海南省2021-2022学年高二上学期期末学业水平诊断数学试题（Word版含答案）

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海南省2021-2022学年高二上学期期末学业水平诊断
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．和的等差中项与等比中项分别为
A．， B．2， C．， D．1，
2．双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
3．已知数列满足且，则
A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列
4．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是
A． B． C． D．
6．已知数列的通项公式为，其前项和为，则满足的的最小值为
A．30 B．31 C．32 D．33
7．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为
A．3 B．4 C．5 D．6
8．在三棱柱中，，，，则这个三棱柱的高
A．1 B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列空间向量为单位向量且与轴垂直的有
A． B． C． D．
10．已知两条平行直线和之间的距离小于1，则的值可能为
A．0 B．1 C．2 D．3
11．在各项均为正数的等比数列中，已知，则
A． B． C．公比或 D．或
12．双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为．直线过点与的一条渐近线垂直于点，与的右支交于点，若，则
A．直线轴 B．到直线的距离为
C． D．的离心率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列的前4项依次为，，，，则的一个通项公式为________．
14．已知点，，其中，若线段的中点坐标为，则直线的方程为________．
15．已知抛物线，过焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，，在的准线上的投影分别为，，则________．
16．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列满足，，，若记，，
则________．（用，表示）
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）在等差数列中．，．
（I）求的通项公式：
（II）记的前项和为，求满足的的最大值．
18．（12分）已知圆，直线的斜率为2，且过点．
（I）判断与的位置关系；
（II）若圆，求圆与圆的公共弦长．
19．（12分）如图所示，在正方体中，点，，分别是，，的中点．
（I）证明：；
（II）求直线与平面所成角的大小．
20．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，．
且．
（I）证明：平面平面；
（II）若，求平面与平面的夹角的余弦值．
21．（12分）已知数列的前项和，且．
（I）证明：数列为等差数列；
（II）设，记数列的前项和为，若，对任意恒成立，求实数的取值范围．
22．（12分）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为．
（I）求点的坐标；
（II）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点（均与，不重合），过点与轴垂直的直线分别交直线，于点，，证明：点，关于轴对称．
海南省2021-2022学年高二上学期期末学业水平诊断
数学·参考答案及评分细则
一、单项选择题
1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D
二、多项选择题
9．BC 10．AC 11．ABD 12．BCD
三、填空题
13．（答案不唯一） 14． 15． 16．
四、解答题
17．解：（I）设的公差为，
因为，所以．
因为，所以．
所以．
（II），
，即，所以，
因此的最大值为10．
18．解：（I）由圆可得，
所以圆心为，半径，
直线的方程为，即．
因为圆心到的距离为，
所以与相切．
（II）联立方程可得作差可得，
即，即公共弦所在直线的方程为．
易知圆的半径，圆心到直线的距离为，
则公共弦长．
19．解：方法一：
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，
，，，
（I）因为，，
所以，因此．
（II）设为平面的法向量．
因为，，，
所以
令，得．
设直线与平面所成角为，
则，
因为，所以直线与平面所成角的大小为．
方法二：
（I）如图，连接．
在正方体中，且．
因为，分别是，的中点，所以且．
又因为是的中点，所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以．
（II）同方法一．（评分参考方法一，建系1分，写点和向量的坐标1分，计算法向量2分，计算线面角的正弦值2分，得到角的大小1分）
20．解：（I）因为四边形是等腰梯形，，
所以，
所以，即．
因为平面，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（II）以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，．
所以，，，．
由（I）可知平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，因为，，所以得
令，则，，所以，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
21．解：（1）当时，由，得或（舍去），
由，得，①
当时，，②
由①－②，得，
整理得，
因为，所以．
所以是首项为1，公差为1的等差数列．
（II）由（I）可得，．
所以，③
，④
由③－④，得
，
即．
由得，所以，即，
该式对任意恒成立，因此，
所以的取值范围是．
22．解：（I）由题意得，，
所以直线的方程为，
与椭圆方程联立得解得或，
当时，，所以．
（II）设，，的方程为，
联立消去得，
则，．
直线的方程为，
设，则，
直线的方程为，
设，则．
，
因为，
即，所以点，关于轴对称．