
，．
，
，
．
，，
，
．
（2） 延长 ，和 的延长线相交于点 ．
为 的中点，
．
，，
，
由题易得 ，
又 ，，
，
．
四边形 是菱形，
，
．
又 ，，
，
．
，，
，
．
又 ，，，
．
16. （1）
（2） ；
（3） 因为四边形 是菱形，
所以 ，，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．（本题答案不唯一）
17. 菱形 是轴对称图形且两条对角线所在的直线是它的对称轴．
与 是一对对称点， 与 是一对对称点，
又 点 的坐标为 ，
点 的坐标为
．
在菱形 中，，
为等边三角形，
，
在 中，，
．
点 与点 的坐标分别为 ，．
18. 连接 ，，，设 交 于点 ．
四边形 是菱形，
， 互相垂直平分，
点 关于 的对称点为点 ，
，
，
只有当点 运动到点 的位置时，取等号．
在 中，，，
是等边三角形．
又 为 的中点，
，，
的最小值为 ．
19. （1） 连接 ．
四边形 为菱形，
，
又 ，
，即 ．
是 的中点，
是 的中点，
．
（2） 由（）知 ，又 ，
四边形 是平行四边形，
，
又 ，
．
菱形 的周长为 ．
20. ．证明如下：
连接 ，
四边形 是菱形，
为 的平分线，
又 ，，
．
21. （1） 在菱形 中，，，
为等边三角形，
；
（2） 由（）可知 ，
又 为 的中点，
，
又 ，及 ，
，
．
第1页（共1 页）八下_第18章 平行四边形_18.2 特殊的平行四边形_18.2.2 菱形（第2课时）
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如图，若要使平行四边形 成为菱形，则需添加的条件是
A. B. C. D.
2. 已知如图，下列条件中，能使四边形 是菱形的是
A. B. ，
C. ， D.
3. 如图，小聪在作线段 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以 和 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，，则直线 即为所求．根据他的作图方法可知四边形 一定是
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
4. 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 以上都不对
5. 平行四边形 的对角线相交于点 ，分别添加下列条件：① ；② ；③ 平分 ．其中使得平行四边形 是菱形的条件有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 下列命题正确的是
A. 对角线相等的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
二、填空题（共6小题；共30分）
7. 如图，在 中，，，则 ．
8. 如图，在 中， 是 的中点，点 ， 分别在线段 及其延长线上，且 ．给出下列条件：① ；② ；③ ；从中选择一个条件使四边形 是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）．
9. 在 中， 是 的平分线，，，则四边形 是 形．
10. 如图，在菱形 中，，，， 分别为菱形四条边的中点，连接 与 ，交于点 ，则图中的菱形共有 个．
11. 延长等腰三角形 的顶角平分线 到 ，使 ，连接 ，，则四边形 是 形．
12. 如图，在平行四边形 中，添加一个条件 使平行四边形 是菱形．
三、解答题（共8小题；共104分）
13. 如图，在平行四边形 中，， 分别是边 ， 的中点， 是对角线，过点 作 交 的延长线于点 ．
（1）求证：；
（2）若 ，求证：四边形 是菱形．
14. 如图，在平行四边形 中， 为对角线 的中点，过点 的直线 分别交 ， 于 ， 两点，连接 ，．
（1）求证：．
（2）当 等于多少度时，四边形 为菱形 请说明理由．
15. 如图，，点 ， 分别在 ， 上，连接 ，， 的平分线交于点 ，， 的平分线交于点 ．
（1）求证：四边形 是矩形．
（2）小明在完成（）的证明后继续进行了探索，过 作 ，分别交 ， 于点 ，，过 作 ，分别交 ， 于点 ，，得到四边形 ，此时，他猜想四边形 是菱形，请在下列空中补全他的证明思路．
由 ，，，易证四边形 是平行四边形，要证平行四边形 是菱形，只要证 即可，由已知条件知 ，，故只需证 ，即证 ，易证 ， ，故只要证 即可，易证 ，， ，由此即可得证．
16. 将一张矩形纸片按如下方式对折两次，然后沿对角线剪下阴影部分，把剩下部分打开，得四边形 ．问：
（1）四边形 是什么图形
（2）将四边形 沿对角线 ， 剪开，然后将 （ 为 ， 的交点）进行平移，使 与 重合，得 ，将 进行平移，使 与 重合，得 ，所拼成的四边形 是什么图形 请说明理由．
17. 如图所示，在平行四边形 中， 于 ，将 沿 方向平移，使点 和点 重合，得 ．
（1）求证：．
（2）已知 ，当 与 满足什么数量关系时，四边形 是菱形 证明你的结论．
18. 如图， 是 外角 的平分线， 交 点交于点 ， 交 于点 ，求证：四边形 是菱形．
19. 如图，在梯形 中，，，， 为底边 的三等分点，连接 ，．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 ，， 与对角线 交于点 ， 与对角线 交于点 ，且 ．试判断四边形 的形状，并证明你的结论．
20. 如图，在平行四边形 中，， 分别为边 的中点， 是对角线，过 点作 交 的延长线于点 ．
（1）求证：；
（2）若 ，求证：四边形 是菱形．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
4. B
5. D
6. D
第二部分
7.
【解析】，，
．
是 的外角，
．
．
．
8. ③
9. 菱
10.
11. 菱
12. 或
【解析】当 或 时，四边形 是菱形．
第三部分
13. （1） 在平行四边形 中，，．
， 分别为 ， 的中点，
，，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
．
（2） ，
，
为直角三角形．
为边 的中点，
．
又 四边形 为平行四边形，
四边形 是菱形．
14. （1） 证明：
四边形 是平行四边形，
，
，，
又 ，
．
（2） 当 时，四边形 为菱形．
理由：由（）知 ，
．
，
四边形 是平行四边形，
当 时，，
四边形 是菱形．
15. （1） 平分 ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
．
同理可得 ，
平分 ，
，
点 ，， 在同一条直线上，
，即 ，
，即 ，
四边形 是矩形．
（2） 平分 ；；；
16. （1） 四边形 为菱形，理由：四边形 的四条边都相等．
（2） 拼成的四边形 是矩形．
理由：因为四边形 为菱形，
所以 ，，，，这样把 平移到 的位置时，点 与点 重合，点 与点 重合，
则 ，，，
由此可得四边形 为矩形．
同理，四边形 也是矩形，
所以 ，，
由题易得 ，， 三点共线，
所以 ，
所以四边形 为矩形．
17. （1） 四边形 为平行四边形，
，．
是 沿 平移得到的，
，，
，
四边形 为平行四边形，
．
又 ，
．
（2） 当 时，四边形 为菱形．
证明如下：
，，
四边形 为平行四边形．
，，
，
．
又 ，
．
又 ，
，
四边形 为菱形．
18.
，，
四边形 是平四边形．
平分 ，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形．
19. （1） ，，
．
梯形 中，，
四边形 是平行四边形．
（2） 四边形 是菱形．
，
．
，，
．
．
同理 ．
是 的中位线．
，．
，，
四边形 是平行四边形．
，
四边形 是菱形．
20. （1） 平行四边形 ，
，．
， 分别为 ， 的中点，
，．
，．
四边形 为平行四边形．
．
（2） ，
，
为直角三角形．
又 为边 的中点，
．
又 四边形 为平行四边形，
四边形 是菱形．
第1页（共1 页）
