贵州省黔西南州2021~2022学年高二上学期期中考试数学（文）试题（Word版含答案）

黔西南州2021~2022学年高二上学期期中考试
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题，，则是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．
3．执行如图所示的程序，若输入的，则输出的（ ）．
第一步，输入n 第二步， 第三步， 第四步，输出n
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知，，则（ ）．
A．4 B．8 C．16 D．32
5．已知函数，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）．
A． B． C． D．
7．甲、乙两名学生在5天中每天记忆的英语单词的个数用茎叶图表示如图所示，则这5天中甲、乙两名学生每天记忆英语单词个数的平均数分别为（ ）．
A．21，21.5 B．22，22.5 C．21，21.8 D．22.5，21.8
8．若一个等差数列的前三项之和为21，最后三项之和为93，公差为2，则该数列的项数为（ ）．
A．14 B．15 C．16 D．17
9．直线与圆交于A，B两点，则（ ）．
A． B． C．2 D．4
10．根据第七次全国人口普查结果，居住在城镇的人口为90199万人，占全国人口的63.9％，与第六次全国人口普查相比，城镇人口比重上升14.2个百分点．随着我国新型工业化、信息化和农业现代化的深入发展和农业转移人口市民化政策落实落地，10年来我国新型城镇化进程稳步推进，城镇化建设取得了历史性成就．如图所示的是历次全国人口普查城镇人口及城镇人口比重的统计图：
根据图中信息，下列说法正确的是（ ）．
A．这七次全国人口普查的城镇人口比重上升越来越快
B．第七次全国人口普查的城镇人口比第六次全国人口普查的城镇人口增加了63.9％
C．这七次全国人口普查城镇人口逐次增加
D．这七次全国人口普查非城镇人口逐次减少
11．某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1～200，分为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200．若从第4组抽取的号码为18，则样本中40～50岁教师的编号之和为（ ）．
A．906 B．966 C．1506 D．1566
12．已知定义在R上的奇函数满足：当时，．则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若x，y满足约束条件，则的最大值为______．
14．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的______．
15．2021年7月9日，第18届中国（长春）国际汽车博览会正式启幕，某汽车企业以“与进取者同享”为主题，携旗下21款重磅车型震撼亮相，展示出该汽车企业的实力和对未来移动出行时代的前瞻性思考．某模特公司从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机抽取3人作为该汽车企业A型车的车模，则甲、乙同时被抽到的概率为______．
16．已知点，B是x轴的正半轴上一点，C是直线上一点，则周长的最小值为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知，．
（1）若命题“若p，则q”的逆否命题为真，求a的取值范围；
（2）若，为真，为假，求x的取值范围．
18．（12分）
（1）在区间上任取一个整数x，求的概率；
（2）在区间上任取一个实数x，求的概率．
19．（12分）
如图，在三棱柱中，底面ABC，，四边形是正方形．
（1）证明：．
（2）若，求点C到平面的距离．
20．（12分）
“十一五”规划提出单位国内生产总值（GDP）能耗降低20％左右的目标，“节能降耗”需要长期推行，这既有利于改善环境、可持续发展，又有利于民众生活福祉的改善．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
x 3 4 5 6 7
y 2.7 3.5 4.1 4.7 5
（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）当该厂产量提升到10吨时，预测生产能耗为多少．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，．
21．（12分）
某企业在2021年的校园招聘考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．
（1）求出频率分布表中a，b，c的值，然后在答题纸上画出频率分布直方图并估计这100名学生笔试成绩的中位数（精确到0.1）；
（2）该企业决定在第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中抽取2名进入第二轮面试，求抽取的2人中有第5组学生的概率．
组号 分组 频数 频率
第1组 5 0.05
第2组 a 0.35
第3组 30 b
第4组 20 0.20
第5组 c 0.10
合计 100 1.00
22．（12分）
为了测量一个不规则湖泊两端C，D之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A，B两点，点B在点A的正东方向上，且A，B，C，D四点在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东30°方向上，点D在它的北偏西60°方向上．
（1）求C，D两点之间的距离；
（2）以点D为观测点，求点C的方位角．
黔西南州2021~2022学年高二上学期期中考试
数学参考答案（文科）
1．D 全称命题的否定为特称命题．
2．A
由题意可得，
则．
3．B
第一步输入，第二步，第三步，第四步输出．
4．C
因为，所以，
从而．
5．A
显然，但是由可以得出或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
6．D
当时，，不符合条件．
当时，，不符合条件．
当时，，不符合条件．
当时，，符合条件．
7．C
学生甲每天记忆英语单词个数的平均数为；
学生乙每天记忆英语单词个数的平均数为
8．B
设该数列共有n项，依题意可得，．
因为公差为2，所以，即，解得．
9．B
因为，
所以圆心到直线的距离，
故．
10．C
由图可知第三次全国人口普查城镇人口比重上升了2.6个百分点，第二次全国人口普查城镇人口比重上升了5个百分点，则A错误；
第七次全国人口普查的城镇人口比重比第六次全国人口普查的城镇人口比重上升了14.2个百分点，则B错误；
这七次全国人口普查城镇人口逐次增加，则C正确；
这七次全国人口普查城镇人口逐次增加，但由图中信息不能确定总人口数，所以这七次全国人口普查非城镇人口的变化情况不一定是逐次减少，则D错误．
11．D
因为200名教师中40～50岁教师占30％，
所以200名教师中40～50岁教师有60人，编号分布在101～160之间，在第21～32组中，所以样本中40～50岁教师的编号分别为103，108，…，158，
故样本中40～50岁教师的编号之和为．
12．B
易知函数在上为减函数，
因为函数为奇函数，所以函数在R上为减函数，
不等式可化为，
所以，即，解得或．
13．4
作出约束条件，所表示的可行域（图略）可知，
当直线经过点时，z取得最大值，且最大值为4．
14．
若，则，方程无解；若，则，解得．
15．
从5人中随机抽取3人，所有的情况为（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），（甲、丙、丁），（甲、丙、戊），（甲、丁、戊），（乙、丙、丁），（乙、丙、戊），（乙、丁、戊），（丙、丁、戊），共10种，
其中满足条件的情况有（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），共3种，
故甲、乙同时被抽到的概率为．
16．
如图，分别作出点A关于直线与x轴对称的点，，
则，解得．当，C，B，四点共线时，
的周长最小，且最小值为．
17．解：（1）由，得．
因为命题“若p，则q”的逆否命题为真，所以命题“若p，则q”为真，
所以，故．
（2）由（1）知p：．
因为为真，为假，所以p，q一真一假．
当p真q假时，，得；
当p假q真时，，得．
故x的取值范围是．
18．解：（1）在区间内的整数有，，，0，1，2，3，4，共8个，
其中满足的整数有，2，3，4，共4个，故所求概率．
（2）由，得，即，
故所求概率．
19．（1）证明：因为底面ABC，平面ABC，
所以．
又，，所以平面．
因为平面，所以．
如图，连接，
因为四边形是正方形，所以．因为，所以平面．
又平面，所以．（2）解：因为，，
所以平面，则，又，所以．
因为，所以，．
设点C到平面的距离为d，
因为，所以，
解得，即点C到平面的距离为．
20．解：（1）因为，，
，．
所以，
所以，
所以y关于x的线性回归肪程为．
（2）当时，，
所以当产量提升到10吨时，预测生产能耗为6.9吨标准煤．
21．解：（1），，．
这100名学生笔试成绩的中位数为．
（2）用分层抽样抽取的6名学生中属于第3，4，5组的分别有3，2，1人，
分别记为，，，，，C．
从中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种结果，
而抽取的2人中有第5组学生的有，，，，，共5种结果，
所以抽取的2人中有第5组学生的概率为．
22．解：（1）由已知得，，
所以∠ADB=15，．
在中，由正弦定理得．
同理，在中，，，所以，
由正弦定理得．
可以计算出，在中，，
所以．
（2）如图，作．
由（1）知，，所以，
即点C在点D的北偏东75°方向上．