2021-2022学年北师大版七年级数学下册1.5平方差公式 同步练习题（word版含解析）

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》同步练习题（附答案）
1．下列运算结果正确的是（　　）
A．3a﹣a＝2 B．a2 a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（﹣a）2＝﹣a2
2．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（　　）
A．205 B．250 C．502 D．520
4．下列整式的乘法中，不能用平方差公式进行计算的是（　　）
A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x﹣y）（﹣x+y）
C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣x+y）（x+y）
5．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．a6÷a2＝a3
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9 D．（﹣3a3）2＝9a6
6．下列计算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a6÷a3＝a2
C．（﹣a2b）3＝a6b3 D．（a﹣2）（a+2）＝a2﹣4
7．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）
8．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+b）（﹣b﹣a） B．（﹣a+b）（﹣b﹣a）
C．（a+b）（b+a） D．（﹣a+b）（b﹣a）
9．若a+b＝6，a2﹣b2＝30，则a﹣b＝（　　）
A．5 B．6 C．10 D．15
10．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝　 　．
11．1002﹣992+982﹣972+962﹣952+…+22﹣12＝　 　．
12．已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 　 　．
13．已知a2+a﹣1＝0，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为 　 　．
14．已知x2﹣y2＝21，x﹣y＝3，则x+y＝　 　．
15．已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是 　 　．
16．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…
根据规律可得：（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝　 　．
17．请阅读以下材料：
[材料]若x＝12349×12346，y＝12348×12347，试比较x，y的大小．
解：设12348＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．
因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，
所以x＜y．
我们把这种方法叫做换元法．
请仿照例题比较下列两数大小：x＝997657×997655，y＝997653×997659．
18．计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．
19．课堂上，老师让同学们计算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．
（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）
＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a
＝﹣a2﹣b2﹣a
左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．
20．用乘法公式计算：100×99．
21．计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2．
22．利用乘法公式有时能进行简便计算．
例：102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．
请参考给出的例题，通过简便方法计算：
（1）31×29；
（2）195×205．
23．计算：（﹣x2y﹣x2y2） （﹣xy）2﹣（﹣2x2y2﹣3） （﹣3+2x2y2）．
24．如图1，是边长分别为a和b的两种正方形纸片．
（1）若用这两种纸片各1张按照如图2方式放置，其未叠合部分（阴影部分）面积为S1，则S1＝　 　；（用含a，b的代数式表示）
（2）在（1）中图2的基础上，再在大正方形的右下角摆放一张边长为b的小正方形纸片（图3），两个小正方形叠合部分（阴影部分）面积为S2，试求S2．（用含a，b的代数式表示）
25．某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：
原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）（第一步）
＝a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）
＝2ab﹣b2（第三步）
（1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么；
（2）写出此题正确的解答过程．
26．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a，b的代数式表示：S1＝　 　，S2＝　 　（只需表示，不必化简）；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20222﹣2023×2021．
27．计算：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）．
28．计算：
（1）2（﹣3xy+x2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]；
（2）（a﹣2）（a+2）（2a+1）．
29．若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．
（1）求（x﹣2）（y+2）的值；
（2）求x2﹣xy+y2的值．
30．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝　 　，S2＝　 　；写出利用图形的面积关系所得到的公式：　 　（用式子表达）．
（2）应用公式计算：．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．
参考答案
1．解：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，
根据同底数幂的乘法运算法则可得a2 a4＝a6，故B项不符合题意，
根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故C项符合题意，
（﹣a）2＝a2，故D项不符合题意，
故选：C．
2．解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，
故选：C．
3．解：设较小的奇数为x，较大的为x+2，
根据题意得：（x+2）2﹣x2＝（x+2﹣x）（x+2+x）＝4x+4，
若4x+4＝205，即x＝，不为整数，不符合题意；
若4x+4＝250，即x＝，不为整数，不符合题意；
若4x+4＝502，即x＝，不为整数，不符合题意；
若4x+4＝520，即x＝129，符合题意．
故选：D．
4．解：A、原式＝x2﹣y2，不符合题意；
B、原式＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，不符合题意；
C、原式＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，符合题意；
D、原式＝y2﹣x2，不符合题意．
故选：C．
5．解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣3a3）2＝9a6，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
6．解：A、a与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a3＝a3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a﹣2）（a+2）＝a2﹣4，原计算正确，故此选项符合题意，
故选：D．
7．解：由图可知，
图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
8．解：能用平方差公式计算的是（﹣a+b）（﹣b﹣a），其它的不能用平方差公式计算．
故选：B．
9．解：∵a+b＝6，a2﹣b2＝30，
∴（a+b）（a﹣b）＝30，
∴a﹣b＝30÷6＝5，
故选：A．
10．解：由（2m+5）（2m﹣5）＝15，得4m2﹣25＝15．
解得m2＝10．
故答案是：10．
11．解：原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+（962﹣952）+…+（22﹣12）
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+...+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+...+4+3+2+1
＝（100+1）+（99+2）+...+（51+52）
＝50×101
＝5050．
故答案为：5050．
12．解：当a+b＝2，a﹣b＝3时，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．
故选：6．
13．解：（a+2）（a﹣2）+a（a+2）
＝a2﹣4+a2+2a
＝2a2+2a﹣4
＝2（a2+2a）﹣4．
∵a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1．
∴原式＝2×1﹣4＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．解：因为x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝21，x﹣y＝3，
所以x+y＝＝7．
故答案为：7．
15．解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，
∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，
∴x﹣2y＝3．
故答案为：3．
16．解：观察每一个等式左边的代数式与右边的代数式，得（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝x2022﹣1．
故答案为：x2022﹣1．
17．解：令a＝997653，b＝997655，
则x＝（a+4）b＝ab+4b，y＝a（b+4）＝ab+4a，
∵x﹣y＝（ab+4b）﹣（ab+4a）＝4（b﹣a）＝4×2＝8＞0，
∴x＞y．
18．解：原式＝x2+2x+1﹣x2
＝2x+1．
19．解：不正确，
原式＝9a2﹣b2﹣4a2+a
＝5a2﹣b2+a，
即正确答案为：5a2﹣b2+a．
20．解：100×99
＝（100+）（100﹣）
＝10000﹣
＝9999．
21．解：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2
＝x2﹣4﹣6x2+18x+5x2
＝18x﹣4．
22．解：（1）31×29
＝（30+1）×（30﹣1）
＝302﹣12
＝900﹣1
＝899；
（2）195×205
＝（200﹣5）×（200+5）
＝2002﹣52
＝40000﹣25
＝39975；
23．解：原式＝（﹣x2y﹣x2y2） x2y2﹣[（﹣3）2﹣（2x2y2）2]
＝﹣x4y3﹣x4y4﹣9+4x4y4
＝﹣x4y3+x4y4﹣9．
24．解：（1）由题意可得，
S1是图1中两个正方形面积的差，
又∵图1中大正方形的面积为a ，小正方形的面积为b ，
∴S1＝a ﹣b ，
故答案为：a ﹣b ；
（2）由题意可得，
S2是两个小正方形在长为a，宽为b的矩形内的重叠部分，
∴S2＝b +b ﹣ab＝2b ﹣ab．
25．解：（1）该同学解题过程从第二步开始出错，错误的原因是去括号时第二项没有变号；
（2）正确解答为：
原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）
＝a2+2ab﹣a2+b2
＝2ab+b2．
26．解：（1）图1阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即S1＝a2﹣b2，
图2中阴影部分的面积是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形的面积，即S2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）中S1＝S2可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
因此可以验证平方差公式，即：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）原式＝20222﹣（2022+1）（2022﹣1）
＝20222﹣（20222﹣1）
＝1．
27．解：（3x+2）（3x﹣2）（9x2+4）
＝（9x2﹣4）（9x2+4）
＝81x4﹣16．
28．解：
（1）原式＝﹣6xy+2x2﹣（2x2﹣15xy+6x2﹣xy）
＝﹣6xy+2x2﹣2x2+15xy﹣6x2+xy
＝10xy﹣6x2；
（2）原式＝（a2﹣4）（2a+1）
＝2a3+a2﹣8a﹣4．
29．解：（1）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，
∴（x﹣2）（y+2）＝xy+2（x﹣y）﹣4＝﹣1+6﹣4＝1；
（2）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，
∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝9+（﹣1）＝8．
30．解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
原式＝
＝
＝
＝；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1
＝（232﹣1）（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264．