广东省深圳市南山区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省深圳市南山区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 697.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-17 12:37:13 | ||
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文档简介
绝密★大启用 试卷类型：A
深圳市南山区2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试题
2022.01
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的姓名、班级、学校，并把条形码粘贴在指定位置．
2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效．
3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，，则（ ）
A．10 B．17 C．21 D．35
3．已知与，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
4．已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．在平行六面体中，M为与，的交点，若，则与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
7．已知等比数列满足，且，则数列的公比为（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．数列满足，则的前10项之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．以下命题正确的是（ ）
若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，是直线b上不同的两点，则（ ）
A． B．
C．，使得 D．设与的夹角为，则．
10．已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知是等比数列的前n项和，下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（ ）
A．P可能为中点 B．的最小值为3
C．若，则的方程为 D．的面积最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与直线平行，则_________．
14．已知，若与垂直，则_________．
15．在正方体中，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为_________．
16．已知点，直线，动圆P过点F且与直线相切，其圆心P的轨迹为曲线上的动点Q到y轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
在等差数列中，已知公差，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值．
18．（本题满分12分）
已知圆C的圆心在直线上，且经过点和．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线与圆C交于两点，且，求直线的方程．
19．（本题满分12分）
已知数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题．
①；②是和的等比中项，．
若公差不为0的等差数列的前n项和为，且_______，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（本题满分12分）
如图，是过抛物线焦点F的弦，M是的中点，是抛物线的准线，为垂足，点N坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的面积（O为坐标系原点）．
21．（本题满分12分）
图1是由等边三角形和等腰直角三角形组成的一个平面图形，其中．若，将沿折起，连接，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．（本题满分12分）
设圆的圆心为P，点，点H为圆上动点，线段的垂直平分线与线段交于点E，设点E的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线与曲线C交于点，与圆切于点M，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
高二数学期末考试参考答案
一、单项选择题：
1～4：ABAA 5～8：CDBD
二、多项选择题：
9．BCD 10．AC 11．AC 12．AD
三、填空题：
13． 14． 15． 16．
四、解答题：
17．解（1）又成等比数列……1分
所以．……2分
化简得，解得或，又，所以……4分
可得数列的通项公式；……5分
（2）由（1）得，由，得，由，得
所以……7分
所以．……10分
18．解：（1）设圆心C的坐标为，由题意可得，，……1分
所以，解之得，．……4分
所以圆心坐标为，半径．所以圆C的标准方程为……6分
（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为，此时，符合题意．……7分
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，……8分
因为，所以圆心C到直线的距离，即．……9分
解之得，．所以直线的方程为．……11分
综上所述，直线的方程为和．……12分
19．解：（1）当时，，可得．………1分
当时，，所以，即．
因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以……4分
（2）设数列的公差为d，若选择①，有解得……5分
所以．……6分
若选择②，有，即，即．因为，所以．
所以，解得，所以．……6分
由（1）得，，所以，……7分
所以，
．……8分
两式相减，得
，所以．……12分
20．解：（1）点在准线上，所以准线方程为：，……1分
则，解得所以抛物线的方程为：……4分
（2）设，由在抛物线上
所以，则……6分
又，可知点M纵坐标为是的中点，所以……7分
所以，又知焦点F坐标为，则直线的方程为：……9分
联立抛物线的方程，可得……10分
解法1：直接解得或，所以……11分
解法2：由韦达定理得．……11分
所以．……12分
21．（1）证明：如图，取的中点E，连接，……1分
，……2分
为等边三角形，为等腰直角三角形，
，又，即，……3分
又平面平面，……4分
又平面平面平面．……5分
（2）（解法一）由（1）知平面平面……6分
过点E作交于点H以点E为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，……7分
则有，，……8分
设为平面的一个法向量，
则．即
以，则
易知，为平面的一个法向量，，……11分
由图可知，二面角为锐角，二面角的余弦值为．……12分
（解法二）过D作于F，由（1）知平面……7分
平面，又平面是二面角的平面角，……9分
又……10分
在中，由余弦定理得，……11分
∴二面角的余弦值为．……12分
22．解：（1）由条件可得，半径
又线段的垂直平分线与线段交于点E，所以……1分
则有．……3分
所以点E的轨迹为以为焦点，实轴长为的椭圆其方程为……4分
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，不妨取
由椭圆C的方程可知
解法1：则即
从而在中，……5分
解法2．则……5分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：
因为直线与圆O相切，所以，则
联立和椭圆方程可得……8分
则
解法1：则
……11分
所以从而在中，所以为定值2．
解法2：所以
又因为在椭圆上所以上式
……11分
深圳市南山区2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试题
2022.01
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的姓名、班级、学校，并把条形码粘贴在指定位置．
2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效．
3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，，则（ ）
A．10 B．17 C．21 D．35
3．已知与，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
4．已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．在平行六面体中，M为与，的交点，若，则与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
7．已知等比数列满足，且，则数列的公比为（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．数列满足，则的前10项之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．以下命题正确的是（ ）
若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，是直线b上不同的两点，则（ ）
A． B．
C．，使得 D．设与的夹角为，则．
10．已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知是等比数列的前n项和，下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（ ）
A．P可能为中点 B．的最小值为3
C．若，则的方程为 D．的面积最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与直线平行，则_________．
14．已知，若与垂直，则_________．
15．在正方体中，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为_________．
16．已知点，直线，动圆P过点F且与直线相切，其圆心P的轨迹为曲线上的动点Q到y轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
在等差数列中，已知公差，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值．
18．（本题满分12分）
已知圆C的圆心在直线上，且经过点和．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线与圆C交于两点，且，求直线的方程．
19．（本题满分12分）
已知数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题．
①；②是和的等比中项，．
若公差不为0的等差数列的前n项和为，且_______，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（本题满分12分）
如图，是过抛物线焦点F的弦，M是的中点，是抛物线的准线，为垂足，点N坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的面积（O为坐标系原点）．
21．（本题满分12分）
图1是由等边三角形和等腰直角三角形组成的一个平面图形，其中．若，将沿折起，连接，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．（本题满分12分）
设圆的圆心为P，点，点H为圆上动点，线段的垂直平分线与线段交于点E，设点E的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线与曲线C交于点，与圆切于点M，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
高二数学期末考试参考答案
一、单项选择题：
1～4：ABAA 5～8：CDBD
二、多项选择题：
9．BCD 10．AC 11．AC 12．AD
三、填空题：
13． 14． 15． 16．
四、解答题：
17．解（1）又成等比数列……1分
所以．……2分
化简得，解得或，又，所以……4分
可得数列的通项公式；……5分
（2）由（1）得，由，得，由，得
所以……7分
所以．……10分
18．解：（1）设圆心C的坐标为，由题意可得，，……1分
所以，解之得，．……4分
所以圆心坐标为，半径．所以圆C的标准方程为……6分
（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为，此时，符合题意．……7分
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，……8分
因为，所以圆心C到直线的距离，即．……9分
解之得，．所以直线的方程为．……11分
综上所述，直线的方程为和．……12分
19．解：（1）当时，，可得．………1分
当时，，所以，即．
因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以……4分
（2）设数列的公差为d，若选择①，有解得……5分
所以．……6分
若选择②，有，即，即．因为，所以．
所以，解得，所以．……6分
由（1）得，，所以，……7分
所以，
．……8分
两式相减，得
，所以．……12分
20．解：（1）点在准线上，所以准线方程为：，……1分
则，解得所以抛物线的方程为：……4分
（2）设，由在抛物线上
所以，则……6分
又，可知点M纵坐标为是的中点，所以……7分
所以，又知焦点F坐标为，则直线的方程为：……9分
联立抛物线的方程，可得……10分
解法1：直接解得或，所以……11分
解法2：由韦达定理得．……11分
所以．……12分
21．（1）证明：如图，取的中点E，连接，……1分
，……2分
为等边三角形，为等腰直角三角形，
，又，即，……3分
又平面平面，……4分
又平面平面平面．……5分
（2）（解法一）由（1）知平面平面……6分
过点E作交于点H以点E为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，……7分
则有，，……8分
设为平面的一个法向量，
则．即
以，则
易知，为平面的一个法向量，，……11分
由图可知，二面角为锐角，二面角的余弦值为．……12分
（解法二）过D作于F，由（1）知平面……7分
平面，又平面是二面角的平面角，……9分
又……10分
在中，由余弦定理得，……11分
∴二面角的余弦值为．……12分
22．解：（1）由条件可得，半径
又线段的垂直平分线与线段交于点E，所以……1分
则有．……3分
所以点E的轨迹为以为焦点，实轴长为的椭圆其方程为……4分
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，不妨取
由椭圆C的方程可知
解法1：则即
从而在中，……5分
解法2．则……5分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：
因为直线与圆O相切，所以，则
联立和椭圆方程可得……8分
则
解法1：则
……11分
所以从而在中，所以为定值2．
解法2：所以
又因为在椭圆上所以上式
……11分
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