2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形 寒假预习自主达标测评（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》
寒假预习自主达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（　　）
①作∠BAC的平分线AD交BC于点D
②取BC边的中点D，连接AD
③过点A作AD⊥BC，垂足为点D
④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列条件中，能判定三角形是等腰三角形的是（　　）
A．三角形中有两个角为30°，60° B．三角形中有两个角为40°，80°
C．三角形中有两个角为50°，80° D．三角形中有两个角为锐角
3．下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
4．若一个三角形一边上的中点到其它两边的距离相等，则这个三角形一定是（　　）
A．等边三角形 B．不等边三角形
C．等腰三角形 D．钝角但不等腰三角形
5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　）
A．∠A＝50°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝100°
C．∠A+∠B＝90° D．∠A+∠B＝90°
6．关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，∠B＝59°，∠BAC＝62°；
②△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC；
④△ABC中，AD平分∠BAC且AD平分边BC；
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是50°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 　 　．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为　 　度．
12．已知等腰△ABC，AB＝AC，∠ABC＝20°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠PAC的度数为　 　．
13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则一个底角为　 　．
14．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是　 　．
15．如图，△ABC中，AB＝AC＝DC，D在BC上，且AD＝DB，则∠BAC＝　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，则∠AED＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，E是BC延长线上一点，且CE＝CD．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求证：DB＝DE．
18．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如果∠BAC＝100°，则∠B＝　 　°；
（2）求证：BD＝CE．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．
（1）如果∠CAD＝26°，求∠ABE的度数；
（2）如果CD＝3cm，求BC的长．
20．已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE＝DF？并给出证明；
（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．
21．已知：在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰△DBE，取CE的中点为G，连接AG、DG．
（1）如图1，若BE＝AE，∠BDE＝120°，∠BAC＝60°，求证AG⊥DG；
（2）如图2，若BE≠AE，∠BDE+∠BAC＝180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．
22．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点G是BA延长线上一点，点F是AC上一点，AG＝AF，连接GF并延长交BC于E．
（1）若∠B＝55°，求∠AFG的度数；
（2）求证：GE⊥BC．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：①作∠BAC的平分线AD交BC于点D，则由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故①正确；
②取BC边的中点D，连接AD，则∠B＝∠C，BD＝CD，AD＝AD，无法判定△ABD≌△ACD，故没法证明AB＝AC，故②错误；
③过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故③正确；
④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D，过已知点不能作出已知线段的垂直平分线，辅助线作法错误，故④错误．
综上，正确的有①③．
故选：B．
2．解：A、180°﹣30°﹣60°＝90°，故此不是等腰三角形；
B、180°﹣40°﹣80°＝60°，故此不是等腰三角形；
C、180°﹣50°﹣80°＝50°，故此是等腰三角形；
D、三角形中有两个角为锐角，但是不一定是等腰三角形．
故选：C．
3．解：①可作∠B或∠C的角平分线，可将△ABC分成两个小等腰三角形；
③作直角的角平分线，可将△ABC分成两个小等腰三角形．
故选：B．
4．
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形，
故选：C．
5．解：A、若∠A是顶角时，则50°+120°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；
若∠B是顶角时，在50°+50°+160°＜180°，所以此种情况组不成等腰三角形；
总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误；
B、若∠A是顶角时，则50°+200°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；
若∠B是顶角时，在100°+100°＞180°，所以此种情况组不成等腰三角形；
总之，本组数据不能使得△ABC是等腰三角形；故本选项错误；
C、当∠A+∠B＝90°时，∠C＝90°；但∠A＝10°，∠B＝80°时，三角形ABC的三个内角没有那两个相等，所以构不成等腰三角形；故本选项错误；
D、当∠B是顶角时，则2∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°；故本选项正确；
故选：D．
6．解：①∵△ABC中，∠B＝59°，∠BAC＝62°，
∴∠C＝59°，
∴△ABC为等腰三角形；
②∵AD平分∠BAC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA＝90°；
又∵AD＝AD（公共边），
∴△ACD≌△ABD（ASA）．
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形；
③∵AD⊥BC，AD平分边BC，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°，BD＝CD；
又∵AD＝AD（公共边），
∴△ACD≌△ABD（SAS）．
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形；
④过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故能判定△ABC是等腰三角形的条件共有4组．
故选：D．
7．解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
8．解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；
②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；
③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴三角形的顶角为40°；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝140°
∴三角形的顶角为140°；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图3，
∵AB＝AC，∠BAD＝50°，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝100°，
∴三角形的顶角为100°．
综上，三角形的顶角为40°或140°或100°．
故答案为：40°或140°或100°．
10．解：∵∠BAD＝30°，∠DAE＝72°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝＝39°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝72°，
∵∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣39°＝33°，
故答案为：33°．
11．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝40°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝70°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20．
12．解：如图1，∵AB＝AC，∠ABC＝20°，
∴∠C＝∠B＝20°，
∴∠BAC＝140°，
∵BP＝AB，
∴∠BAP＝＝80°，
∴∠PAC＝60°，
如图2，∵AB＝AC，∠ABC＝20°，
∴∠C＝∠B＝20°，
∴∠BAC＝140°，
∵BP＝AB，
∴∠P＝∠PAB＝ABC＝10°，
∴∠PAC＝150°．
综上所述：∠PAC的度数为60°或150°，
故答案为：60°或150°．
13．解：有两种情况；
（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝45°，
∴∠A＝90°﹣45°＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；
（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE＝90°，
已知∠HFE＝45°，
∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G，＝×（180°﹣135°），＝22.5°，
∴等腰三角形的底角是67.5°或22.5°．
故答案为：67.5°或22.5°．
14．解：①4是腰长，∵4+4＝8＜9，
∴4、4、9不能组成三角形，
②9是腰长，能够组成三角形，
9+9+4＝22cm，
所以，三角形的周长是22cm．
故答案为：22cm．
15．解：设∠B＝x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x，
∵AD＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，
∵DC＝CA，
∴∠ADC＝∠CAD＝2x，
在△ABC中，x+x+2x+x＝180°，
解得x＝36°．
∴∠BAC＝108°．
故答案为：108°．
16．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠BAD＝28°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣28°）＝76°，
故答案为：76°．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）∵BD＝BC＝AD，BA＝AC，
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠ACB＝∠BDC，
设∠A＝α，则∠BDC＝∠A+∠ABD＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BDC＝2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°；
（2）证明：∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
又∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝72°，
∴∠CDE＝∠E＝36°，
又∵∠DBC＝36°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DB＝DE．
18．（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝100°，
∴∠B＝×（180°﹣100°）＝40°．
故答案为：40．
（2）证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC，
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
19．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAE＝2∠CAD＝52°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣52°＝38°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2CD＝6cm．
20．解：（1）当点D在BC的中点上时，DE＝DF，
证明：∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）CG＝DE+DF
证明：连接AD，
∵S三角形ABC＝S三角形ADB+S三角形ADC，
∴AB×CG＝AB×DE+AC×DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
21．（1）证明：延长DG至H，使GH＝GD，连接AD，AH，CH，如图1，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CHG和△EDG中，
，
∴△CHG≌△EDG（SAS），
∴CH＝ED，∠HCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠EBD＝30°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE＝BE，
∴CE⊥AB，
∴∠BED+∠DEG＝90°，∠BAC+∠ACE＝90°，
∴∠HCG＝∠DEG＝60°，∠ACE＝30°，
∴∠ACH＝30°，
∴∠ABD＝∠ACH，
在△ABD和△ACH中，
，
∴△ABD≌△ACH（SAS），
∴AD＝AH，
∵HG＝DG，
∴AG⊥DG；
（2）解：（1）中结论仍然成立．
理由：延长DG至M，使GM＝GD，连接AD，AM，CM，如图2，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CMG和△EDG中，
，
∴△CMG≌△EDG（SAS），
∴CM＝ED，∠MCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，
∴∠BED＝∠EBD＝180°﹣∠BDE，
∵∠BDE+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDE，
∴∠BAC＝2∠BED＝2∠EBD，
∵∠BEC＝∠BED+∠DEG＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BED+∠MCG＝∠BAC+∠ACE，
∵∠MCG＝∠ACM+∠ACE，
∴∠BED+∠ACM+∠ACE＝2∠BED+∠ACE，
∴∠ACM＝∠BED＝∠ABD，
在△ABD和△ACM中，
，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴AD＝AM，
∵MG＝DG，
∴AG⊥DG．
22．（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝55°，
∴∠GAF＝∠B+∠C＝110°，
∵AG＝AF，
∴∠AFG＝（180°﹣110°）＝35°．
（2）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣55°＝35°，
∴∠DAC＝∠AFG，
∴AD∥FG，
∴GE⊥BC．