2021-2022学年北师大版七年级数学下册1.5平方差公式 同步练习(word版含解析）

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》同步练习（附答案）
1．某厂原来生产一种边长为a厘米的正方形地砖，现将地砖的一边扩大3厘米，另一边缩短3厘米，改成生产长方形地砖．若材料的成本价为每平方厘米b元，则这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比（　　）
A．增加了9b元 B．增加了3ab元
C．减少了9b元 D．减少了3ab元
2．为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（　　）
A．保持不变 B．增加9m2 C．增加6m2 D．减少9m2
3．如图，边长为m+3的正方形纸片剪去一个边长为m的正方形后，用剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．若拼成的长方形一边长为3，则另一边长为（　　）
A．2m+3 B．2m+6 C．m+3 D．m+6
4．一个矩形的长为（a+b）m，宽为（a﹣b）m，则这个矩形的面积为（　　）
A．（a2﹣b2）m2 B．（a+b）2m2 C．（a﹣b）2m2 D．（2a﹣2b）m2
5．如图（1），在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），然后将余下的部分剪开拼成长方形，如图（2），若大正方形的周长为c1，长方形的周长为c2，则c1与c2的大小关系是（　　）
A．c1＞c2 B．c1＝c2 C．c1＜c2 D．不能确定
6．如图所示，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形（a＞b），剩下的部分的面积，可得到平方差公式；那么在边长a的正方体中减去一个边长为b的小正方体（a＞b），剩下的部分的体积为a3﹣b3，它等于（　　）
A．（a+b）（a2﹣ab+b2） B．（a﹣b）（a2+ab+b2）
C．（a﹣b）（a2+b2） D．（a+b）（a2﹣b2）
7．把一个正方形的边长增加了3cm得到的正方形的面积增加了33cm2，则原来这个正方形的面积是 　 　cm2．
8．已知一个长方形的面积是a2﹣b2（a＞b），其中短边长为a﹣b，则长边长是　 　．
9．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题：
（1）改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？
（2）改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？
10．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 　 　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．b2+ab＝b（a+b）
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．
②计算：．
11．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
12．已知：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；a4﹣b4＝（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；a5﹣b5＝（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）按此规律，则：
（1）a6﹣b6＝（a﹣b）　 　；
（2）若，请你根据上述规律求出代数式的值．
13．计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）
14．（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）
15．计算：（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．
16．当n为自然数时，（n+7）2﹣（n﹣5）2能被24整除吗？说明理由．
17．78﹣1能被40至50之间的哪一个整数整除，试说明之．
18．两个连续偶数的平方差能被4整除吗？为什么？
19．已知a﹣b＝2，b﹣c＝2，a+c＝14，求a2﹣b2．
20．计算．
21．若（N+2035）2＝123456789，求（N+2045）（N+2025）的值．
参考答案
1．解：正方形地砖的面积为a2平方厘米，长方形地砖面积为（a+3）（a﹣3）＝（a2﹣9）平方厘米，
长方形面积比正方形减少了9平方厘米，
因此这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比减少了9b元，
故选：C．
2．解：设原正方形草坪的边长为am，则面积为a2m2，
改建后的草坪的长为（a+3），宽为（a﹣3），因此面积为（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9（m2），
因此造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积差为a2﹣（a2﹣9）＝9（m2），
即造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积减少9m2，
故选：D．
3．解：由题意得，阴影部分的面积为：（m+3）2﹣m2＝m2+6m+9﹣m2＝6m+9，
∴拼成的长方形的另一边长为：（6m+9）÷3＝3（2m+3）÷3＝2m+3，
故选：A．
4．解：根据题意得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
则这个矩形的面积为（a2﹣b2）m2．
故选：A．
5．解：由题可得，大正方形的周长为c1＝4a，
长方形的周长为c2＝2（a+b）+2（a﹣b）＝4a，
∴c1与c2的大小关系是c1＝c2，
故选：B．
6．解：边长a的正方体的体积＝a3，
边长为b的小正方体的体积＝b3，
则剩余部分的体积是：a2（a﹣b）+2b2（a﹣b）+（a﹣b）2b＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，即a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
故选：B．
7．解：设原来正方形的边长是xcm．根据题意得：
（x+3）2﹣x2＝33，
∴（x+3+x）（x+3﹣x）＝3（2x+3）＝33，
解得x＝4．
∴原来这个正方形的面积是42＝16（cm2）．
故答案为：16．
8．解：＝＝a+b．
故答案是：a+b．
9．解：（1）改造后长为：2a+b+2b＝2a+3b，宽为：2a+b﹣2b＝2a﹣b．
∴改造后的长方形草坪的面积是：（2a+3b）（2a﹣b）＝4a2+4ab﹣3b2．
答：改造后的面积为：（4a2+4ab﹣3b2）平方米．
故答案为：4a2+4ab﹣3b2．
（2）改造前的面积为：（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．
∵4a2+4ab+b2﹣（4a2+4ab﹣3b2）＝4b2＞0．
∴改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．
故答案为：改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．
10．解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），
∴12＝4（x﹣2y），
得：x﹣2y＝3，
联立，
①+②，得2x＝7，
解得：x＝；
②
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝
＝×
＝．
11．解：
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n） （2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050
12．解：（1）根据规律可知，a6﹣b6＝（a﹣b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）；
（2）
＝（a﹣）（a2+a +）
＝（a﹣）（a2+a +）
＝（a﹣）（a2++1）
＝（a﹣）（a2++2a ﹣2a +1）
＝（a﹣）[（a2+﹣2a ）+2+1]
＝（a﹣）[（a﹣）2+3]
＝3×（32+3）
＝3×12
＝36．
13．解：原式＝（2x﹣y）（2x+y）（4x2+y2）
＝（4x2﹣y2）（4x2+y2）
＝16x4﹣y4．
14．解：原式＝（4a2﹣b2）（4a2+b2）＝16a4﹣b4．
15．解：（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2），
＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab），
＝（a2+b2）2﹣（ab）2，
＝a4+b4+2a2b2﹣a2b2，
＝a4+b4+a2b2．
16．解：因为（n+7）2﹣（n﹣5）2＝（2n+2）（n+7﹣n+5）＝24（n+1）；
又n为自然数，故其必能被24整除．
17．解：∵78﹣1＝（72﹣1）（72+1）（74+1），
＝48×50×（74+1），
∴78﹣1能被40至50之间的48整除．
18．解：设两个连续偶数为2n，2n+2，则有
（2n+2）2﹣（2n）2，
＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n），
＝（4n+2）×2，
＝4（2n+1），
因为n为整数，
所以4（2n+1）中的2n+1也是正整数，
所以4（2n+1）是4的倍数．
19．解：∵b﹣c＝2，a+c＝14，
∴a+b＝16，
∵a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝16×2＝32．
20．解：原式＝，
＝，
＝，
＝，
＝，
＝，
＝1．
21．解：∵（N+2045）（N+2025），
＝[（N+2035）+10][（N+2035）﹣10]，
＝（N+2035）2﹣102，
（N+2035）2＝123456789，
∴原式＝123456789﹣100＝123456689．