2.1 椭圆(Word含答案)

2.1 椭圆
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知直线 与圆心为 的圆 相交于 ， 两点，且 为等边三角形，则实数
A. B. C. 或 D.
2. 已知 的顶点 ， 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是
A. B. C. D.
3. 椭圆 上一点 到其一个焦点的距离为 ，则点 到另一个焦点的距离为
A. B. C. D.
4. 直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
5. 过点 且与 有相同焦点的椭圆方程是
A. B. C. D.
6. 设 是椭圆 的一个焦点， 是 上的点，圆 与线段 交于 ， 两点，若 ， 是线段 的两个三等分点，则 的离心率为
A. B. C. D.
7. 已知椭圆的轴长是短轴长的 倍，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 ：（，且 ）与直线 ： 交于 ， 两点， 为上顶点．若 ，则椭圆 的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
9. 若点 在椭圆 上，， 分别是椭圆的两焦点，且 ，则 的面积是
A. B. C. D.
10. 若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 直线 过椭圆 的左焦点 和一个顶点 ，则椭圆的方程为 ．
12. 椭圆 的长轴长为 ．
13. 已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 和 ，短轴的两个端点分别为 和 ，点 在椭圆 上，且满足 ．当 变化时，给出下列三个命题：
① 点 的轨迹关于 轴对称；
② 存在 使得椭圆 上满足条件的点 仅有两个；
③ 的最小值为 ．
其中，所有正确命题的序号是 ．
14. 已知椭圆 ， 为其右焦点，过 垂直于 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 ，则椭圆 的方程为 ．
15. 椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点 重合，点 是椭圆 和抛物线 的一个公共点，点 满足 ，则 的离心率为 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 若椭圆 的两个焦点分别为 ，，点 为此椭圆上的任意一点，求 的周长．
17. 已知椭圆的中心在原点，长轴在 轴上，左焦点 与短轴的两个端点的连线互相垂直，左焦点 与长轴上左顶点 的距离为 ，求此椭圆的标准方程．
18. 设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点， 是 上一点，且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ．
（1）若直线 的斜率为 求 的离心率；
（2）若直线 在 轴上的截距为 且 ，求 ，．
答案
第一部分
1. D 【解析】圆 的圆心 ，半径 ，
因为直线与圆相交， 为等边三角形，
所以圆心到直线的距离为 ，
即 ，
平方得 ，
解得 ．
2. C 【解析】由题意可知 的周长为 ．
3. D
4. B 【解析】如图，
为椭圆中心到 的距离，则 ，即 ，所以 ．
5. A
6. D 【解析】如图所示，设线段 的中点为 ，连接 ，，
设椭圆 的左、右焦点分别为 ，，连接 ，．
设 ，
因为点 ， 是线段 的两个三等分点，
所以点 为线段 的中点，
所以 ，且 ，．
因为 ，
根据椭圆的定义，得 ，
所以 ，
解得 或 （舍去）．
所以 ，．
在 中，
，
即 ，
得 ，
所以 的离心率 ．
7. A
8. C 【解析】设直线 与椭圆 的交点为 ，，
联立 得 ，
所以 ，，
．
设线段 的中点为 ，知 点坐标为 ，
因为 ，
所以直线 垂直平分线段 ，
所以直线 的方程为 ，且经过点 ，
可得 ，解得 ．
因为 ，
所以 ，
解得 ，
因为 ，
所以 ．
9. B 【解析】由已知，，，因为 ，所以 所以 ，所以 ．
10. B
【解析】由题意得 ，设 ，
则 ，
又点 在椭圆上，故 ，
所以 ，
又 ，
所以当 时， 取得最大值，即 的最大值为 ．
第二部分
11.
【解析】直线 与 轴的交点为 ，即为椭圆的左焦点，故 ．
直线 与 轴的交点为 ，即为椭圆的上顶点，故 ．
所以 ，
所以椭圆的方程为 ．
12.
13. ①③
14.
【解析】解析　由题意，得
解得
所以椭圆 的方程为 .
15.
【解析】设 ，由已知得 ，，所以 ，，因为 ，所以 ，所以 ，由 解得 又点 在椭圆 上，所以 ，因为 ，所以 所以 ，又 ，所以 ．
第三部分
16. ．
17. 由题得 求解得出
所以椭圆的标准方程为：．
18. （1） 根据 及题设知 ，，
将 带入 ，解得 ，（舍去），
故 的离心率为 ．
（2） 由题意，原点 为 的中点， 轴，
所以直线 与 轴的交点 是线段 的中点，
故 ，即 ．
由 得 ，
设 ，由题意知 ，
则 即
带入 的方程，得
将①及 带入②得 ，
解得 ，，
故 ，．
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