2021-2022学年北师大版八年级数学下册 1.4角的平分线 寒假预习自主达标测评（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角的平分线》
寒假预习自主达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（　　）处．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，AB＝4，则D到BC的距离是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）
A．15 B．30 C．12 D．10
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，E是AD中点，若BD＝9，则CE的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝4，AB＝6，则S△ABD：S△ACD＝（　　）
A．3：2 B．2：3 C．1：1 D．4：3
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AD＝3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，∠B＝56°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（　　）
A．125° B．148° C．175° D．178°
8．如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上；②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB＝OC．以上结论正确的有（　　）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
10．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，则∠MAB的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．如图，已知OC是∠AOB的角平分线，点D、F分别是射线OC、OA的动点，DE⊥OB于E且DE＝3cm，则线段DF的最小值是　 　cm．
12．如图，已知△ABC的周长是18，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，△ABC的面积是　 　．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD＝6cm，AD平分∠BAC，BC＝10cm，则点D到AB的距离为　 　．
14．如图，△ABC的周长为12cm，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于点D，且OD＝2cm，则△ABC的面积为　 　cm2．
15．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5cm2，则△ABC的面积为 　 　cm2．
16．如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．若△ABC的面积为10cm2，AC＝4cm，BC＝6cm，则DE的为　 　cm．
三．解答题（共7小题，满分50分）
17．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，BE平分∠ABC．求证：AE平分∠DAB．
18．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，求AB与CD之间的距离．
19．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，P是AD上一个点，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F．
（1）求证：点D到PE和PF的距离相等；
（2）若AB：AC＝3：2，且△ADB的面积是15，求△ADC的面积．
20．在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°．
（1）求△ABC各内角的度数；
（2）如果过D作DF⊥BC，猜想DF＝DE吗？说明理由．
21．已知：如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）求证：△ODE是等边三角形．
（2）求证：点O在∠A平分线上．
22．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
23．如图，△ABC与△DBC有公共边BC，且AC＝BC，BC＝DC，∠ACB＝90°，∠BCD＝150°，∠ACB的角平分线CE交BD于点E，连接AE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）若AE＝6，S△AEB＝9，求CE的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵度假村到三条公路的距离相等，
∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，
∵△ABC的三条角平分线相交于一点，
∴度假村可供选择的位置有一处，
故选：A．
2．解：作DE⊥BC于H，如图，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，DA⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DA＝2，
即D到BC的距离是2．
故选：A．
3．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×10×3＝15．
故选：A．
4．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴AD＝BD＝9，
在Rt△ACB中，E是AD中点，
∴CE＝AD＝4.5，
故选：D．
5．解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DC＝DE．
∵S△ABD＝AB DE，S△ACD＝AC DC，
∴＝＝．
故选：A．
6．解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示.
∵AC＝4，AD＝3CD，
∴CD＝AC＝1．
又∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝1．
故选：A．
7．解：∵连接DF，
CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF＝AC＝CF，
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝56°，
∴∠BCD+∠BDC＝124°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝62°，
∴∠CED＝118°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+118°＝178°，
故选：D．
8．解：作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝6，
故选：B．
9．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵BO平分∠DBC，OD⊥BD，OE⊥BC，
∴OD＝OE，
同理可得OE＝OF，
∴OD＝OF，
∴点O在∠A的平分线上，所以①正确；
OD＝OE＝OF，所以②正确；
∵不能确定∠ABC＝∠ACB，
∴不能确定∠OBE＝∠OCE，
∴不能确定OB＝OC，所以③错误．
故选：B．
10．解：作MN⊥AD于N，如图，
∵∠B＝∠C＝90°，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，MN⊥AD，
∴MC＝MN，
∵M点为BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，
∴AM平分∠DAB，
∴∠MAB＝∠DAB＝×60°＝30°．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：当DF⊥OA时，DF的值最小，
∵OC是∠AOB的角平分线，DF⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DF＝3cm，
故答案为：3．
12．解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC与F，连接OA，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝1，
同理可知，OF＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△OAB的面积+△OAC的面积+△OBC的面积
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×18×1
＝9，
故答案为：9．
13．解：作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
∵BD＝6，BC＝10，
∴CD＝BC﹣BD＝4，
∴DE＝4（cm），
即点D到AB的距离为4cm．
14．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
∴OE＝OD＝2，OF＝OD＝2，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC
＝×AB×2+×BC×2+×AC×2
＝AB+BC+AC
＝12（cm2）．
故答案为12．
15．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，
∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，
∴PF＝PG＝PE＝3，
∵S△BPC＝7.5，
∴BC 3＝7.5，
解得BC＝5，
∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+AC+BC＝14，
∴AB+AC＝9，
∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP
＝（AB+AC﹣BC）×3
＝×（9﹣5）×3
＝6（cm2）．
故答案为：6．
16．解：∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵S△DBC+S△DAC＝S△ABC，
∴×6 x+×4 x＝10，解得x＝2，
即DE的长为2cm．
故答案为2．
三．解答题（共7小题，满分50分）
17．证明：过E点作EF⊥AB于F，如图，
∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EF⊥AB，
∴EC＝EF，
∵E是CD的中点，
∴ED＝EC，
∴EF＝ED，
而EF⊥AB，ED⊥AD，
∴AE平分∠DAB．
18．解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，
∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，
∴OE＝OF，OE＝OG，
∴OE＝OF＝OG＝2，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠EOF+∠EOG＝（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）＝180°，
∴F、O、G三点共线，
∴AB与CD之间的距离＝OF+OG＝2+2＝4．
19．解：（1）过D作DG⊥PE，DH⊥PF，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠DAB＝∠DPE，∠DAC＝∠DPF，
∴∠DPE＝∠DPF，即PD平分∠EPF，
∵DG⊥PE，DH⊥PH，
∴DG＝DH，
即点D到PE和PF的距离相等；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，
∴D到AB和AC的距离相等，
∴，
∵AB：AC＝3：2，S△ABD＝15，
∴，
∴S△ADC＝10．
20．解：（1）∵∠A＝60°，∠BDC＝95°，
而∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝95°﹣60°＝35°，
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABC＝2∠ABD＝2×35°＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∴△ABC各内角度数分别是60°，70°，50°；
（2）DE≠DF；
理由：∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BED＝180°
∴∠BED＝180°﹣70°＝110°
∴DE不垂直AB，
∵BD平分∠ABC，DF⊥BC
∴DE≠DF．
21．证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形；
（2）过O点作OG⊥AB于G，OF⊥AC于F，OH⊥BC于H，如图，
∵OB平分∠ABC，OG⊥AB，OH⊥BC，
∴OG＝OH，
同理可得OH＝OF，
∴OG＝OF，
∴点O在∠A平分线上．
22．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
23．解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝DC，∠BCD＝150°，
∴∠CBD＝∠D＝（180°﹣150°）＝15°，
∵CE平分∠ACB，而∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
在△ACE和△BCE中
，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠EBA＝∠CBA﹣∠CBD＝45°﹣15°＝30°，
∴∠AEB＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
（2）延长CE交AB于F，如图，
∵CA＝CB，EA＝EB，
∴CF垂直平分AB，
在Rt△AEF中，∵∠EAF＝30°，
∴EF＝AE＝3，AF＝EF＝3，
∴CF＝AF＝3，
∴CE＝CF﹣EF＝3﹣3．