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19.2.3一次函数与方程、不等式（2）教案
课题 19.2.3一次函数与方程、不等式（2） 单元 第19单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.2．通过图象获取函数相关信息，运用图象来解释实际问题中相关量的涵义.3.经历用函数图象表示不等式解集的过程，进一步体会数形结合思想.
重点 理解一次函数与一元一次不等式的联系.
难点 把一次函数图象与一元一次不等式建立联系并能表述.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 思考自议用方程、不等式能够解决函数的特殊问题。 经历用函数图象表示不等式解集的过程，进一步体会数形结合思想.
讲授新课 提炼概念三、典例精讲例： 1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y(m)与气球上升时间 x(min)的函数关系．气球1 海拔高度：y =x+5；气球2 海拔高度：y =0.5x+15．从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？由函数图象的定义可知：直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.从数的角度看：解方程组就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．观察函数图象，直接回答下列问题：（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？（2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？（1）20min后，1 号气球比2 号气球高.（2）0~20min时，1 号气球比2 号气球高. 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．方程组的解 对应两条直线交点的坐标. 运用一次函数与方程、不等式解决实际问题。 通过探究一次函数与一元一次不等式的联系，使学生感受数形结合思想的魅力，体会从不同角度认识事物本质的方法.
课堂检测 四、巩固训练1.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ） A.x<5 B.x>5 C.x>-5 D.x>25 纪教育网版权所有B2.如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？解：此方程组的解是3.如图，求直线l1与l2 的交点坐标.解：因为直线l1过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得直线l1的解析式为y =2x+2.同理可求得直线l2的解析式为y =-x+3.4.下图表示一艘轮船和一艘快艇沿 ( http: / / www.21cnjy.com )相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题： ( http: / / www.21cnjy.com )(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？(3)问快艇出发多长时间赶上轮船？解 (1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为y＝kx(k≠0),由图象知：当x＝8时，y＝160．代入上式，得8k＝160,可解得k＝20．所以轮船行驶过程的函数解析式为y＝20x．设表示快艇行驶过程的函数解析式为y＝ax＋b(a≠0),由图象知：当x＝2时，y＝0；当x＝6时，y＝160．代入上式，得可解得所以快艇行驶过程的函数解析式为y＝40x－80．(2)由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，所以轮船的速度是（千米/时），快艇的速度是（千米/时）．(3)设轮船出发x小时快艇赶上轮船，20x＝40x-80得x＝4,x－2＝2．答 快艇出发了2小时赶上轮船．
课堂小结 1.实际问题中数量之间的相互关系，用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律；2.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解．
O
y
x
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人教版 八年级下
19.2.3一次函数与方程、不等式（2）
新知导入
情境引入
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系
典例精讲
1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．
(1)请用解析式分别表示两个气
球所在位置的海拔 y(m)与气球
上升时间 x(min)的函数关系．
h1
h2
气球1 海拔高度：y =x+5；
气球2 海拔高度：y =0.5x+15．
合作学习
提炼概念
一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数 y =0.5x+15
二元一次方程 y -0.5x =15
二元一次方程 y =0.5x+15
用方程观点看
用函数观点看
从式子（数）角度看：
由函数图象的定义可知：
直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解
从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
15
10
5
-5
5
10
O
x
y
y =0.5x+15
从数的角度看：
就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．
解方程组
y =x+5
y =0.5x+15
h1
h2
(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
二元一次方程
组的解就是相应的
两个一次函数图象
的交点坐标．
A（20，25）
30
25
20
15
10
5
10
20
y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x
y
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
观察函数图象，直接回答下列问题：
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？
（2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
（1）20min后，1 号气球比2 号气球高.
（2）0~20min时，1 号气球比2 号气球高.
归纳概念
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
2.如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？
解：此方程组的解是
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
P
y=ax+b
y=cx+d
课堂练习
1.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ）
A.x<5 B.x>5
C.x>-5 D.x>25
B
O
y
x
如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
3.如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
O
y
x
解方程组
y =2x+2，
y =-x+3，
解：因为直线l1过点(-1，0)，
(0，2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y =2x+2.同理
可求得直线l2的解析式为y =-x+3.
得
x=
y=
即直线l1与l2 的交点坐标为
O
y
x
4.下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题：
(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？
(3)问快艇出发多长时间赶上轮船？
解 (1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为y＝kx(k≠0),
由图象知：当x＝8时，y＝160．代入上式，得8k＝160,
可解得k＝20．所以轮船行驶过程的函数解析式为y＝20x．
设表示快艇行驶过程的函数解析式为y＝ax＋b(a≠0),
由图象知：当x＝2时，y＝0；当x＝6时，y＝160．代入上式， 可解得
所以快艇行驶过程的函数解析式为y＝40x－80．
(2)由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，所以轮船的速度是20（千米/时），快艇的速度是40（千米/时）．
(3)设轮船出发x小时快艇赶上轮船，
20x＝40x-80 得x＝4,x－2＝2．答 快艇出发了2小时赶上轮船．
课堂总结
1.实际问题中数量之间的相互关系，用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律；
2.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解．
作业布置
教材课后配套作业题。
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19.2.3一次函数与方程、不等式（2）学案
课题 19.2.3一次函数与方程、不等式（2） 单元 第19单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.2．通过图象获取函数相关信息，运用图象来解释实际问题中相关量的涵义.3.经历用函数图象表示不等式解集的过程，进一步体会数形结合思想.
重点 理解一次函数与一元一次不等式的联系.
难点 把一次函数图象与一元一次不等式建立联系并能表述.
教学过程
导入新课 【引入思考】
新知讲解 提炼概念典例精讲 例： 1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y(m)与气球上升时间 x(min)的函数关系．从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.观察函数图象，直接回答下列问题：（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？（2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
课堂练习 巩固训练 1.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ） A.x<5 B.x>5 C.x>-5 D.x>25 纪教育网版权所有2.如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？3.如图，求直线l1与l2 的交点坐标.4.下图表示一艘轮船和一艘快艇沿 ( http: / / www.21cnjy.com )相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题： ( http: / / www.21cnjy.com )(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？(3)问快艇出发多长时间赶上轮船？ 引入思考提炼概念典例精讲 例： 1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y(m)与气球上升时间 x(min)的函数关系．气球1 海拔高度：y =x+5；气球2 海拔高度：y =0.5x+15．从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？由函数图象的定义可知：直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.从数的角度看：解方程组就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．观察函数图象，直接回答下列问题：（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？（2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？（1）20min后，1 号气球比2 号气球高.（2）0~20min时，1 号气球比2 号气球高. 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．方程组的解 对应两条直线交点的坐标.巩固训练1.B2.解：此方程组的解是3.解：因为直线l1过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得直线l1的解析式为y =2x+2.同理可求得直线l2的解析式为y =-x+3.4.解 (1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为y＝kx(k≠0),由图象知：当x＝8时，y＝160．代入上式，得8k＝160,可解得k＝20．所以轮船行驶过程的函数解析式为y＝20x．设表示快艇行驶过程的函数解析式为y＝ax＋b(a≠0),由图象知：当x＝2时，y＝0；当x＝6时，y＝160．代入上式，得可解得所以快艇行驶过程的函数解析式为y＝40x－80．(2)由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，所以轮船的速度是（千米/时），快艇的速度是（千米/时）．(3)设轮船出发x小时快艇赶上轮船，20x＝40x-80得x＝4,x－2＝2．答 快艇出发了2小时赶上轮船．
课堂小结 1.实际问题中数量之间的相互关系，用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律；2.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解．
O
y
x
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