人教版八年级数学下册18.2.3 正方形同步练习（word版含答案）

八下_第18章 平行四边形_18.2 特殊的平行四边形_18.2.3 正方形
一、选择题（共11小题；共55分）
1. 能够找到一点，使该点到各边距离都相等的四边形有
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
2. 下列命题正确的是
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
3. 在四边形 中，， 相交于点 ，能判定这个四边形是正方形的是
A. 于 ，且 ，，
B. ，
C. ，
D. ，，
4. 如图，将 个边长都为 的正方形按如图所示方式摆放，点 ，，， 分别是正方形的中心，则这 个正方形重叠部分的面积之和是
A. B. C. D.
5. 正方形 的边长为 ，点 在对角线 上，且 ，，垂足为 ，则 的长为
A. B. C. D.
6. 如图，正方形 的对角线 的长为 ，若直线 满足：
①点 到直线 的距离为 ；
② ， 两点到直线 的距离相等．则符合题意的直线 的条数为
A. B. C. D.
7. 如图， 是 的角平分线，， 分别是 和 的高，有下面四个结论：
① ；
② ；
③当 时，四边形 是正方形；
④ ．
其中正确的是
A. ②③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
8. 下列命题正确的是
A. 两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B. 两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组邻边相等的平行四边形是正方形
9. 正方形、菱形、矩形都具有的性质是
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角
10. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：① ，② ，③ ，④ 中选两个作为补充条件，使 为正方形（如图 ）．现有下列四种选法，你认为其中错误的是
A. B. C. D.
11. 如图，在边长为 的正方形 中， 为边 的中点，延长 至点 ，使 ，以 为边作正方形 ，点 在边 上，则 的长为
A. B. C. D.
二、填空题（共12小题；共60分）
12. 如图，在 中，，，则 ．
13. 如图，四边形 是正方形，延长 到 ，使 ，则 的度数是 ．
14. 的矩形是正方形．
的菱形是正方形．
15. 为正方形 对角线 上一点，且 ，则 ．
16. 如图，正方形 的边长为 ，则图中阴影部分的面积为 ．
17. 如图，正方形 的周长为 ，顺次连接正方形 各边的中点，得到正方形 ，则四边形 的周长等于 ，面积等于 ．
18. 如图，正方形 的边长为 ， 为 上的一点，， 为 上的一点，， 为 上一个动点，则 的最小值为 ．
19. 如图，大正方形是由四个边长为 的小正方形组成的，则图中阴影部分的面积为 ．
20. 如图，正方形 的对角线长为 ， 为 上一点，若 于点 ， 于点 ，则 ．
21. 如图，过正方形 的顶点 作直线 ，过点 ， 分别作 的垂线，垂足分别为点 ，，若 ，，则 的长为 ．
22. 请你写出 个字（可以是数字、字母、汉字）要求它们都是轴对称图形 、 ．
23. 如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中：
①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；
②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；
③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；
④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
24. 如图，在边长为 的正方形 中， 是边 的中点，将 沿 对折至 ，延长 交 于点 ，连接 ．
（1）求证：；
（2）求 的长．
25. 在平面内，正方形 与正方形 如图放置，连接 ，，两直线交于点 ．求证：
（1）；
（2）．
26. 如图，在正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一点，且 ．
（1）求证：；
（2）若点 在边 上，且 ，则 成立吗 为什么
27. 如图，阴影部分是一个正方形广场，规划将正方形的四边各延长一倍，即 ，，，，顺次连接 ，，，，，建成新的广场 ，试问：建成的新广场是什么形状 它的面积是原广场 面积的多少倍
28. 如图①，在正方形 的外侧，作两个等边三角形 和 ，连接 ，．
（1）请判断： 与 的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）如图②，若将条件“两个等边三角形 和 ”变为“两个等腰三角形 和 ，且 ”，则第（）问中的结论是否仍然成立 请作出判断并给予证明．
（3）若三角形 和 为一般三角形，且 ，，则第（）问中的结论都能成立吗 请直接写出你的判断．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. A
4. B
5. C
6. B
7. D 【解析】①不正确；
②已知 平分 ，，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 ，又 ，，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 垂直平分 ，
所以②正确；
③因为 ，
所以四边形 是矩形，由②得 ，
所以四边形 是正方形，
所以③正确；
④因为 ，，
所以 ，
所以④正确．
8. C 【解析】选项A 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误；
选项B 两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；
选项C 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
选项D 一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误．
9. B 【解析】 正方形的对角线互相平分，互相垂直，相等且平分一组对角，
菱形的对角线互相平分，互相垂直且平分一组对角，
矩形的对角线互相平分且相等，
正方形、菱形、矩形都具有的性质是：对角线互相平分．
10. B
【解析】A． 四边形 是平行四边形，
当 时，平行四边形 是菱形，
当 时，菱形 是正方形，故此选项不符合题意；
B． 四边形 是平行四边形，
当 时，平行四边形 是矩形，
当 时，这是矩形的性质，无法得出四边形 是正方形，故此选项符合题意；
C． 四边形 是平行四边形，
当 时，平行四边形 是菱形，
当 时，菱形 是正方形，故此选项不符合题意；
D． 四边形 是平行四边形，
当 时，平行四边形 是矩形，
当 时，矩形 是正方形，故此选项不符合题意．
11. B 【解析】因为 是 的中点，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
第二部分
12.
【解析】，，
．
是 的外角，
．
．
．
13.
14. 邻边相等，有一个角是直角
（答案不唯一）
15.
16.
【解析】阴影部分的面积是正方形面积的一半，即 ．
17. ，
18.
【解析】 正方形 是轴对称图形，直线 是一条对称轴，
点 关于 的对称点在线段 上，设为点 ，连接 ，与 交于点 ，
则 的最小值为 的长．
过 作 ，则 ．
，，
，，
，
．
19.
20.
21.
22. ，天（答案不唯一）
23. ①②③
【解析】①如图 中，点 是正方形 的边 上的任意一点，
则四边形 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故①正确．
②如图 中，四边形 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故②正确．
③如图 中，四边形 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故③正确．
④直角梯形的四个顶点不可能在同一个圆上，故④错误．
第三部分
24. （1） 因为四边形 是正方形，
所以 ，，
由折叠的性质可知 ，，
所以 ，，
在 和 中，
因为 ，，
所以 ．
（2） 因为 ，
所以 ，
设 ，则 ．
因为 为 的中点，
所以 ，
所以 ．
在 中，
由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
所以 ．
25. （1） 四边形 ， 为正方形，
，，．
．
在 和 中，
．
．
（2） 设 与 相交于点 ，
则 ，
，
，
又 ，
，
，
．
26. （1） 由题易知 ，，，
．
．
（2） 成立．
理由：由（）知 ，
，
．
，
，
又 ，，
，
．
27. 建成的新广场是正方形形状，它的面积是原广场 面积 倍
设正方形 的边长为 ，则 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以四边形 是菱形．
由 ，
得 ．
又因为 ，
所以 ，
所以四边形 是正方形．
在 中，
，
所以 ，而 ，
所以 ．
28. （1） ；
（2） 成立．
证明：
四边形 是正方形，
，．
在 和 中，
，
，
，
即 ．
在 和 中，
，
，．
，
，
．
（3） 都能成立．
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