2021-2022学年北师大版八年级数学下册 第1章三角形的证明 寒假预习同步练习（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》
寒假预习同步练习（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D；若DC＝3，BC＝6，AD＝5，则点D到AB的距离是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
2．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米．
A．16 B．18 C．26 D．28
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则BE等于（　　）
A．2 B． C． D．
4．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　）
A．8 B．1 C．2 D．4
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝6，BC＝8，则S△ABD：S△ACD为（　　）
A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：5
7．在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B平分线交AC于点D，若AD＝8，则BC长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．8
9．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）
A．40° B．70° C．30° D．50°
10．如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　）
A．50° B．75° C．80° D．105°
11．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝5cm，D是AC的中点，则BD的长为（　　）
A．5.5cm B．5cm C．6cm D．6.5cm
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2
14．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（　　）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
15．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（　　）
A．24cm B．25cm C．30cm D．36cm
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，D是AB的中点，则CD的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
18．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，∠CDE＝20°，则∠BAD的大小为 　 　．
19．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是　 　．
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝　 　度．
21．已知：a、b是等腰三角形ABC的两边长，且满足（a﹣5）2+|b﹣6|＝0，则△ABC的周长为　 　．
22．已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，那么这个等腰三角形的周长是　 　cm．
23．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为　 　．
24．如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：△EAB是等腰三角形．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．
参考答案
1．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝3，
即点D到AB的距离是3．
故选：B．
2．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），
故选：B．
3．解：连接EA，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣BE）2＝BE2，
解得，BE＝，
故选：C．
4．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，
解得x＝17，
此时三边长7cm、7cm、17cm，
∵7+7＜17
∴此三角形不成立；
若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得
7+x+x＝31，
解得x＝12，
此时三边长7cm、12cm、12cm．
答：该等腰三角形的腰长为12cm．
故选：D．
5．解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：A．
6．解：作DE⊥AB于点E，
由勾股定理得，AB＝＝10
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴S△ABD＝×AB×DE，S△ACD＝×AC×DC，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：6＝5：3，
故选：A．
7．解：∵点P到△ABC的三边的距离相等，
∴点P应是△ABC三条角平分线的交点．
故选：A．
8．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA＝∠CBD＝30°，
∵∠A＝∠DBA＝30°，
∴DB＝DA＝8，
在Rt△BDC中，∵∠CBD＝30°，
∴CD＝BD＝4，
∴BC＝CD＝4．
故选：A．
9．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：C．
10．解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣20°﹣30°＝130°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝30°，
∴∠PAQ＝130°﹣20°﹣30°＝80°，
故选：C．
11．解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180，
解得：x＝18°，
∴∠5＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
12．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝5cm，
∴AC＝2AB＝10cm，
在Rt△ABC中，D是AC的中点，
∴BD＝AC＝5cm，
故选：B．
13．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝CE＝5，
∵AD＝2，
∴DE＝3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝，
故选：C．
14．解：设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质得∠EDB＝25°+x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A＝12.5°+x，
依题意有12.5°+x+x+130°＝180°，
解得x＝30°．
故选：D．
15．解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝36（cm）．
故选：D．
16．解：∵∠ACB＝90°，AD＝DB，AB＝10，
∴CD＝AB＝×10＝5，
故选：A．
17．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×10 DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：B．
18．解：∵∠ADC是三角形ABD的外角，∠AED是三角形DEC的一个外角，∠CDE＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠EDC，∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠ADE+20°，∠AED＝∠C+20°，
∵AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝AE，∠CDE＝20°，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C+20°，
∴∠C+∠BAD＝∠C+20°+20°，
∴∠BAD＝40°，
故答案为：40°．
19．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PE＝PF＝PD＝5，
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝PD AB+PE BC+PF AC
＝（AB+BC+AC）
＝×20
＝50，
故答案为：50．
20．解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF＝∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD＝AD，
即∠ABC＝∠BAD＝45°．
故答案为：45．
21．解：∵（a﹣5）2+|b﹣6|＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
（1）若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、6，
能组成三角形，周长为5+5+6＝16；
（2）若5是底边长，则三角形的三边长为：5、6、6，
能组成三角形，
周长为5+6+6＝17．
故答案为：16或17．
22．解：∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，
∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除，
∴此三角形的腰长为7cm，底边长为3cm，
∴此等腰三角形的周长＝7+7+3＝17cm，
故答案为：17．
23．解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，
∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，
∴∠B＝30°，
∵AN＝1，
∴MN＝2，
∴AC＝AN+NC＝3，
∴BC＝6，
故答案为6．
24．证明：在△ADB和△BCA中，AD＝BC，AC＝BD，AB＝BA，
∴△ADB≌△BCA（SSS）．
∴∠DBA＝∠CAB．
∴AE＝BE．
∴△EAB是等腰三角形．
25．解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2
＝150°÷2
＝75°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA
＝75°﹣30°
＝45°．
∴∠BCD的度数为45°．