第二单元 方程（组）与不等式（组）
第10课时 一元一次不等式的应用
教学目标
【考试目标】
1.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式解决简单的问题.
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
【教学重点】
学会列不等式解应用题的方法步骤.
教学过程
体系图引入，引发思考
引入真题，深化理解
【例1】某水果商行计划购进A、B两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：
价格类型 进价（元/箱） 售价（元/箱）
A 60 70
B 40 55
若该商行进货款为1万元，则两种水果各购进多少箱？
若商行规定A种水果进货箱数不低于B种水果进货箱数的，应该怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？
解：（1）设A种水果进货箱数为x，则B种水果进货（200-x）箱，
根据题意可得，60x+40(200-x)=10000.解得x=100,200-x=100.∴A种水果进货100箱，B种水果进货也为100箱.
（2）设A种水果进货a箱，B种水果进货（200-a）箱，售完这些水果的利润为b则b=a(70-60)+(200-a)(55-40)=-5a+3000.∵-5＜0，∴b随着a增大而减小，
，解得a≥50，当a=50时b最大，此时b=2750，
即进货A种水果50箱B种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2750元.
【考点】此题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用，根据已知条件设未知数，列出方程式解决此类问题的关键.
【例2】（2017年春吉安期中）某书店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可以享受打折优惠，一名同学为班级买奖品，准备6本影集和若干支钢笔，已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少要买多少支钢笔才能享受打折优惠？
解：设他要买x支钢笔才能享受打折优惠.
根据题意得：6×15+8x200.
解得：x13.
x为正整数，
x14.
答：他至少要买14支钢笔才能享受打折优惠.
【考点】本题考查了一元一次不等式的应用，根据总价=单价×数量结合总价200，列出关于x的一元一次不等式是解题的关键.
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
同学们对本节的内容理解很到位，要多加保持.第二单元 方程（组）与不等式（组）
第8课时 分式方程及其应用
教学目标
【考试目标】
1.能够根据具体问题中的数量关系，列出分式方程.
2.会解可化为一元一次方程的分式方程.
【教学重点】
了解分式方程的概念与解分式方程的基本思想.
了解列分式方程解应用题的步骤.
了解增根，分清增根与无解的关系.
教学过程
知识体系图引入，引发思考
二、引入真题，深化理解
【例1】方程 的解是 （D）
A. B. C.x=-4 D.x=4
【解析】解决该分式方程的关键步骤是去分母，将分式方程转化为一元一次方程
2x+1=3x-3.解该一元一次方程，解得x=4.检验得符合题意，故选D.
【考点】考查了分式方程的解题思路，去分母是关键，最后记得检验.
【例2】王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？
【解析】设原计划每小时检修xm.则根据题意可以列出：
解得x=50.
经检验x=50是原方程的解.
答：原计划每小时检修管道50米.
【考点】此题考查了分式方程的应用，解决此题的关键是找到等量关系列出方程.解分式方程后要检验，检验该解是不是分式方程的解.
【例3】关于x的方程 无解，则m的值为
（A）
A.-5 B.-8 C.-2 D.5
【解析】先去分母得3x-2=2x+2+m，化解得x=4+m.此一元一次方程始终有解，但是当x=-1时，原分式方程无意义，所以x≠-1，把x=-1代入x=4+m，得m=-5，∴当m=-5时，方程无解.
【考点】此题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能是有增根，也可能是去分母后的整式方程无解，而分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根.
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
同学们对本节的内容理解很到位，但是对增根的理解还有待加强.第二单元 方程（组）与不等式（组）
第6课时 一次方程（组）及其应用
教学目标
【考试目标】
1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
2.能用观察、画图等手段估计方程的解.
3.会解一元一次方程、二元一次方程组.
【教学重点】
了解等式的相关概念及性质.
了解一次方程（组）的相关概念.
了解方程的解，学会解一元方程（组）的方法.
学会列方程解应用题.
.
教学过程
知识体系图引入，引发思考
引入真题，归纳考点
【例1】方程2x+3=7的解是 （D）
A．x=5 B．x=4 C．x=3.5 D．x=2
【解析】2x+3=7，移项合并得：2x=4，解得：x=2.故选择D.
【考点】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
【例2】王经理到襄阳出差带回襄阳特产－－孔明菜若干袋，分给朋友们品尝，如果每人分5袋，还余3袋；每人分6袋，还差3袋，则王经理带回来 33袋孔明菜.
【解析】设朋友有x人，则
5x+3=6x-3
解得，x=6. 则5x+3=33
所以王经理带回来33袋孔明菜.
【考点】此题考查了一元一次方程的应用，以及列方程解决应用题.根据题干已知找出等量关系，巧妙地设未知数，是解决本题的关键.
【例3】方程组 的解是
.
【解析】
【考点】此题考查了二元一次方程组的解.二元一次方程组的解法包括：加减消元法与代入消元法.
【例4】小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元.求每只中性笔和每盒笔芯的价格.
【解析】设每支中性笔x元，每盒笔芯y元，根据题意可得
【考点】本题考查了二元一次方程组的应用，会社未知数，列方程，解方程是解决此题的关键.
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
学生对一次方程（组）及其应用的掌握情况很好，希望同学们能保持好现在的状态.第二单元 方程（组）与不等式（组）
第7课时 一元二次方程及其应用
教学目标
【考试目标】
1.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程.
2.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.
3.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，了解一元二次方程根与系数的关系.
【教学重点】
了解一元二次方程的定义.
学会一元二次方程的解法.
熟悉一元二次方程根的判别式与根的关系.
熟悉一元二次方程根与系数的关系.
了解一元二次方程的实际应用.
教学过程
知识体系图引入，引发思考
二、引入真题，深化理解
【例1】把一元二次方程x2-4x+1=0,配成（x+p）2=q,则p、q的值.
【解析】解：x2-4x=-1.
x2-4x+4=-1+4,即（x-2）2=3.
则p=-2,q=3.
【考点】本题考查了一元二次方程的解法，主要考查了配方法的运用.
【例2】已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0.
求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根.
设方程的两根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值.
【解析】原方程写成一般式为：x2-5x+6-p2=0.
（1）证明： =(-5)2-4×1×(6-p2)=25-24+4p2=4p2+1.
∵p2≥0，∴ ≥1＞0.∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实根.
（2）对x12+x22=3x1x2进行变形，左右两边同时加2x1x2得
x12+2x1x2+x22=5x1x2，即(x1+x2)2=5x1x2.
由题可知.
代入得，25=30-5p2.解得p2=1，∴p= ±1.
【考点】此题考查了根的判别式与根之间的关系，以及根与系数的关系、一元二次方程的解法.根与系数的关系、根的判别式与根之间的关系均需要把方程变为一般式.
【例3】一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为3：2，设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩带所占面积为ycm2.
求y与x之间的函数关系式；
若图案中三条彩条所占的面积是图案面积的，求横竖彩条的宽度.
【解析】（1）∵横竖彩条的宽度比为3:2，∴横彩条的宽度为1.5xcm.
一条竖彩条的面积为12xcm2，一条横彩条的面积为30xcm2.
重合部分的面积为2x（1.5x）=3x2
∴y=12x×2+30x-3x2.整理得y= -3x2+54x.
（2）图案面积为20×12=240（cm2）
由题意知y=96. 即-3x2+54x=96.
整理得x2-18x+32=0. (x-2)(x-16)=0.
∴x1=2，x2=16. 由图可知，x≤8，所以x2=16（舍去），∴x=2.
∴横彩条的宽度为2cm.
【考点】本题考查了一元二次方程的应用.同时还涉及了解一元二次方程的方法.
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
同学们对本节的内容理解挺到位，但是碰到题目还是很容易出错，希望大家勤加练习，做到熟练.第二单元 方程（组）与不等式（组）
第9课时 一元一次不等式（组）
教学目标
【考试目标】
1.结合具体问题，了解不等式的意义，掌握不等式得基本性质.
2.会解一元一次不等式组，并会用数轴确定解集.
【教学重点】
了解不等式的定义、不等式的解、不等式的解集以及它们之间的关系.
掌握不等式的基本性质，了解不等式的其他性质.
了解一元一次不等式的定义，学会解一元一次不等式.
了解一元一次不等式组的定义，学会解一元一次不等式组.
教学过程
体系图引入，引发思考
引入真题，深化理解
【例1】下列数值不是不等式5x≥2x+9的解的是 （D）
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】此题考查了解不等式，不等式的解，不等式的解集，以及不等式的解与不等式解集之间的关系.解该不等式得到解集x≥3，因为不等式的所有解的集合为不等式的解集，故2不是不等式的解，所以选择D选项.
【考点】此题主要考查了不等式的解法，以及不等式的解与不等式解集的关系，记住不等式的解集是不等式所有解的集合.
【例2】当0＜x＜1时， 的大小顺序是 （A）
【解析】此类问题很常见，主要考查了不等式的性质，x＞1两边同时乘x，根据不等式的性质，又因为0＜x，所以得到x2＜x.同理，两边同除以x，可以得到
.综上，所以A选项正确.
【考点】本题考查了不等式的基本性质，要熟练掌握不等式的基本性质，了解不等式的其他性质，此题不难解出.
【例3】将不等式3x-2＜1的解集表示在数轴上正确的是（D）
【解析】此题考查了解一元一次不等式，并且将不等式的解集用数轴表示的方法.解不等式得x＜1，所以选择D选项.
【考点】此题考查了解一元一次不等式的方法，并且将解集与数轴合理的结合在一起，可以更直观地求出解集，并且准确率更高.
【例4】已知关于x的不等式>1的解都是不等式>0的解，则a的范围是 （C）
A.a=5 B.a5 C.a5 D.a<5
【解析】解:由>1得，x>.由>0得，x>-.关于x的不等式>1的解都是不等式>0的解，-.解得a5.即a的取值范围是：a5.故选C.
【考点】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出关于a的不等式是解题的关键.
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
同学们对本节的内容理解很到位，但是涉及到不等号方向改变的题目，同学们还是容易弄混.第二章 方程（组）与不等式（组）
第8课时 分式方程及其应用
基础导练
一、选择题
若关于x的分式方程 有增根，则增根为 ( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝3 D．x＝－3
2.小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱的速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是 ( )
二、填空题
1.分式方程的解为 ________．
若x＝1是分式方程 的根，则实数k＝________．
3.若关于x的方程 无解，则a的值是________．
三、解答题
1.解方程：
(1) ；
(2)
2.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？
参考答案.
选择题
1. A 2. B
填空题
x=1 2. 3.a=1或a=2.
解答题
1.解：(1)方程两边同乘(x2－1)，得x＋1－3＝0，
∴x＝2，经检验，x＝2是原方程的根．
(2)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，
得x(x＋1)－(2x－1)＝(x＋1)(x－1)，
解得x＝2.
经检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0，
∴原分式方程的解为x＝2.
2.解：(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意，得 解得x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
(2)3x＝3×120＝360，
设每件衬衫的标价为y元，依题意，得
(360－50)y＋50×0.8y≥(13200＋28800)×(1＋25%)，解得y≥150.
答：每件衬衫的标价至少是150元．第二章 方程（组）与不等式（组）
第6课时 一次方程（组）及其应用
基础导练
选择题
已知方程x-2y+3=8，则整式x-2y的值为（）
A.5 B.10 C.12 D.15
若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（）
-1 B-3.5 C.-5 D.0.5
已知方程组 则x+y的值为（）
A.9 B.7 C.5 D.3
填空题
为了改善教学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑100台，已知笔记本电脑比台式电脑的台数的四分之一还少5台，则购置的笔记本电脑有 台.
已知 是方程组 的解，则代数式(a+b)(a-b)的值为 .
解答题
小陈妈妈做儿童时装生意，在“六一”这一天的上午销售中，某规格童装一每件60元的价格卖出，盈利20%.求这种规格的童装每件的进价.
某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满.女生730人，使用大寝室50间和小寝室55间，也正好住满.求该校的大小寝室每间各住多少人？
参考答案.
选择题
A 2.C 3.C
填空题
1. 16 2.-8
解答题
解：设这种规格的童装每件进价为x元，
则，x(1+20%)=60
解得x=50.
答：这种规格的童装每件的进价为50元.
设大寝室每间能住x人，小寝室每间能住y人.根据题意可列方程组
，解方程组得
答：大寝室每间可住8人，小寝室每间可住6人.第二章 方程（组）与不等式（组）
第7课时 一元二次方程及其应用
基础导练
选择题
1．一元二次方程x2－2x＝0的根是 ( )
A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
2.一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为 ( )
A．(x＋4)2＝17 B．(x＋4)2＝15
C．(x－4)2＝17 D．(x－4)2＝15
已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是
( )
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
填空题
1.若关于x的一元二次方程x2＋6x＋k＝0的两个根分别是x1，x2，且 则k的值为________．
2.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程：__________．
3.某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．
解答题
解方程：x2－3x＋2＝0；
2.已知关于x的一元二次方程 (a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
参考答案.
选择题
D 2.C 3.B
填空题
1. -2 2.(x+3=0)（或x-1=0） 3. 20%
解答题
解：原方程可变形为(x-2)(x-1)=0.
所以解得x1=1，x2=2.
解：（1）当x=-1时，代入方程得a+c-2b+a-c=0.整理得2a-2b=0.∴△ABC为等腰三角形.
（2）如果方程有两个相等的实数根，则 =(2b)2-4(a+c)(a-c)=4b2-4a2+4c2=0
即c2-b2-a2=0.∴△ABC为直角三角形.
（3）如果三角形为等边三角形，则a=b=c.原方程可写成2ax2+2ax=0.
即x(x+1)=0，∴x1=0，x2=-1.第二章 方程（组）与不等式（组）
第9课时 一元一次不等式（组）
基础导练
一、选择题
1.若a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是 ( )
A．a＋x＞b＋x B．－a＋1＜－b＋1
C．3a＜3b D.
2． 一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是 ( )
A.－2＜x＜1 B.－2＜x≤1
C.－2≤x＜1 D.－2≤x≤1
3．一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
二、填空题
1.若关于x的不等式组 的解集为1＜x＜3，则a的值为________．
2．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是a△b＝2a－b.若不等式x△k≥1的解集在数轴上的表示如图，则k的值是________．
三、解答题
1．解不等式：
2．解不等式组： 并把它的解集在数轴上
表示出来．
参考答案.
选择题
1. C 2. C 3. A
填空题
1. 4 2. -3
解答题
1.解：去分母，得2x>6－x＋3，
移项，得2x＋x>6＋3，
合并，得3x>9，
系数化为1，得x>3.
2.解：
由①，得x≤2，
由②，得x>－1，
故此不等式组的解集为－1解集在数轴上表示如图所示．第二章 方程（组）与不等式（组）
第10课时 一元一次不等式的应用
基础导练
一、选择题
1.某经销商销售一批电话手边，第一个月以550元/块的价格销售处60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部出售，销售总额超过了5.5万元，这批电话至少有 （ ）
A.103块 B.104块 C.105块 D.106块
为了举办班级晚会，小明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元.如果购买金额不超过200元，购买球拍数为x个，那么x的最大值是 （ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
填空题
铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为________cm.
某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对 道.
解答题
1.小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
(1)两种型号的地砖各采购了多少块？
(2)如果厨房也铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
2.甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x>100.
(1) 根据题意，填写下表(单位：元)：
累计购物 实际花费 130 290 … x
在甲商场 127 …
在乙商场 126 …
(2) 当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
(3) 当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
参考答案.
选择题
C 2.B
填空题
1. 78 2. 13
解答题
1.解：(1)方法一：设彩色地砖采购了x块，则单色地砖采购了(100－x)块．
根据题意，得80x＋40(100－x)＝5600.
解得 x＝40.
100－x＝60.
答：彩色地砖采购了40块，单色地砖采购了60块．
方法二：设彩色地砖采购了x块，单色地砖采购了y 块．根据题意，得
答：彩色地砖采购了40块，单色地砖采购了60块．
(2)设彩色地砖采购了z块，则单色地砖采购了(60－z)块，根据题意，得80z＋40(60－z)≤3200，解得 z≤20.
答：彩色地砖最多能采购20块．
2.解：(1)在甲商场：271，0.9x＋10；
在乙商场：278，0.95x＋2.5.
(2)根据题意，得0.9x＋10＝0.95x＋2.5，
解得x＝150.
∴当x＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同．
(3) 由0.9x＋10<0.95x＋2.5，解得x>150；
由0.9x＋10>0.95x＋2.5，解得x<150.
∴当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少；
当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场的实际花费少．
