第七单元 圆
第30课时 与圆有关的计算
教学目标
【考试目标】
1.弧长及扇形面积的计算.
2.正多边形的概念.
3.正多边形与圆的关系.
【教学重点】
掌握正多边形与圆之间的关系.
学会弧长公式与扇形面积的计算.
掌握圆锥侧面积与全面积的计算.
教学过程
体系图引入，引发思考
引入真题、归纳考点
【例1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O
的内接正三角形EFG的边长为 .
【解析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC是直径，AC=4 ，
∴OE=OF=2 ，∵OM⊥EF， ∴EM=MF，
∵△EFG是等边三角形， ∴∠GEF=60°， 在RT△OME中，
∵OE=2 ，∠OEM=0.5∠CEF=30°，
∴OM= ，EM= ，
∴EF= .
故答案为 .
【例2】（2017年滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（A）
A. B.2 C. D.1
【解析】解：如图所示，连接OA、OE.
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE.
∴△AOE是等腰直角三角形.
∴OE=OA=.故选A.
【例3】如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为 （C）
A.30π cm2 B.48π cm2
C.60π cm2 D.80π cm2
【解析】圆锥的母线长为： =10(cm)，圆锥的底面圆周长为
2×π×r=12π(cm).圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形面积公式可
得S=0.5×12π×10=60π(cm2).
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
学生对圆的有关计算的掌握情况很好，望多加复习巩固，做到熟练会用.第七单元 圆
第29课时 与圆有关的位置关系
教学目标
【考试目标】
1.了解点与圆、直线与圆的位置关系.
2.掌握切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，了解切线长定理.
【教学重点】
掌握点与圆的位置关系.
掌握直线与圆的位置关系.
了解切线的概念与性质，掌握切线长定理.
教学过程
体系图引入，引发思考
引入真题、归纳考点
【例1】如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为 （B）
A.2C.【解析】解：给各点标上字母，如图所示.
AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==,AG=AM=AN==5.
∴【例2】如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一
动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP
交 于点F，交过点C的切线于点D.
（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是 的中点时，判断以A，O，C，F为
顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由.
【解析】(1) 如图1，连接OC,
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD
∴∠OCD=90 ，
∴∠DCA= 90 －∠OCA .
又PE⊥AB ，点D在EP的延长线上，
∴∠DEA=90 ，
∴∠DPC=∠APE=90 －∠OAC.
∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC.
∴∠DCA=∠DPC，∴DC=DP.
（2）如图2，四边形AOCF是菱形.
连接CF、AF， ∵F是 的中点，∴ = ，
∴ AF=FC .
∵∠BAC=30 ，∴ =60°，
又AB是⊙O的直径， ∴ =120°，∴ = =60°，
∴∠ACF=∠FAC =30 .
∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC=30 ，
∴△OAC≌△FAC (ASA) , ∴AF=OA ，
∴AF=FC=OC=OA , ∴四边形AOCF是菱形.
【例3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF.
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC= DE，求tan∠ABD的值.
【解析】（1）∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°， ∴∠EDC=90°；
（2）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC， ∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线.
（3）如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°， ∴△CDE∽△ADC，
∴DC2 =AD DE ，∵AC= DE，∴设DE=x，则AC= x，
则AC2﹣AD2 =AD DE，即 ，
解得AD=4x或AD=-5x（舍去）.
故tan∠ABD=tan∠ACD=
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
学生对点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系及圆的切线的相关知识掌握情况很好，望多加复习巩固，做到熟练会用.第七单元 圆
第28课时 圆的有关性质
教学目标
【考试目标】
1.理解圆、弧、圆心角、圆周角的概念，了解等弧、等圆的概念.
2.掌握垂径定理.
3.了解圆周角定理及其推论：圆周角与圆心角及其所对弧的关系、直径所对圆周角的特征,圆内接四边形的对角互补.
【教学重点】
掌握圆的有关概念.
掌握垂径定理及其推论.
掌握圆心角定理及圆周角定理.
掌握圆的内接四边形的相关知识.
教学过程
体系图引入，引发思考
引入真题、归纳考点
【例1】如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直
径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= 35 度.
【解析】∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠B，∠C=∠OAC.
∵∠AOB=40°，
∴∠B=∠OAB=70°.
∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠C，
∴∠OAC=∠BAC=0.5∠OAB=35°.
【例2】（2017年泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB=8，AE=1，则弦CD的长是多少？
【解析】解：连接OC
由题意，得OE=OB-AE=4-1=3，CE=ED==,CD=2CE=2.
【例3】如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，
图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，
B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，
则该脸盆的半径为 cm.
【解析】如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，
设⊙O半径为R， ∵OC⊥AB，∴AD=DB=0.5AB=20，
∠ADO=90°，在Rt△AOD中，
∵OA2 =OD2 +AD2 ， ∴R2=202+(R﹣10)2， ∴R=25．
故答案为25．
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
学生对圆的有关性质的掌握情况很好，望多加复习巩固，做到熟练会用.第七章 圆
第30课时 与圆有关的计算
基础导练
选择题
1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A.40° B.30° C.45° D.50°
2.下列说法：
①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等.
其中不正确的有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A.80° B.100° C.60° D.40°
二、填空题
1.如图，⊙O是ABC的外接圆，OCB=40°，则A的度数等于________°．
2.如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD:DB＝3:1，则折痕EF的长________ ．
3.如图，若∠1=∠2，那么与 ________相等．（填一定、一定不、不一定）
三、解答题
1.已知：△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.
2.【阅读材料】已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC r+AC r+AB r=ar+br+cr=（a+b+c）r．
∴r= ．
（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值．
参考答案
一、选择题
1. A 2. D 3. A
二、填空题
1. 50° 12. 13.一定
三、解答题
1. 解：（1）连接OE
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠C=60°.
∵OB="OE,"
∴∠OEB=∠C =60°,
∴OE∥AC.
∵EF⊥AC,
∴∠EFC=90°.
∴∠OEF=∠EFC=90°.
∴OE⊥EF,
∵⊙O与BC边相交于点E,
∴E点在圆上.
∴EF是⊙O的切线；
(2)连接DF,DE.
∵DF是⊙O的切线,
∴∠ADF=∠BDF=90°
设⊙O的半径为r,则BD=2r,
∵AB=4,
∴AD=4-2r,
∵BD=2r,∠B=60°,
∴DE=r,
∵∠BDE=30°,∠BDF="90°."
∴∠EDF=60°,
∵DF、EF分别是⊙O的切线,
∴DF=EF=DE=r,
在Rt△ADF中,
∵∠A=60°,
∴tan∠DFA=
解得.
∴⊙O的半径是
（2）连接DF,DE.构造直角三角形，解直角三角形即可。
2.解：（1）如图2，连接OA、OB、OC、OD．
∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=arbrcrdr=（a+b+c+d）r，
∴r=；
（2）如图3连接OE、OF，则四边形OECF是正方形，
OE=EC=CF=FO=r，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ，
（3+r）2+（2+r）2=52 ，
r2+5r﹣6=0，
解得：r=1．第七章 圆
第29课时 与圆有关的位置关系
基础导练
选择题
1．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )
A．25° B．40° C．50° D．65°
2．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
3．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D．若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是( )
A．4 B．2 C．8 D．4
填空题
1.如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E，若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是▁.
2.足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在▁.
3.如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角)，与边AB所在直线相交于另一点F，且EG∶EF＝∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 ．
解答题
1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
求证：直线BF是⊙O的切线．
(2)若CD＝2，OP＝1，求线段BF的长．
2.．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE.
(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；
(2)求证：ED是⊙O的切线．
参考答案
选择题
B 2.B 3.C
填空题
2.线段DE(异于端点)上一点 3.12或4
解答题
1.(1)证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠AFB＝∠ADC．
∴CD∥BF，∴∠APD＝∠ABF.
∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线．
(2)解：连结OD，∵CD⊥AB，
∴PD＝CD＝，
∵OP＝1，∴OD＝2.
∵∠PAD＝∠BAF，∠APD＝∠ABF＝90°，
∴△APD∽△ABF，
∴＝，
∴＝，∴BF＝.
2.(1)解：如图，连结CD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB．∵AD＝DB，
∴AC＝BC＝2OC＝10.
(2)证明：连结OD，∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，∴DE＝EC＝AC，
∴∠1＝∠2.∵OD＝OC，
∴∠3＝∠4.
∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．第七章 圆
第28课时 圆的有关性质
基础导练
一、选择题
1.下列说法中，正确的是( )
A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等
2.如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )
A.3∶2 B.∶2 C.∶ D.5∶4
3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )
A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0
答案：C
填空题
1.如图,☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一直线上,图中弦的条数为 .
2.如图,圆中以A为一个端点的优弧有 条,劣弧有 条.
答案.
3．如图，已知AB,CD是⊙O的直径，CE是弦，且AB∥CE,∠C=，则的度数为▁.
答案：
三、解答题
．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半径OA、OB的中点且OA⊥CE、OB⊥DE，求证==
证明：如图，连接OE、OF， ∵D是半径、OB的中点OB⊥DF，∴OD=OF,∴∠OFD=,即∠FOD=，同理∠EOA=,∴∠FOD=∠EOA=∠EOF,∴==
．如图，在⊙中，，，ＯＣ分别交ＡＣ，ＢＤ于Ｅ、Ｆ，求证
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3. D
二、填空题
1.10 2.3 3 3．
三、解答题
1．证明：如图，连接OE、OF，
∵D是半径、OB的中点OB⊥DF，
∴OD=OF,∴∠OFD=,即∠FOD=，
同理∠EOA=,
∴∠FOD=∠EOA=∠EOF,
∴==.
2．证明：如图，∵，∴,
∴,∵B,C是，
∴,
∴,∴.
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