2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4.2等差数列的前项和公式（第一课时）课件(共37张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4.2等差数列的前项和公式（第一课时）课件(共37张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-18 13:32:54 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
（第一课时）
等差数列的前n项和公式
回顾：等差系列公式
1. 等差数列定义：
2. 等差数列通项公式：
(2) an＝am＋(n－m)d .
(3) an＝pn＋q (p、q是常数)
(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
an－an－1 ＝d (n≥2)
或 an+1－an ＝d.
18
3. 几种计算公差d的方法:
4. 等差中项
A=
m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq .
5. 等差数列的性质
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
1+2+3+···+100 = ？
“数学王子”高斯的开挂人生
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面问题：1+2+3+...+100=
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
情境导入
高斯（Gauss ，1777-1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，
近代数学奠基者之一，并享有"数学王子"之称.
他和阿基米德、牛顿、
欧拉并列为世界四大数学家.
以他名字“高斯”命名的成果
达110个，属数学家中之最.
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
问题：你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？
,那么高斯的计算方法可以表示为
可以发现，高斯在计算中利用了
===这一特殊关系.
追问：高斯的方法妙在哪里？
相同数（即101）的求和
简化运算
不同数的
求和问题
追问：1+2+3+...+101=
方法1：原式=（1+2+3+...+100）+101.
方法2：原式=0+1+2+...+99+100+101.
方法3：原式=（1+2+...+50+52+...+100+101)+51.
求偶数项的和
化归思想
求奇数项的和
能否设法避免分类讨论？
某仓库堆放的一堆钢管(如图)，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
解：S100=1+2+3+ … +98+99+100 （1）
S100=100+99+98+ … +3+ 2+1 （2）
2S100=(1+100) ×100，
（1）+（2）得
问题： 求 S100=1+ 2+3+ … +98+99+100
动脑思考 探索新知
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
倒序相加法
那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？
①
②
问题分析
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
①
②
追问：把等差数列的通项公式代入公式（1），可以得到什么？
（2）
追问：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
Sn =a1 +a2 + a3 +…+ an-1 +an
+
这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定．
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为：
等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个量，故知三可求其二．
如何根据公式的结构特征来记忆公式呢？
等腰梯形的面积=平行四边形面积+三角形面积
求和公式
两个公式的共同点是需知 a1和 n，不同点是前者还需知 an，后者还需知 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
已知等差数列的前n项和为Sn，且a1=3，公差d=2，则 S5=( )
A.30 B.35 C.40 D.45
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50; (2)若a1=2，a2=，求S10;
(3)若a1=，d=-， Sn =-5,求n.
解： (1)
(2) --2=
+d
2+
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50; (2)若a1=2，a2=，求S10;
(3)若a1=，d=-， Sn =-5,求n.
解： (3)+d,得
n+
整理,得
-7n-60=0
解得
n=12或n=-5（舍去）
所以
n=12
课本P22 练习 1
1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和Sn.
(1)a1=5, an=95, n=10; (2)a1=100, d=-2, n=50;
(3)a1=-4， a8=-18， n=10; (4)a1=14.5, d=0.7, an=32.
课本P23 练习 2
2.等差数列-1，-3，-5，…的前多少项的和是-100
解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式
可得
所以
例7 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和．
另解：
两式相减得
例7 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和．
课本P23 练习 3
3.在等差数列中，Sn为其前n项的和，若S4=6，S8=20，求S16.
在等差数列中，Sn为的前n项和，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值为( )
A.9 B.12 C.16 D.18
等差数列中，a2+a7+a12=24，则的前13项和 S13=______________.
（2021年四川月考）等差数列的前项和为Sn，若a4，a10是方程x2-8x+1=0的两根，则S13= ( )
A.58 B.54 C.52 D.56
若等差数列的前5项和S5=25且a2=3，则a7等于（ ）
A.12 B.13 C.14 D.15
课本P23 练习 4
4.在等差数列中，若S15=5（a2+a6+ak），求k.
设Sn是等差数列的前n项和，若则
A.1 B. -1 C.2 D.
观察
例：如果等差数列的前4项和是4，前9项和是-6求前n项和的公式 。
解：令
应用知识 强化练习
说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到 5 个量，通常已知其中 3 个，可求另外 2 个．
本小节结束
（第一课时）
等差数列的前n项和公式
回顾：等差系列公式
1. 等差数列定义：
2. 等差数列通项公式：
(2) an＝am＋(n－m)d .
(3) an＝pn＋q (p、q是常数)
(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
an－an－1 ＝d (n≥2)
或 an+1－an ＝d.
18
3. 几种计算公差d的方法:
4. 等差中项
A=
m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq .
5. 等差数列的性质
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
1+2+3+···+100 = ？
“数学王子”高斯的开挂人生
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面问题：1+2+3+...+100=
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
情境导入
高斯（Gauss ，1777-1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，
近代数学奠基者之一，并享有"数学王子"之称.
他和阿基米德、牛顿、
欧拉并列为世界四大数学家.
以他名字“高斯”命名的成果
达110个，属数学家中之最.
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
问题：你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？
,那么高斯的计算方法可以表示为
可以发现，高斯在计算中利用了
===这一特殊关系.
追问：高斯的方法妙在哪里？
相同数（即101）的求和
简化运算
不同数的
求和问题
追问：1+2+3+...+101=
方法1：原式=（1+2+3+...+100）+101.
方法2：原式=0+1+2+...+99+100+101.
方法3：原式=（1+2+...+50+52+...+100+101)+51.
求偶数项的和
化归思想
求奇数项的和
能否设法避免分类讨论？
某仓库堆放的一堆钢管(如图)，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
解：S100=1+2+3+ … +98+99+100 （1）
S100=100+99+98+ … +3+ 2+1 （2）
2S100=(1+100) ×100，
（1）+（2）得
问题： 求 S100=1+ 2+3+ … +98+99+100
动脑思考 探索新知
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
倒序相加法
那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？
①
②
问题分析
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
①
②
追问：把等差数列的通项公式代入公式（1），可以得到什么？
（2）
追问：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
Sn =a1 +a2 + a3 +…+ an-1 +an
+
这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定．
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为：
等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个量，故知三可求其二．
如何根据公式的结构特征来记忆公式呢？
等腰梯形的面积=平行四边形面积+三角形面积
求和公式
两个公式的共同点是需知 a1和 n，不同点是前者还需知 an，后者还需知 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
已知等差数列的前n项和为Sn，且a1=3，公差d=2，则 S5=( )
A.30 B.35 C.40 D.45
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50; (2)若a1=2，a2=，求S10;
(3)若a1=，d=-， Sn =-5,求n.
解： (1)
(2) --2=
+d
2+
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50; (2)若a1=2，a2=，求S10;
(3)若a1=，d=-， Sn =-5,求n.
解： (3)+d,得
n+
整理,得
-7n-60=0
解得
n=12或n=-5（舍去）
所以
n=12
课本P22 练习 1
1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和Sn.
(1)a1=5, an=95, n=10; (2)a1=100, d=-2, n=50;
(3)a1=-4， a8=-18， n=10; (4)a1=14.5, d=0.7, an=32.
课本P23 练习 2
2.等差数列-1，-3，-5，…的前多少项的和是-100
解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式
可得
所以
例7 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和．
另解：
两式相减得
例7 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和．
课本P23 练习 3
3.在等差数列中，Sn为其前n项的和，若S4=6，S8=20，求S16.
在等差数列中，Sn为的前n项和，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值为( )
A.9 B.12 C.16 D.18
等差数列中，a2+a7+a12=24，则的前13项和 S13=______________.
（2021年四川月考）等差数列的前项和为Sn，若a4，a10是方程x2-8x+1=0的两根，则S13= ( )
A.58 B.54 C.52 D.56
若等差数列的前5项和S5=25且a2=3，则a7等于（ ）
A.12 B.13 C.14 D.15
课本P23 练习 4
4.在等差数列中，若S15=5（a2+a6+ak），求k.
设Sn是等差数列的前n项和，若则
A.1 B. -1 C.2 D.
观察
例：如果等差数列的前4项和是4，前9项和是-6求前n项和的公式 。
解：令
应用知识 强化练习
说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到 5 个量，通常已知其中 3 个，可求另外 2 个．
本小节结束