★开封前注意仨
级教学质量测试
数
本试卷共
考试时间120分钟,满分150分
答匙
填
准确,将条形码准确粘贴在条形码粘贴处
序在答题卡各题目的答题区域内作
题区城书写的答案无
按要求
叠,不要弄破、弄皱,不得使用涂改
液
结束后,请将本试卷
选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只
是符
求
复数z满
为虚数单位),则z的模为
袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球,现从袋中不放回地依次抽取两个球
球的条件下,第二次也取到白球的概率是
每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候,甲、乙两家公司今年分别提
供
和3个不同的职位,一共收到
份简历,具体数据
文史男
文史女
分析毕业生的选择意愿与性别的关联
知对应的K的观测值
010;分析
选择意愿
联的K2的观测值k2≈9.090,则下列说法
数学试卷第1页(共4页
有99.9%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联
毕业生在选
公司时,选择意愿与专
联比与性别的关联性更
C.理科专业的学生更倾向于选择
女性毕业生更倾向于选择
知函数
2是
2kx(k∈Z)
知圆柱的轴截面为正方形,其外接球为球
圆柱的表面积
的表面积之比
过抛物线
的焦
线交
B两点(点A在点B的右边),O为
原点.若△
横坐标为
知函数fx
作两条直线与函数y=f(x)相切,则下列结论正
确的是
a2+b2的最大值为
选择题:本
4
每小题5分,共20
选项中,有多项符
要求。全部选对的得
错的得0分
9.已知
展开式中各项的系数和为64
下列说法正确
数项为
C.展开式
系数最大的项是第四项
展开式
数均为偶数
知函数f
满足不等式f
知
)(a,B
(0,1),则下列说法正确
为
数学试卷第2页(共4页
图1所
知正方
D-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是
是线段AB上的动
列说法正确的是
MN截正方体所得的截面可以是四边形、五边形或六
两点不重合时,平面PMN截正方体所得
△MPN是锐角三角形
N面积的最
图
填空题:本题
题,每小题5分
13.已知函数f(x)
该函数在x=0处的切线方程为
4.在等差数
分别是方程x2-16x
的两个根,则
是双曲线C
右支上任意一点
线C在点P处的切线分别与两条渐近线y=±2x交于A,B两点
OB
6.如图3所示
O为BC的中点,E
别为线段AB,AC上的动点
值为
最大值为
本题共6小题
竺
过程或演算步骤
项均为正数的等比数列{
项公式
项和S
在△AB
(2)若
△ABC的面积为
求b和c的值
数学试卷第3页(共4页揭阳市 2021—2022学年度高中三年级教学质量测试
数学试卷参考答案与评分标准
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，满分 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D C C B C A D B
x 4
1. D 先将集合 A，B分别化简，再求其交集. A {x | 0} ( 2, 4) ， B {x | 2x 4} ( , 2)，
x 2
从而 A B ( 2, 2) .
1 i
2. C 先做除法运算求出复数 z，再根据复数模的计算公式求其模.由 z(1 i) 1 i得 z i，从而
1 i
| z | | i | 1 .
3. C 此题为条件概率模型，可以有两种做法：一是根据条件概率的公式计算；二是缩小样本空间的
方法求解.
方法一：记第 i次取得白球为事件 Ai (i 1,2) .P(A2 | A1)
P(A1A2 ) 3 2 3 1
P(A1) 5 4 5 2
；
2 1
方法二：第一次取到白球后，袋中还有 4 个球，两白两黑，故第二次取出白球的概率为 .
4 2
4. B 根据K 2的观测值的意义再结合所给表格中的参考数据进行判断.与专业关联的K 2的观测值
k2 9.090，明显大于 7.879，明显小于 10.828，故仅有1 0.005 99.5%的把握认为毕业生的选择意愿与
专业相关联，所以 A 不正确；因为 k2 k1，故 B 正确；根据题中的数据表列出专业与甲、乙公司的关联表
可知，理科专业的学生更倾向于选择甲公司，列出性别与甲、乙公司的关联表可知，女性毕业生更倾向于
选择乙公司，所以 C，D 均不对.
π π π
5. C 利用整体代换法和复合函数的单调性求函数的增区间.令 2kπ 2x 2kπ ，解得
2 3 2
5π kπ x π kπ ， k Z，故答案为 C.
12 12
6. A 利用圆柱的轴截面信息求出圆柱的底面半径与高的关系，再结合圆柱与外接球的关系求得对应
的比例关系.因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为 r，其高 h 2r ，其外接球的半径
R h
2
r 2 2r，则圆柱的表面积 S 2·πr 2 2πr·r 6πr 2 ，球 O的表面积 S 4πR2 8πr 2，则有
2 圆柱 球
S圆柱 : S球 3: 4，故答案为 A.
数学试卷参考答案与评分标准 第 1 页 （共 9 页）
7. D 利用三角形的重心公式可得点 A，B的坐标所满足的关系，结合焦点弦长与点 A，B的坐标关系
求得|AB|的值.抛物线C : y2 36x的焦点F (9,0)，准线 l：x 9设点 A，B的坐标分别为 (x1, y1)， (x2 , y2 )，根
x1 x2 0据重心坐标公式得 10，可得 x1 x2 30 .根据抛物线的几何性质，得 | AB | x1 9 x2 9 3
x1 x2 18 48，故答案为 D.
8. B 根据函数 f (x) 的图像及其渐进线将平面直角坐标系划分为不同的区域，在不同区域内的点作函
数 f ( x ) 的切线的条数不同.由此获得点 P (a , b ) 所在的区域，从而得出答案.现按函数 f ( x ) 的图象及其渐进线
将平面直角坐标系划分为如图所示的几个区域，因为 x，y轴为 f (x) 两条渐近
线，所以在区域（1）及区域（5）中可作的切线条数为 0，在区域（2）中可
作的切线条数为 2，在区域（3）（4）中可作的切线条数为 1，由题意可得点
P (a ,b) 2 1位于第（ ）区域，即可得 a 0 ， 0 b a ，从而可得答案 B 成立.
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分。
9 10 11 12
BCD AC BC BD
9. BCD 利用赋值法计算 n的值，再利用展开的通项公式获得具体项.令 x 1代入二项式可得各项的
k
系数和为 2n 64 ，即可得 n 6 ，B 正确；对于 A
1
，设展开式的通项为T Ck x6 k Ck x6 2kk 1 6 6 ，当Tx k 1
为常数项时，则有6 2k 0，则可得 k 3 .代入二项式，可得展开式的常数项为C36 20 ，故 A 错误；对于
C，因为 n 6，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故 C 正确；对于 D，该展开式的通
项为T Ck x6 2kk 1 6 ，可得展开式中 x的指数均为偶数.故 D 成立.故选 BCD.
10. AC 利用函数 f (x) 的奇偶性及单调性结合不等式 f (2m 3n) f (n 2) 0 可得 m，n所满足的关系
式，再结合上述关系分别验证答案是否成立.利用函数的性质可以判断 f (x) 为奇函数，且在R上单调递增，
由 f (2m 3n) f (n 2) 0 ，可得 2m 3n n 2 0 ，即有 m n 1 .所以 A，C 显然成立，D 错误；令
m 2 ， n 0，可验证 B 错误.
11. BC 方法一：利用向量的加法公式可得两个三角函数所满足的关系式，再结
合三角恒等变换获得对应的表达式的值.方法二：根据三角函数的定义，角α，β的始边
与 x非负半轴重合，终边与单位圆的交点为 A，B，画出图形，利用图形的几何性质
求解，即利用数形结合思想求解.
数学试卷参考答案与评分标准 第 2 页 （共 9 页）
方法一： m2 1 ， n2 1 ，即有 m2 n2 2 ，故 A 错误；利用向量的加法可得 cos cos 0 ，
sin sin 1 5π π，根据诱导公式及同角三角函数的关系，解得 ， ，故 B，C 正确，且此时
6 6
3 1 m , ，n
3 1
2 2
, ，即有m n ( 3,0)，所以|m n| 3 2，D 错误. 2 2
方法二：根据三角函数的定义，角α，β的始边与 x非负半轴重合，终边分别经过单位圆上的两点，设
5π π
m OA， n OB，m n (0,1) OC，易知四边形 OACB为菱形，由图可知 ， ，后面判断方6 6
法同方法一.
12. BD 本题需在不同的平面内构造平行线，将平面 PMN 进行扩展，发
现其与正方体各个面上的交线，从而获得截面的形状.如图，当点 P与 A，B两
点不重合时，将线段 MP向两端延长，分别交 CD，CB的延长线于点 O，Q，
连接 NO，NQ分别交 1， 1于 R，S两点，连接 RM，SP，此时截面为五
边形 MPSNR，故 B 正确；当点 P与点 A或点 B重合时，截面为四边形，不可
能为六边形，故 A 不正确；考虑△ ，当点 P与点 A重合时，MN 6 ，
PM 1， PN 3，此时因为MN 2 PM 2 PN 2，故 PMN为钝角，所以 C 错误；当点 P与点 B重合时，
21
点 P到直线 MN的距离取到最大值，此时△ 的面积取到最大值，最大值为 ，故 D 成立.
2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13.【答案】 y x
【解析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，从而获得切线方程.对函数 f (x)求导可得
f (x) ex (sin x cos x) ，把 x 0代入可得 f (0) 1，则切线方程的斜率 k 1 . 又因为 f (0) 0，所以切点
为 (0,0)，从而可得切线方程为 y x .
14.【答案】8
【解析】利用等差数列的性质以及韦达定理即可求解.根据韦达定理可得 a1 a2 021 16 ，利用等差数
列的性质可得 a1 a2 021 16 2a1 011 ，从而可得 a1 011 8 .
15.【答案】1
【解析】根据切线方程及渐近线方程计算出关于点 A，B的表达式，再利用
x x y y
向量的数量积进行求解.双曲线 C在点 P处的切线方程为 l：0 0 1，设点 A
4 3
x y
的坐标为 2t1, 3 t1 ，点 B的坐标为 2t2 , 3 t2 ，代入 l的方程可得 0 0 t 1 2 ，3 1
第 15 题
数学试卷参考答案与评分标准 第 3 页 （共 9 页）
x0 y 0 x
2 y2
t2 12 .两者相乘得
0 0
3
t1t2 1，因为 P为双曲线 C上的点，所以 t1t2 1.向量OA，OB的数量
4 3
积OA OB (4 3)t1t2 ，将 t1t2 1代入可得OA OB 1 .本题还可通过特殊值进行求解.
16. 7 2 3 3【答案】 1
3 2
【解析】本题需利用勾股定理以及平面图形的几何性质进行求解，第二空需要选
1 1
择恰当的角度表示出 2 2 的值，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解OE OF
出最值.
（ 1 ） OE AB 时， OE 1 ，过点 O 作 OD AC 于点 D，在 Rt △ 中，
OF OD 2 2 7 2 3
cos30 ，在△ 中，由余弦定理可计算得3 EF .3
（2）设 OEA (
π 7π
)，则 OFA 5π ，过点 O分别作 AC，AB的垂
4 12 6
1
线于 D，G 两点，则 OD OG 1 ，在△ 与△ 中，易得 2 sin
2 ，
OE
1
sin2 (5π ) sin2 ( π2 )
1 1 π 3 π
，所以 2 2 sin
2 sin 2 sin 2 1 ，
OF 6 6 OE OF 6 2 3
当
5π
1 1 3时， 1.
12 OE2 OF 2 max 2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【答案】（1）设数列{an}的公比为 q，依题意可得
a2 a1q 18，
2 …………………………………………......................................2 分
a3 a1 a1q a1 48.
1
解得 q 3或q ，又因为数列{an}的各项均为正数，所以 q 3 . …………............3 分3
从而可求得a1 6，
所以，an 6 3
n 1 2 3n . ……………….......................................................................4 分
（2）b
an n
n log3 log3 3 n， …………………......................................................................5 分2
1 1 1 1 1
( )
b b n(n 2) 2 n n 2 ， ……………………………............................................6 分n n 2
数学试卷参考答案与评分标准 第 4 页 （共 9 页）
S 1 1 1 1 1n 1 3 2 4 3 5 (n 1)(n 1) n(n 2) ………………………….......................7 分
1 [(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 1 1 ) ( )] ……………............................8 分
2 3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n 2
1 1 1 1
1 …………………………………………...........................................9 分
2 2 n 1 n 2
3 2n 3
. …………………………………………................................................10 分
4 2(n 1)(n 2)
【解析】先利用基本量法对条件进行化简获得{an}的通项公式，再利用裂项相消的技巧进行求和.
a b c
18.【答案】（1）由正弦定理 2R（R为△ 外接圆半径）可得
sin A sin B sinC
a 2R sin A,b 2R sin B,c 2R sinC， .........................................................1 分
代入 3a cosB bsin A 3c中得
3 sin AcosB sin B sin A 3 sinC， ............................................................2 分
又 C π (A B) ，
所以 3 sin AcosB sin B sin A 3 sin(A B) ， ...........................................3 分
展开化简得 sin B sin A 3 cos Asin B ...............................................................4 分
sin B 0, tan A 3 ...............................................................................5 分
A (0, π), A π . ..........................................................................................6 分
3
（2）由余弦定理及三角形面积公式得
2 2
b c 2bc cos
π
a2 3，
3
1 π 3 ..............................................................................................8 分
S ABC bc sin . 2 3 2
b2 c2 bc 3
................................................................................................................9 分
bc 2
b c，可解得b 2,c 1 . ...............................................................................................12 分
【解析】先利用正弦定理对条件进行化简计算角 A的值，再利用余弦定理以及面积公式计算三角形的
另外两条边.
数学试卷参考答案与评分标准 第 5 页 （共 9 页）
19.【答案】（1）设点 F 为 PD的一个三等分点，且 FD 2PF，连接 EF ， AF，如图所示.
EC 2PE， FD 2PF ….....................................................1 分
EF / /CD 1，且 EF CD ……………………….....................2 分
3
1
又 AB / /CD，且 AB CD，从而可得 AB / /EF，且 AB EF .
3
综上可知四边形 ABEF 是平行四边形.
BE / /AF ……………................................................................................................................3 分
AF 平面 PAF， BE 平面 PAF，
BE / / 平面 PAD ………..........................................................................................................4 分
（2）因为平面 PCD 平面 ABCD，平面 PCD 平面 ABCD CD，
CD AD，且 AD 平面 ABCD，从而可得 AD 平面 PCD . ……………………............................5 分
又由 PD 平面 PCD，所以 AD PD，从而可得 PDC为二面角 P AD C的平面角.
由题意可得 PDC 60 ，由 PD CD 3，即有△ 为等边三角形. ……………….......................6 分
方法一：几何法
如图，过点 E作CD的垂线，垂足为 M，连接 BM .
平面 PCD 平面 ABCD，平面 PCD 平面 ABCD CD，
EM CD，且 EM 平面 PCD，从而可得 EM 平面 ABCD . …7 分
故 EBM为直线 BE与平面 ABCD所成角. …..………………………..8 分
根据第（ 1）问的△ADF 可知 DF 2 ，所以 AF AD2 DF 2 4 ，故
BE 4 . …...................................................................................................................................................…9 分
3 3
因为△ 为等边三角形，所以△ 的高为 ，
2
2 3 3
根据三角形的相似关系可得 EM 3 ， .....................10 分
3 2
所以在 Rt △ 中，可得 sin EBM EM 3 …………..11 分
EB 4
所以直线 BE与平面 ABCD 3所成角的正弦值为 ……..........12 分
4
方法二：向量法
如图，以CD的中点O为原点，OC为 y轴，过点O在平面 ABCD内作
OC的垂线为 x轴，OP为 z轴建立空间直角坐标系. ……......................………………………………7 分
则有 B(2 3,
1
,0) 1， E (0, , 3) . …………………….............................................................................8 分
2 2
数学试卷参考答案与评分标准 第 6 页 （共 9 页）
则有 BE ( 2 3,1, 3) . ……………………………..................................................................................9 分
平面 ABCD的一个法向量为m (0,0,1) .…........................................................................……………10 分
m BE 3
可得 cos m,BE m BE 4 . ……….....................................................................................……11 分
3
直线 BE与平面 ABCD所成角的正弦值为 . ……......................................................................……12 分
4
【解析】通过构造辅助线证明线面平行；利用二面角信息计算图形中相关的几何信息，接着根据定义
作出线面角，再结合正、余弦定理进行求解，也可通过建立空间直角坐标系进行求解.
20.【答案】（1）根据频率分布直方图的信息，成绩在 [0,30) ， [30,60) ， [60,90) ， [90,120) ，
[120,150]对应的频率分别为 0.12，30a，0.42，0.24，0.06.
根据总的频率和为 1，可得成绩在[30,60)所对应的频率为 0.16. ……………............……..................2 分
0.22 0.06 0.16 0.16 2，且 ，可知成绩在 [90,120) 内的前 2 也属于第一档.即可知第一档的分数段为
0.24 3 3
[100,150]，第二档的分数段为[70,100) ………….....................................................................................4 分
（2）根据第（1）问的结论可知，甲的成绩属于第三档，乙的成绩属于第二档，丙的成绩属于第一档.
则 X 的所有可能取值为 0，1，2，3 ……………………………………………............……..................5 分
其中 P(X 0) 0.2 0.5 0.9 0.09
P(X 1) 0.8 0.5 0.9 0.2 0.5 0.9 0.2 0.5 0.1 0.46
P(X 2) 0.8 0.5 0.9 0.2 0.5 0.1 0.8 0.5 0.1 0.41
P(X 3) 0.8 0.5 0.1 0.04
则 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.09 0.46 0.41 0.04
……........10 分
X 的数学期望为： E(X ) 0 0.09 1 0.46 2 0.41 3 0.04 1.4， …….............................12 分
（注：写对一个概率得 1 分）
【解析】利用频率分布直方图中的概率和为 1 即可求得成绩位于分数段[30,60) 时的频率，进而结合
题干信息求得每一档对应的分数段；再根据每位考生的总分是否上特控线的相互独立性，计算各种情况下
的概率，最后完善分布列以及计算数学期望.
数学试卷参考答案与评分标准 第 7 页 （共 9 页）
21.【答案】（1）由椭圆C的焦距为 2 3 ，可得 2c 2 3 ，即有 c 3 . …..…….…...…………1 分
1
设点 P的纵坐标为 yP，△ 1 2的面积 S PF F F1F y1 2 2 2 P
3 yP ， ……......….....……………2 分
其中 yP b，根据△ 1 2面积的最大值为 3，可得b 1. ………………………….............………3 分
由椭圆的性质可得：a2 b2 c2 4 .
x2
于是椭圆C的方程为 y2 1 . ……………………….............................................................…………4 分
4
（2）当直线 l的斜率为 0 时，以 AB为直径的圆的方程为 x2 y2 4
圆与 x轴的交点为 ( 2, 0) ， (2,0) ………………............................................................................……5 分
6
当直线 l的斜率不为0时，设直线 l：x ty . ……………..........................…………………………6 分
5
将直线 l与椭圆C 2联立，可得 (t + 4)y2 12 ty 64+ - = 0 .
5 25
设点 A,B的坐标分别为 (x1, y1) ， (x2 , y2 )，则有
y y 12t 641 2 2 ， y1 y 5(t 4) 2 . ………………....................................……………………7 分 25(t 2 4)
以 AB为直径的圆的方程为 (x x1)(x x2 ) (y y1)(y y2 ) 0 .………............……………………8 分
令 y 0 2，可得： x (x1 x2 )x x1 x2 y1 y2 0 ①. ………………...................................………9 分
x 12 48其中 1 x2 t( y1 y2 ) 5 5(t 2 4) ②，
x x t 2 y y 6 t( y 36 100t
2 144
1 2 1 2 1 y2 ) ③.5 25 25(t 2 4)
x2 48 x 100t
2 80
②③代入①可得 2 0 ④. ……………...............................................………10 分5(t 4) 25(t 2 4)
式子④可变换为 (25x2 100)t 2 100x2 240x 80 0 ⑤. ……….......................…………………11 分
当25x2 100 0 ，且100x2 240x 80 0时，⑤式成立，可解得 x 2 .
综上可得，以 AB为直径的圆恒过 x轴上的定点Q 2,0 ，m 2 . ………….............…………………12 分
【解析】先利用椭圆相关的几何性质以及三个参数之间的关系计算出椭圆的方程，根据直线 l与椭圆
C的关系求得点 A,B的坐标所满足的关系式，再利用圆的方程观察其所经过的定点.本题的一个难点在于
根据（1）式求得定点，本题可通过验证当直线 l为特殊直线时，对应圆的方程来猜想出所经过的定点
Q 2,0 6，再反向验证（1）恒成立.例如，可令直线 l为： y = 0或 x = 进行求解.
5
数学试卷参考答案与评分标准 第 8 页 （共 9 页）
22.【答案】（1）当 a e时， f (x) xe x ex e ln x e，
对函数 f (x)求导，可得 f (x) (x 1)e x e
e (x 1) e x e ， …............……………………1 分
x x
在 (0,1) 上， f (x) 0 ；在 (1, ) 上， f (x) 0 .即可得 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, )上单调递
增； ………………………....................................................................................................................……3 分
由此可得， f (x)的最小值为 f (1) e e e ln1 e e ，无最大值. …….........………………………4 分
（2）对函数 f (x) 求导可得 f (x) (x 1)ex
a
a (x 1) ex a .当 a 0时， f (x) 0在 (0, )
x x
上恒成立，即可得 f (x) 在 (0, ) 上单调递增；故可得函数 f (x) 至多只有一个零点，不符合题
意； ………............................................................................................................................................……6 分
a
当 a 0 x时，令 e 0 ，设该方程的解为 x0 .在 (0, x0) 上， f (x) 0；在 (x0 , )上， f (x) 0 .即可x
得 f (x) 在 (0, x0) 上单调递减，在 (x0 , )上单调递增； ………………..............……………………8 分
x
为了满足 f (x) 有两个零点，则有 f (x 00 ) x0e ax0 a ln x0 a 0 ①. ………………………9 分
因为 x0是方程 e
x a 0 x的解，所以 x 00e a，两边取对数可得 ln x0 x0 lna ②， ….……10 分x
将②式代入①式可得 f (x0 ) a(2 ln a) 0，所以 a的取值范围为 a (e2 , ) . …….......................11 分
且当 a (e2 , ) 时，由②式得 x0 1， f (1) e a a e 0 ，所以 f (x) 在 (0, x0) 上仅有 1 个零点；
当 x 时， f (x) ，故可得 f (x) 在 (x0 , )上仅有 1 个零点；
综上，若函数 f (x) 存在两个零点，则实数 a的取值范围是 (e2 , ) . …………....…………………12 分
【解析】先根据导数判断函数 f (x)的单调性及最值，通过分类讨论确定函数 f (x) 的图象，从而判定
实数 a的取值范围.
数学试卷参考答案与评分标准 第 9 页 （共 9 页）
