云南省大理市2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题（Word版含答案）

大理市2021-2022学年高二上学期期中联考
数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线经过，两点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则“”是“是幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，现给出下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．某工厂名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱柱中，是棱的三等分点，且，是棱的中点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．的最小正周期是
C．的图象关于原点对称 D．的图象关于直线对称
10．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线与曲线有且仅有个公共点，则的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若存在，使得，现给出下列四个结论：①，②的最大值为，③的取值范围是，④的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知，，且，则向量，的夹角是 ．
14．在平行六面体中，点是与的交点，若，且，则 ．
15．已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是 小时．
16．如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直线．
（1）若直线与直线平行，求的值；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
18．在中，角，，所对的边分别是，，．已知，且．
（1）求角；
（2）若函数，求在上的值域．
19．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图．
甲生产线产品质量指数频率分布直方图 乙生产线产品质量指数频率分布直方图
（1）分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取件产品，再从这件产品中随机抽取件产品进一步进行检测，求抽取的这件产品中恰有件产品是甲生产线生产的概率．
20．已知函数（，且），且．
（1）求的定义域；
（2）求不等式的解集．
21．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，且，，分别是线段，的中点，，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的取值范围．
22．已知圆的圆心在直线上，且圆经过，两点．
（1）求圆的方程；
（2）已知点，过原点的直线与圆交于，两点，且．若，求直线的斜率的取值范围．
大理市2021-2022学年高二上学期期中联考
数学试卷参考答案
1．A 因为，所以．
2．B 由题意可得直线的斜率．
3．A 由是幂函数，得，即，解得或，则“”是“是幂函数”的充分不必要条件．
4．B 由得，则，即，故①正确，②错误；由得，则，即，故③错误，④正确．
5．D 这组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，，，，，，．因为，所以这组数据的第百分位数是．
6．C 由题意可知圆与圆相交，则，解得或．
7．D 取的中点，连接，，（图略）．．因为，所以．
8．C 由题意可得，当且仅当，时，等号成立．
9．A ，则，其最小正周期为，故B，C错误．令，解得，当时，．因为，所以在上单调递增，则A正确．令．解得．因为，所以，则D错误．
10．B 因为，且是直角三角形，所以．以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以，，，，则，．故点到直线的距离．
11．C 曲线的图象如图所示，直线过定点，当时，直线与曲线有且仅有个公共点．
12．A 由题意可知，且，则，因为，所以，故①正确，②错误；作出的图象，如图所示，由图可知的取值范围是，故③正确；因为，所以，则的取值范围是，故④正确．
13． 由题意可得，则向量，的夹角是．
14． 由题意可得，，则，故．
15． 以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标，以为圆心，千米为半径作圆，且圆与直线交于，两点，过点作，垂足为．由题意可知千米，千米，，则千米，从而千米，故点处于危险区域的时长是小时．
16． 如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，连接，，，，，易证，，则五边形为所求截面．因为，所以，，，，，则，，，，，故该截面的周长是．
17．解：（1）因为，所以，
解得．
（2）令，得，即直线在轴上的截距为．
令，得，即直线在轴上的截距为．
因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，
所以，解得或，
则直线的方程是或，即或．
18．解：（1）因为，所以，
所以，解得或．
因为，所以，所以．
（2）由（1）可知．
因为，所以，
所以，所以．
故在上的值域为．
19．解：（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为；
乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为．
（2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，乙生产线的样品中优等品有件．则从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为，，，；从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为，．
从这件产品中随机抽取件的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共种；
其中符合条件的情况有，，，，，，，，共种．
故所求概率．
20．解：（1）因为，所以，
解得，所以．
则，解得．
故的定义域为．
（2）当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以在上单调递增．
因为，所以，解得．
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以在上单调递减．
因为，所以，解得．
综上，当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是．
21．（1）证明：取的中点，连接，，，则．
由题意可知，则四边形是平行四边形．
因为是线段的中点，所以是的中点，所以．
因为，为的中点，所以．
因为平面平面，且平面，所以平面．
因为，所以平面．
（2）解：因为，所以四边形是菱形，所以，则，，两两垂直，故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，，则，，，，，从而，，．
设平面的法向量为，
则，令，则．
平面的一个法向量为．
设平面与平面所成的锐二面角为，则．
因为，所以，所以．
因为，所以．
22．解：（1）设，则，解得，．
从而圆的半径，
故圆的方程为或．
（2）设直线，，，
联立，整理得，
则，．
因为，两点在直线上，所以，，所以，．
因为，所以，所以，
即，则，即．
因为，所以，
所以，解得．