2022届高三数学一轮复习讲义之等差数列及其性质讲义

第一节 等差数列的基本运算及其性质
【基础梳理】
等差数列的有关概念
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式： (n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为 ．
通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且 ．
(3)等差数列的前n项和公式 (其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)．
二、等差数列的相关性质
1、等差数列的通项公式可化为：当时，它是一个一次函数。
说明：等差数列的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.
2、等差数列的前项和公式 .
，当时，它是一个二次函数，由于其常数项为零，所以其图像过原点。说明：在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3、等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项。
4、等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列。
5、若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′，则＝
【考点突破】
考点一　等差数列基本量的运算
例1、 (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7＝
【变式探究】
(1)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.
考点二 等差数列的性质
例2、(1)在等差数列中，若，则= .
(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则＝________.
【变式探究】
(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(　　)
A．130　 　B．170　 　C．210　 　D．260
(2)记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求前n项和的最小值．
【课堂小结】
【课后巩固训练】
1、设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是__________．
2、已知是等差数列，是等差数列，且，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.