2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形 寒假预习自主达标测评(word版含解析)

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名称 2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形 寒假预习自主达标测评(word版含解析)
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2022-01-17 21:07:57

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文档简介

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》
寒假预习自主达标测评(附答案)
一.选择题(共8小题,满分40分)
1.在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”,即“如图,已知:∠B=∠C,求证:AB=AC”时,小明作了如下的辅助线,下列对辅助线的描述正确的有(  )
①作∠BAC的平分线AD交BC于点D
②取BC边的中点D,连接AD
③过点A作AD⊥BC,垂足为点D
④作BC边的垂直平分线AD,交BC于点D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列条件中,能判定三角形是等腰三角形的是(  )
A.三角形中有两个角为30°,60° B.三角形中有两个角为40°,80°
C.三角形中有两个角为50°,80° D.三角形中有两个角为锐角
3.下列三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(  )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
4.若一个三角形一边上的中点到其它两边的距离相等,则这个三角形一定是(  )
A.等边三角形 B.不等边三角形
C.等腰三角形 D.钝角但不等腰三角形
5.要使得△ABC是等腰三角形,则需要满足下列条件中的(  )
A.∠A=50°,∠B=60° B.∠A=50°,∠B=100°
C.∠A+∠B=90° D.∠A+∠B=90°
6.关于△ABC,给出下列四组条件:
①△ABC中,∠B=59°,∠BAC=62°;
②△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC;
③△ABC中,AD⊥BC,AD平分边BC;
④△ABC中,AD平分∠BAC且AD平分边BC;
其中,能判定△ABC是等腰三角形的条件共有(  )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
7.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是(  )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.如图所示,矩形ABCD中,AB=4,BC=,点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点.使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二.填空题(共8小题,满分40分)
9.如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是50°,那么这个等腰三角形的顶角的度数为    .
10.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,且∠BAD=30°,若AD=DE,∠DAE=72°,则∠EDC的度数为    .
11.如图,在△ABC中,AB=AC.AD是BC边上的中线,点E在边AB上,且BD=BE.若∠BAC=100°,则∠ADE的大小为   度.
12.已知等腰△ABC,AB=AC,∠ABC=20°,P为直线BC上一点,BP=AB,则∠PAC的度数为   .
13.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°,则一个底角为   .
14.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm,则该三角形的周长是   .
15.如图,△ABC中,AB=AC=DC,D在BC上,且AD=DB,则∠BAC=   .
16.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=28°,且AD=AE,则∠AED=   .
三.解答题(共6小题,满分40分)
17.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,E是BC延长线上一点,且CE=CD.
(1)求∠DBC的度数;
(2)求证:DB=DE.
18.如图,点D、E在△ABC的BC边上,AB=AC,AD=AE.
(1)如果∠BAC=100°,则∠B=   °;
(2)求证:BD=CE.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E.
(1)如果∠CAD=26°,求∠ABE的度数;
(2)如果CD=3cm,求BC的长.
20.已知在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F.
(1)如图1,当点D在边BC的什么位置时,DE=DF?并给出证明;
(2)如图2,过点C作AB边上的高CG,垂足为G,试猜想线段DE,DF,CG的长度之间存在怎样的数量关系?并给出证明.
21.已知:在△ABC中,AB=AC,点E在AB上,以BE为底边作等腰△DBE,取CE的中点为G,连接AG、DG.
(1)如图1,若BE=AE,∠BDE=120°,∠BAC=60°,求证AG⊥DG;
(2)如图2,若BE≠AE,∠BDE+∠BAC=180°,则(1)中结论仍然成立吗?说明理由.
22.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点G是BA延长线上一点,点F是AC上一点,AG=AF,连接GF并延长交BC于E.
(1)若∠B=55°,求∠AFG的度数;
(2)求证:GE⊥BC.
参考答案
一.选择题(共8小题,满分40分)
1.解:①作∠BAC的平分线AD交BC于点D,则由∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,AD=AD,可判定△ABD≌△ACD(AAS),从而可得AB=AC,故①正确;
②取BC边的中点D,连接AD,则∠B=∠C,BD=CD,AD=AD,无法判定△ABD≌△ACD,故没法证明AB=AC,故②错误;
③过点A作AD⊥BC,垂足为点D,则由∠B=∠C,∠BDA=∠CDA,AD=AD,可判定△ABD≌△ACD(AAS),从而可得AB=AC,故③正确;
④作BC边的垂直平分线AD,交BC于点D,过已知点不能作出已知线段的垂直平分线,辅助线作法错误,故④错误.
综上,正确的有①③.
故选:B.
2.解:A、180°﹣30°﹣60°=90°,故此不是等腰三角形;
B、180°﹣40°﹣80°=60°,故此不是等腰三角形;
C、180°﹣50°﹣80°=50°,故此是等腰三角形;
D、三角形中有两个角为锐角,但是不一定是等腰三角形.
故选:C.
3.解:①可作∠B或∠C的角平分线,可将△ABC分成两个小等腰三角形;
③作直角的角平分线,可将△ABC分成两个小等腰三角形.
故选:B.
4.
解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BDE和Rt△CDF中

∴Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形,
故选:C.
5.解:A、若∠A是顶角时,则50°+120°<180°,所以此种情况组不成等腰三角形;
若∠B是顶角时,在50°+50°+160°<180°,所以此种情况组不成等腰三角形;
总之,本组数据不能使得△ABC是等腰三角形;故本选项错误;
B、若∠A是顶角时,则50°+200°>180°,所以此种情况组不成等腰三角形;
若∠B是顶角时,在100°+100°>180°,所以此种情况组不成等腰三角形;
总之,本组数据不能使得△ABC是等腰三角形;故本选项错误;
C、当∠A+∠B=90°时,∠C=90°;但∠A=10°,∠B=80°时,三角形ABC的三个内角没有那两个相等,所以构不成等腰三角形;故本选项错误;
D、当∠B是顶角时,则2∠A+∠B=180°,∴∠A+∠B=90°;故本选项正确;
故选:D.
6.解:①∵△ABC中,∠B=59°,∠BAC=62°,
∴∠C=59°,
∴△ABC为等腰三角形;
②∵AD平分∠BAC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA=90°;
又∵AD=AD(公共边),
∴△ACD≌△ABD(ASA).
∴∠B=∠C,
∴△ABC为等腰三角形;
③∵AD⊥BC,AD平分边BC,
∴∠BDA=∠CDA=90°,BD=CD;
又∵AD=AD(公共边),
∴△ACD≌△ABD(SAS).
∴∠B=∠C,
∴△ABC为等腰三角形;
④过D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴∠B=∠C,
∴△ABC为等腰三角形.
故能判定△ABC是等腰三角形的条件共有4组.
故选:D.
7.解:如上图:分情况讨论.
①AB为等腰△ABC底边时,符合条件的C点有4个(包括两个等腰直角三角形);
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个.
故选:C.
8.解:①BP为等腰三角形一腰长时,符合点E的位置有2个,是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P;
②BP为底边时,C为顶点时,符合点E的位置有2个,是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P;
③以PC为底边,B为顶点时,这样的等腰三角形不存在,因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点.
故选:C.
二.填空题(共8小题,满分40分)
9.解:当等腰三角形为锐角三角形时,如图1,
∵∠ABD=50°,BD⊥AC,
∴∠A=90°﹣50°=40°,
∴三角形的顶角为40°;
当等腰三角形为钝角三角形时,如图2,
∵∠ABD=50°,BD⊥AC,
∴∠BAD=90°﹣50°=40°,
∵∠BAD+∠BAC=180°,
∴∠BAC=140°
∴三角形的顶角为140°;
当等腰三角形为钝角三角形时,如图3,
∵AB=AC,∠BAD=50°,AD⊥BC,
∴∠BAC=2∠BAD=100°,
∴三角形的顶角为100°.
综上,三角形的顶角为40°或140°或100°.
故答案为:40°或140°或100°.
10.解:∵∠BAD=30°,∠DAE=72°,AB=AC,
∴∠B=∠C==39°,
∵AD=DE,
∴∠DAE=∠DEA=72°,
∵∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠EDC=∠AED﹣∠C=72°﹣39°=33°,
故答案为:33°.
11.解:∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠B=∠C=(180°﹣∠BAC)=40°,
∵BD=BE,
∴∠BDE=∠BED=(180°﹣∠B)=70°,
∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADE=∠ADB﹣∠BDE=90°﹣70°=20°,
故答案为:20.
12.解:如图1,∵AB=AC,∠ABC=20°,
∴∠C=∠B=20°,
∴∠BAC=140°,
∵BP=AB,
∴∠BAP==80°,
∴∠PAC=60°,
如图2,∵AB=AC,∠ABC=20°,
∴∠C=∠B=20°,
∴∠BAC=140°,
∵BP=AB,
∴∠P=∠PAB=ABC=10°,
∴∠PAC=150°.
综上所述:∠PAC的度数为60°或150°,
故答案为:60°或150°.
13.解:有两种情况;
(1)如图当△ABC是锐角三角形时,BD⊥AC于D,
则∠ADB=90°,
已知∠ABD=45°,
∴∠A=90°﹣45°=45°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=×(180°﹣45°)=67.5°;
(2)如图,当△EFG是钝角三角形时,FH⊥EG于H,
则∠FHE=90°,
已知∠HFE=45°,
∴∠HEF=90°﹣45°=45°,
∴∠FEG=180°﹣45°=135°,
∵EF=EG,
∴∠EFG=∠G,=×(180°﹣135°),=22.5°,
∴等腰三角形的底角是67.5°或22.5°.
故答案为:67.5°或22.5°.
14.解:①4是腰长,∵4+4=8<9,
∴4、4、9不能组成三角形,
②9是腰长,能够组成三角形,
9+9+4=22cm,
所以,三角形的周长是22cm.
故答案为:22cm.
15.解:设∠B=x,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B=x,
∵AD=DB,
∴∠B=∠DAB=x,
∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x,
∵DC=CA,
∴∠ADC=∠CAD=2x,
在△ABC中,x+x+2x+x=180°,
解得x=36°.
∴∠BAC=108°.
故答案为:108°.
16.解:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠DAE=∠BAD=28°,
∵AD=AE,
∴∠AED=(180°﹣∠DAE)=×(180°﹣28°)=76°,
故答案为:76°.
三.解答题(共6小题,满分40分)
17.解:(1)∵BD=BC=AD,BA=AC,
∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠ACB=∠BDC,
设∠A=α,则∠BDC=∠A+∠ABD=2α,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=2α,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴α+2α+2α=180°,
∴α=36°,
∴∠A=∠ABD=36°,∠ABC=∠ACB=72°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°;
(2)证明:∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E,
又∵∠CDE+∠E=∠ACB=72°,
∴∠CDE=∠E=36°,
又∵∠DBC=36°,
∴∠DBC=∠E,
∴DB=DE.
18.(1)解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠BAC=100°,
∴∠B=×(180°﹣100°)=40°.
故答案为:40.
(2)证明:如图,过点A作AP⊥BC于P.
∵AB=AC,
∴BP=PC,
∵AD=AE,
∴DP=PE,
∴BP﹣DP=PC﹣PE,
∴BD=CE.
19.解:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAE=2∠CAD=52°,
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠ABE=90°﹣52°=38°;
(2)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2CD=6cm.
20.解:(1)当点D在BC的中点上时,DE=DF,
证明:∵D为BC中点,
∴BD=CD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°,
在△BED和△CFD中,

∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF.
(2)CG=DE+DF
证明:连接AD,
∵S三角形ABC=S三角形ADB+S三角形ADC,
∴AB×CG=AB×DE+AC×DF,
∵AB=AC,
∴CG=DE+DF.
21.(1)证明:延长DG至H,使GH=GD,连接AD,AH,CH,如图1,
∵G为CE的中点,
∴GC=GE,
在△CHG和△EDG中,

∴△CHG≌△EDG(SAS),
∴CH=ED,∠HCG=∠DEG,
∵BD=ED,∠BDE=120°,
∴∠BED=∠EBD=30°,
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∵AE=BE,
∴CE⊥AB,
∴∠BED+∠DEG=90°,∠BAC+∠ACE=90°,
∴∠HCG=∠DEG=60°,∠ACE=30°,
∴∠ACH=30°,
∴∠ABD=∠ACH,
在△ABD和△ACH中,

∴△ABD≌△ACH(SAS),
∴AD=AH,
∵HG=DG,
∴AG⊥DG;
(2)解:(1)中结论仍然成立.
理由:延长DG至M,使GM=GD,连接AD,AM,CM,如图2,
∵G为CE的中点,
∴GC=GE,
在△CMG和△EDG中,

∴△CMG≌△EDG(SAS),
∴CM=ED,∠MCG=∠DEG,
∵BD=ED,
∴∠BED=∠EBD=180°﹣∠BDE,
∵∠BDE+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°﹣∠BDE,
∴∠BAC=2∠BED=2∠EBD,
∵∠BEC=∠BED+∠DEG=∠BAC+∠ACE,
∴∠BED+∠MCG=∠BAC+∠ACE,
∵∠MCG=∠ACM+∠ACE,
∴∠BED+∠ACM+∠ACE=2∠BED+∠ACE,
∴∠ACM=∠BED=∠ABD,
在△ABD和△ACM中,

∴△ABD≌△ACM(SAS),
∴AD=AM,
∵MG=DG,
∴AG⊥DG.
22.(1)解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C=55°,
∴∠GAF=∠B+∠C=110°,
∵AG=AF,
∴∠AFG=(180°﹣110°)=35°.
(2)证明:∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°
∴∠BAD=∠CAD=90°﹣55°=35°,
∴∠DAC=∠AFG,
∴AD∥FG,
∴GE⊥BC.