2021-2022学年北师大版八年级数学下册 1.4角的平分线 寒假预习同步练习（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角的平分线》寒假预习同步练习（附答案）
1．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（　　）处．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE+BF．其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，则∠MAB的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
4．点P在∠MON的平分线上，点P到OM边的距离等于4，点Q是ON边上任意一点，下列关于线段PQ长度的描述正确的是（　　）
A．PQ＜4 B．PQ≤4 C．PQ＞4 D．PQ≥4
5．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1（　　）S2+S3．
A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定
6．如图，E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
8．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝20，且BD：DC＝3：2，则点D到AB边的距离为（　　）
A．8 B．12 C．10 D．15
9．在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是（　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三边垂直平分线的交点
10．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．14
11．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°．则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（　　）
A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC
13．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是（　　）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
15．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
16．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．如图，已知△ABC的周长是18，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，△ABC的面积是　 　．
18．如图，点F是△ABC的边BC延长线上的一点，且AC＝CF，∠ABC和∠ACE的平分线交于点P，下列结论：①点P到△ABC三边的距离相等；②点P在∠DAC的平分线上；③BP垂直平分AC；④CP垂直平分AF；其中正确的判断有　 　（只填序号）．
19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①AD和EF互相垂直平分；②AE＝AF；③当∠BAC＝90°时，AD＝EF；④DE是AB的垂直平分线．其中正确的是　 　（填序号）．
20．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为　 　．
21．知识储备：
（1）如图1，AD是△ABC的高，则△ABC的面积S△ABC＝BC AD．
比例的性质：若，则．
知识运用：
（2）如图2，BE是△ABC的角平分线，运用上述知识，求证：；
知识延展：
如图3，△ABC的角平分线BE平分△ABC的周长，求证：△ABC是等腰三角形．
22．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
23．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
24．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
25．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
参考答案
1．解：∵度假村到三条公路的距离相等，
∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，
∵△ABC的三条角平分线相交于一点，
∴度假村可供选择的位置有一处，
故选：A．
2．解：∵BC恰好平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBD，
∵AC∥BF，
∴∠C＝∠FBD，
∴∠C＝∠ABC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝BD，所以①②正确；
过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE＝DH，
∵AC∥BF，DE⊥AC，
∴DF⊥BF，
∵BD平分∠ABF，DH⊥AB，
∴DH＝DF，
∴DE＝DF，所以③正确；
在△ADE和△ADH中，
，
∴△ADE≌△ADH（HL），
∴AH＝AE，
同理可得BH＝BF，
∴AB＝AH+BH＝AE+BF，所以④正确．
故选：A．
3．解：作MN⊥AD于N，如图，
∵∠B＝∠C＝90°，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，MN⊥AD，
∴MC＝MN，
∵M点为BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，
∴AM平分∠DAB，
∴∠MAB＝∠DAB＝×60°＝30°．
故选：A．
4．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于4，
∴点P到OB的距离为4，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥4．
故选：D．
5．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝ AB PD，S2＝ BC PF，S3＝ AC PE，
∴S2+S3＝ （AC+BC） PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
6．解：∵AB＝4，△ABE的面积为12，
∴点E到直线AB的距离＝，
∵E为∠BAC平分线AP上一点，
∴点E到直线AC的距离＝6，
故选：D．
7．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
8．解：∵BC＝20，BD：DC＝3：2，
∴CD＝8，
∵∠C＝90°
AD平分∠BAC
∴D到边AB的距离＝CD＝8．
故选：A．
9．解：在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
故选：C．
10．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：
∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE＝3，
∴EF＝3，
∵AB＝8，
∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．
故选：B．
11．解：AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，
∴∠BAE＝∠CAE＝52°，
∴①正确；
∵∠C＝40°，AD⊥BC，
∴∠CAD＝50°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝52°﹣50°＝2°，
∴②正确；
∵没有条件能证得EF＝DE，
∴EF不一定等于ED，
∴③错误；
∵点F为BC的中点，
∴BF＝BC，
∴S△ABF＝S△ABC，
∴④正确；
故选：C．
12．解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，
∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，
∴ED＝GD，GD＝DF，
∴ED＝DF，
∴AP平分∠CAB．
故选：B．
13．解：（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF＝PH，
∴PE＝PF，
∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，
即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，
∴（3）错误；
故选：C．
14．解：如图，C点到OA、OB的距离相等，
所以OC平分∠AOB，
所以Q在∠AOB的平分线．
故选：B．
15．解：当PE⊥BC时，PE值最小，
∵AB∥CD，AD过点E，且与AB互相垂直，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PE＝AE，PE＝DE，
即PE＝AD，
∵AD＝8，
∴PE＝4，
即PE的最小值是4，
故选：D．
16．解：作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DP＝4，
∴S△ODQ＝×3×4＝6．
故选：D．
17．解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC与F，连接OA，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝1，
同理可知，OF＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△OAB的面积+△OAC的面积+△OBC的面积
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×18×1
＝9，
故答案为：9．
18．解：∵∠ABC和∠ACE的平分线交于点P，
∴P点到AB和BC边的距离相等，P点到CA和CF边的距离相等，
∴点P到△ABC三边的距离相等，所以①正确；
∵P点到BD、BC的距离相等，
∴点P在∠DAC的平分线上，所以②正确；
∵不能确定BA＝BC，
∴BP不一定垂直平分AC，所以③错误；
∵CA＝CF，CP平分∠ACF，
∴PC⊥AF，PC平分AF，所以④正确．
故答案为①②④．
19．解：∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，∠EAD＝∠FAD，
∴∠EDA＝∠FDA（三角形内角和等于180°），
∴AE＝AF，
∴A和D都在EF的垂直平分线上，
即AD垂直平分EF，但不能推出EF垂直平分AD，故①错误；②正确；
∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴AD＝EF，故③正确；
根据已知不能推出△ADB是等腰三角形，即DE不一定平分AB，故④错误；
即正确的为②③，
故答案为：②③．
20．解：连接AI、BI，
∵点I为△ABC角平分线交点，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝8，
即图中阴影部分的周长为8，
故答案为：8．
21．2．证明：作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分别是F，G，H，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EG，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
3．证明：由（1）知，
∴，
∵AB+AE＝BC+CE，
∴，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
22．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
23．证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
24．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴BP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
25．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．