2021-2022学年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式 自主提升训练 (word版含解析）

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-6完全平方公式》自主提升训练（附答案）
1．已知多项式4x2﹣（k+1）x+16是一个完全平方式，则k的值是（　　）
A．﹣7 B．﹣17 C．15 D．15或﹣17
2．下列运算正确的是（　　）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2+2xy+y2
C．（x+y）2＝x2+y2+2xy D．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2
3．若x2﹣10x+m2是完全平方式，则m的值是（　　）
A．±5 B．5 C．±25 D．25
4．计算（a﹣2b）2＝（　　）
A．a2﹣4ab+4b2 B．a2+4ab+4b2 C．a2﹣4ab﹣4b2 D．a2+4ab﹣4b2
5．已知x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m＝　 　．
6．长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则a2+b2的值为 　 　．
7．若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝　 　．
8．计算（x﹣y）2﹣2x（x﹣y）＝　 　．
9．若a﹣2b＝﹣2，则代数式4a2﹣16ab+16b2的值为 　 　．
10．如图，边长为m，n（m＞n）的长方形，它的周长为12，面积为8，则（m﹣n）2的值为 　 　．
11．多项式4x2+1加上一个单项式后成为一个整式的完全平方，则加上的单项式为 　 　（写一个即可）．
12．已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，则xy＝　 　．
13．多项式a2b2+6ab+A是完全平方式，则A＝　 　．
14．化简（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）的结果是　 　．
15．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝　 　．
16．如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于 　 　．（用m、n表示）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．
方法①　 　；方法②　 　．
观察图②，请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系：　 　．
（2）若a+b＝6，ab＝5，则求a﹣b的值．
【类比探究】利用面积关系，研究方程
提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？
几何建模：
1．将原方程变形为：x（x+2）＝35．
2．如图，画四个长为x+2，宽为x的长方形．
3．分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的长方形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22
∵x（x+2）＝35
∴（x+x+2）2＝4×35+22
∴（2x+2）2＝144
∵x＞0
∴x＝5
（3）求关于x的一元一次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤．（画图，并注明相关线段的长）
17．已知a﹣b＝7，ab＝3，求下列各式的值．
①a2﹣ab+b2．
②a+b．
18．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2来表示．
（1）上述的方法体现了一种数学思想方法，这种数学思想方法是 　 　．
A、转化思想
B、方程思想
C、数形结合思想
D、分类讨论
（2）请写出图3中所表示的整式乘法的等式 　 　．
（3）试画出一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
（4）请仿照上述方法写出另一个含有a、b的等式，并画出与之对应的几何图形．
19．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b） ，（a﹣b） ，ab之间的等量关系；
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
20．如图，已知正方形ABCD和ECGF的边长分别为a，b，a+b＝17，ab＝60，求阴影部分的面积．
21．小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
（1）通过计算小正方形面积，可推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者的等量关系式为：　 　．
（2）利用（1）中的结论，试求：当a+b＝4，ab＝时，（a﹣b）2＝　 　．
（3）利用（1）中的结论，试求：当（2x﹣50）（40﹣2x）＝16时，求（4x﹣90）2的值．
参考答案
1．解：∵4x2﹣（k+1）x+16是一个完全平方式，4x2﹣（k+1）x+16＝（2x）2﹣（k+1）x+42，
∴﹣（k+1）x＝±2 2x 4，
解得k＝15或﹣17．
故选：D．
2．解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（x+y）2＝x2+y2+2xy，原计算正确，故此选项符合题意；
D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．解：∵x2﹣10x+25＝（x﹣5）2．
∴当x2﹣10x+m2是完全平方式时，m2＝25．
∴m＝±5．
故选：A．
4．解：原式＝a2﹣2a 2b+（2b）2
＝a2﹣4ab+4b2，
故选：A．
5．解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，
而16＝42，
∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，
∴m＝5或﹣3．
故答案为：5或﹣3．
6．解：由题意得，
2（a+b）＝16，ab＝12，
则（a+b）＝8，ab＝12，
由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×12＝64﹣24＝40．
7．解：∵a+b＝﹣1，
∴a2+2ab+b2
＝（a+b）2
＝（﹣1）2
＝1．
故答案为：1．
8．解：（x﹣y）2﹣2x（x﹣y）
＝x2﹣2xy+y2﹣2x2+2xy
＝y2﹣x2．
故答案为：y2﹣x2．
9．解：4a2﹣16ab+16b2
＝4（a2﹣4ab+4b2）
＝4（a﹣2b）2，
当a﹣2b＝﹣2时，原式＝4×（﹣2）2＝16，
故答案为：16．
10．解：由题意，得：2（m+n）＝12，mn＝8，
所以m+n＝6，
所以（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝62﹣4×8＝36﹣32＝4．
故答案为：4．
11．解：∵4x2±4x+1＝（2x±1）2，
∴加上的单项式可以是±4x．
故答案为：4x（答案不唯一）．
12．解：∵（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，
∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
即5﹣1＝4xy
则xy＝1，
故答案为：1．
13．解：∵多项式a2b2+6ab+A是完全平方式，
∴A＝＝9，
故答案为：9．
14．解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣（a2﹣2ab）
＝a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab
＝b2．
故答案为：b2．
15．解：∵（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，
（2a﹣3b）2＝4a2﹣12ab+9b2，
∴（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+24ab，
∴A＝24ab，
故答案为：24ab．
16．解：（1）每个小长方形的长为m，宽为n，由图②拼图可知，
阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，
用两种方法表示阴影部分的面积为：
方法①，是边长为（m﹣n）的正方形，因此面积为（m﹣n）2；
方法②，边长为（m+n）的正方形面积减去4个长为m、宽为n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；
由上述两种方法表示阴影部分的面积可得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
故答案为：m﹣n；（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（2）∵a+b＝6，ab＝5，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝36﹣20
＝16，
∴a﹣b＝4或a﹣b＝﹣4；
答：a﹣b的值为±4；
（3）如图，画4个长为（x+b），宽为b的长方形，拼成如图所示的大正方形，
图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+b）2或四个长x+b，宽x的长方形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积，即（x+x+b）2＝4x（x+b）+b2，
又∵x（x+b）＝c，
∴（2x+b）2＝4c+b2，
∴2x+b＝±，
又∵x＞0，b＞0，c＞0，
∴x＝，
答：关于x的一元一次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解为x＝．
17．解：（1）∵a﹣b＝7，
∴a2﹣2ab+b2＝49，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝55，
∴a2﹣ab+b2
＝55﹣3
＝52；
（2）设a+b＝x，
∴a2+2ab+b2＝x2，
∴55+2×3＝x2，
∴x＝±；
∴a+b＝．
18．解析：（1）上述的方法体现了数形结合的数学思想方法；
故答案为：C；
（2）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（3）如图（答案不唯一），
（4）如图，等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（答案不唯一）；
19．解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b，
故答案为：4a﹣4b；
（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b） ，
大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b） ，
因此（a+b） ＝（a﹣b） +4ab，
故答案为：（a+b） ＝（a﹣b） +4ab；
（3）由（2）可知：（m+n） ＝（m﹣n） +4mn，
已知m﹣n＝4，mn＝﹣3，
所以（m+n） ＝16+4×（﹣3）＝4，
所以m+n＝±2；
故m+n的值为±2；
（4）设AC＝a，BC＝b，
因为AB＝8，S1+S2＝26，
所以a+b＝8，a +b ＝26，
因为（a+b） ＝a +b +2ab，
所以64＝26+2ab，解得ab＝19，
由题意：∠ACF＝90°，
所以S阴影＝ab＝．
20．解：阴影阴影部分的面积为：
S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BFG
＝
＝
＝
＝
＝．
∵a+b＝17，ab＝60，
∴．
∴阴影部分的面积为 54.5．
21．解：（1）根据小正方形的面积可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；
故答案为：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；
（2），
故答案为：14．
（3）设A＝2x﹣50，B＝40﹣2x 则A﹣B＝4x﹣90，A+B＝﹣10，A×B＝16．
所以（4x﹣90）2＝（A﹣B）2
＝（A+B）2﹣4AB
＝（﹣10）2﹣4×16
＝100﹣64
＝36．