2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明 同步练习题（word版含答案）

4.5 相似三角形判定定理的证明
一、选择题
1．满足下列条件，能判定△ABC和△A′B′C′相似的一组是(　　)
A．∠A＝45°，AB＝12 cm，AC＝15 cm，∠A′＝45°，A′B′＝16 cm，A′C′＝25 cm
B．AB＝12 cm，BC＝15 cm，AC＝24 cm，A′B′＝20 cm，B′C′＝25 cm，A′C′＝32 cm
C．AB＝2 cm，BC＝15 cm，∠A＝36°，A′B′＝4 cm，B′C′＝30 cm，∠A′＝36°
D．∠A＝68°，∠B＝40°，∠A′＝68°，∠C′＝72°
2．如图，从点A(0,2)出发的一束光，经x轴反射后过点B(3,4)，则反射点C的坐标为(　　)
A．(1,0)　　 B．(2,0) C．(0.5,0) D．(1.5,0)
3．如图，在 ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为(　　)
A．4　　B．4.8　　C．5.2　　D．6
4．如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.能满足△APC∽△ACB相似的条件是(　　)
A．①②④　　 B．①③④　　　　　C．②③④　　 D．①②③
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列结论不正确的是(　　)
A．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
B．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
C．有一个角等于120°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为60°的两个等腰三角形相似
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b(a＞b)．在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE.则EF等于(　　)
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB.其中相似的为(　　)
A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③
二、填空题
9．如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP＝3PC，Q是DC的中点，则AQ∶QP等于____.
10．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长，交DC于点F，则＝　 　.
11．如图，一张三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm.
12．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝　 　时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
13．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ACB
相似，应添加的条件是　 .
14. 如图，AC⊥BC，BD⊥BC，AC＞BC＞BD，请你添加一个条件，使△ABC∽△CDB，那你添加的条件是 ．
15. 如图，在 ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为　 　.
三、解答题
16．如图，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.求证：＝.
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，BA·BD＝BC·BE.
(1)求证：△BDE∽△BCA；
(2)如果AE＝AC，求证：AC2＝AD·AB.
19. 如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.
(1)证明：∠BDC＝∠PDC；
(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．
20. 已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P.
(1)当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；
(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
答案：
一、
1-8 DADDB BCD
二、
9. 2
10.
11.
12. 或
13. ∠ACD＝∠B(∠ADC＝∠ACB，＝，选其中一个即可，答案不唯一)
14. 答案不唯一．如∠A＝∠DCB、 ∠D＝∠CBA或BC2＝BD·AC等
15.
三、
16. 证明：∵AD⊥BC，DE⊥DF，∴∠ADF＋∠ADE＝∠ADE＋∠BDE＝90°.∴∠ADF＝∠BDE，∵BA⊥AC，AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝∠C＋∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B.∴△AFD∽△BED，∴＝.
17. 证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
18. 证明：(1)∵BA·BD＝BC·BE，＝，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA；
(2)∵BA·BD＝BC·BE.∴＝.∵∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCD.∴∠BAE＝∠BCD，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE.∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，∠ACE＝∠ACD＋∠BCD，∴∠B＝∠ACD.∵∠BAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB.∴＝.∴AC2＝AD·AB.
19. (1)证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ADC＋∠BDC＝90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°，∴∠BDC＝∠PDC；
(2)解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM，∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，∴△CPM∽△APD，∴＝，设CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝x，∵AB＝AD＝AC＝1，∴＝，解得：x＝，故AE＝1－＝.
20. (1)证明：∵∠A＋∠APQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠APQ＝∠C.在△APQ与△ABC中，∵∠APQ＝∠C，∠A＝∠A，∴△APQ∽△ABC；
(2)解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5.(Ⅰ)当点P在线段AB上时，如题图①所示．∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ.由(1)可知，△APQ∽△ABC，∴＝，即＝，解得：PB＝，∴AP＝AB－PB＝3－＝；(Ⅱ)当点P在线段AB的延长线上时，如题图②所示．∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP，点B为线段AP中点，∴AP＝2AB＝2×3＝6.综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6.