2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册2.1函数概念提升训练（Word含答案）

函数概念
基础过关练
题组一　依赖关系与函数关系的辨析
1.下列各变量间不存在依赖关系的是 (　　)
A.扇形的圆心角与它的面积
B.某人的体重与其饮食情况
C.水稻的亩产量与施肥量
D.某人的衣着价格与视力
2.下列变量间为函数关系的是 (　　)
A.匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程
B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C.一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系
D.生活质量与人的身体状况间的关系
3.已知变量x,y满足y=|x|,则下列说法错误的是 (　　)
A.x,y之间有依赖关系 B.x,y之间有函数关系
C.y是x的函数 D.x是y的函数
题组二　函数的概念及其应用
4.(2019河北张家口高一上第一次段考)下列各图中,可表示函数y=f(x)的图像的是 (　　)
5.已知函数f(x)的定义域为[-3,4],在同一平面直角坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=3的交点个数是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.不确定
6.(2021吉林榆树一中高一上期中)下列各式子中,y不是x的函数的是 (　　)
A.x=y2+1 B.y=2x2+1
C.x-2y=6 D.x=
7.(2020河北衡水冀州中学高一上第二次月考)下列各组函数中,f(x)与g(x)相等的是 (　　)
A.f(x)=2-x,g(x)=2-|x|
B.f(x)=x2,g(x)=()3
C.f(x)=+2,g(x)=2+x
D.f(x)=,g(x)=-1
题组三　函数的定义域与区间表示
8.周长为定值a的矩形,它的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是 (　　)
A.(a,+∞) B. C. D.
9.若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.
C. D.
10.用区间表示下列集合:
(1){x|x≥1}=　　　　;
(2)=　　　　;
(3){x|x=1或2≤x≤8}=　　　　.
11.(2019福建莆田一中高一上月考)(2a,3a-1]为一确定的区间,则a的取值范围是　　　　.
题组四　函数值及函数值域
12.(2019河北武邑中学高一上第一次段考)若函数f(x)与g(x)分别由下表给出,则f(g(2))= (　　)
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
　　
x 1 2 3 4
g(x) 2 1 4 3
A.1 B.2 C.3 D.4
13.下列函数中,值域为(0,+∞)的是 (　　)
A.y= B.y= C.y= D.y=x2+1
14.试求下列函数的定义域与值域.
(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)f(x)=x2-2x+2;
(3)f(x)=;
(4)y=x-.
能力提升练
一、选择题
1.(2019河南南阳一中高一上第一次月考,)下列各组函数为同一函数的是 (　　)
①f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1;
②f(x)=与g(x)=x;
③f(x)=x与g(x)=.
A.①② B.① C.② D.③
2.(2020河北石家庄正中实验中学高一上月考,)函数f(x)=+的定义域为 (　　)
A.[-2,+∞) B.{x|x≠3,且x≠-2}
C.(-2,3)∪(3,+∞) D.[-2,3)∪(3,+∞)
3.()当x∈[0,5]时,函数f(x)=3x2-4x+c的值域为 (　　)
A.[f(0),f(5)] B.
C. D.
4.(2021重庆江津中学高二上月考,)函数y=f(x+1)的定义域为[-1,2],则函数y=f(1-x)的定义域为 (　　)
A.[0,3] B.[0,2]
C.[-1,1] D.[-2,1]
5.(2019湖北宜昌一中高一上第一次段考,)已知f(x)的定义域为[-2,2],且函数g(x)=,则g(x)的定义域为 (　　)
A. B.(-1,+∞)
C.∪(0,3) D.
6.()若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a+1)x+2的定义域和值域都是R,则a的值为 (　　)
A.3或-1 B.3
C.-1 D.不确定
7.(2019广东汕头金山中学高一上第一次段考,)函数y=2x+的值域是 (　　)
A.(-∞,2] B.
C. D.[2,+∞)
8.(2021河南三门峡外国语高级中学高一下月考,)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy,f(1)=1,则f(-2)= (　　)
A.-2 B.2
C.6 D.10
二、填空题
9.()函数y=+(x-3)0的定义域为　　　　　　.
10.(2019湖南长郡中学高一上第一次检测,)函数y=2-的值域是　　　　.
11.()已知函数f=x,则f(2)=　　　　.
三、解答题
12.(2021安徽蚌埠高一上联考,)如图,把长为1的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的解析式,并写出它的定义域.
13.()已知函数f(x)对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)求证:f+f(x)=0(x≠0);
(3)若f(2)=m,f(3)=n(m,n均为常数),求f(36)的值.
14.()函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
答案全解全析
第二章　函　数
§1　生活中的变量关系
§2　对函数的进一步认识
第2.1　函数概念
基础过关练
1.D 2.C 3.D 4.D 5.B
6.A 7.D 8.D 9.C 12.B
13.B
1.D　由依赖关系的定义知,衣着价格与视力之间不存在依赖关系,故选D.
2.C　A是常量,B、D是依赖关系,C是确定的函数关系.
3.D　当y取一个正值时,有两个x与它对应,故D中的说法错误.
4.D　由函数的定义可知,对定义域内的任何一个变量x,都存在唯一确定的函数值y与之对应.A中,当x=0时,有两个y与之对应;B中,当x>0时,每一个x的值有两个y与之对应;C中,当x=0时,有两个y与之对应;D中,对任意x都只有唯一确定的y与之对应,只有D满足.故选D.
5.B　∵3∈[-3,4],且由函数的定义知f(3)是唯一确定的,∴函数f(x)的图像与直线x=3只有一个交点(3,f(3)).
6.A　根据函数的定义知,任意一个x值,都有唯一的y值与之对应,对于A,x=y2+1,一个x值,有两个y值与之对应,不符合函数的定义,B,C,D符合函数的定义.故选A.
易错警示
由函数的定义可知,对于每个自变量的取值,有且仅有一个函数值与之对应,即函数可以是“一对一”“多对一”,但不能是“一对多”.
7.D　对于A,f(x)=2-x,g(x)=2-|x|,两个函数的解析式不一样,不是相等函数;
对于B,f(x)=x2,g(x)=()3=x,两个函数的解析式不一样,不是相等函数;
对于C,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,两个函数的定义域不一样,不是相等函数;
对于D,f(x)==-1,g(x)=-1,两个函数的定义域都是{x|x≠0},解析式也相同,是相等函数.故选D.
8.D　依题意知,矩形中边长为x的邻边长为=-x,由得09.C　当m=0时,分母为4x+3,此时定义域为,故m=0不符合题意;当m≠0时,由题意,得
解得m>.
综上可知,实数m的取值范围是.
10.答案　(1)[1,+∞)　(2)(-∞,-1)∪[2,+∞)　(3){1}∪[2,8]
解析　(1)根据集合与区间的改写,可得{x|x≥1}=[1,+∞).
(2)={x|x<-1或x≥2}=(-∞,-1)∪[2,+∞).
(3){x|x=1或2≤x≤8}={1}∪[2,8].
11.答案　(1,+∞)
解析　由(2a,3a-1]为一确定的区间知2a<3a-1,解得a>1,因此a的取值范围是(1,+∞).
12.B　由题知g(2)=1,因此f(g(2))=f(1)=2,故选B.
13.B　由x≥0得,y=≥0,∴y=的值域为[0,+∞),A不符合题意;设=t,由x>0得,t>0,由y=(t>0)的图像知其值域为(0,+∞),B符合题意;由y=的图像知y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),C不符合题意;y=x2+1的值域为[1,+∞),D不符合题意.故选B.
14.解析　(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},则f(-1)=(-1-1)2+1=5,同理可得f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.
(2)函数的定义域为R,因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞).
(3)函数的定义域为{x|x≠1},因为f(x)===5+,所以函数的值域为(-∞,5)∪(5,+∞).
(4)要使函数有意义,需满足x+1≥0,
即x≥-1,故函数的定义域是{x|x≥-1}.
设t=,则x=t2-1(t≥0),
于是y=t2-1-t=-,
又t≥0,所以y≥-,
所以函数的值域为.
能力提升练
1.B 2.C 3.C 4.D 5.A
6.B 7.B 8.D
一、选择题
1.B　由函数的定义知:若两函数相等,则两函数的定义域、对应关系均相同.在①中,显然f(x)与g(s)的定义域、对应关系均相同,故①符合题意;在②中,由f(-1)=1,而g(-1)=-1得对应关系不同,故②不符合题意;在③中,f(x)=x,g(x)==|x|,对应关系不同,故③不符合题意.故选B.
2.C　由题意可得解得-23,故选C.
3.C　由f(x)=3x2-4x+c=3+c-得,f(x)图像的对称轴为直线x=,作出函数f(x)的大致图像如图所示,
由函数的图像得,当x∈[0,5]时,函数f(x)=3x2-4x+c的最小值为f,最大值为f(5),所以函数f(x)的值域为f,f(5).
4.D　因为y=f(x+1)的定义域为[-1,2],所以在y=f(x+1)中,-1≤x≤2,所以0≤x+1≤3,
所以在y=f(1-x)中,0≤1-x≤3,
所以-2≤x≤1,所以y=f(1-x)的定义域为[-2,1].
故选D.
5.A　要使函数g(x)=有意义,需满足即
∴-因此,函数g(x)的定义域为,故选A.
6.B　当a2-2a-3≠0时,f(x)是二次函数,当定义域是R时,其值域不是R,不符合题意;当a2-2a-3=0时,解得a=-1或a=3,若a=-1,则f(x)=2,是常数函数,值域为{2},不符合题意;若a=3,则f(x)=4x+2,其图像是一条直线,值域为R,符合题意.故选B.
7.B　令=t,则x=1-t2,且t≥0,
∴y=2-2t2+t=-2+(t≥0).
作出函数y=-2t2+t+2的图像,由图像知,y=2x+的值域为,故选B.
8.D　因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy,所以令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,令x=1,y=-1,则f(0)=f(1)+f(-1)-4,即f(-1)=3,f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)+4=10,故选D.
二、填空题
9.答案　[2,3)∪(3,+∞)
解析　要使函数有意义,则需满足解得x≥2,且x≠3,
所以函数的定义域为[2,3)∪(3,+∞).
10.答案　[0,2]
解析　∵-x2+4x=-(x-2)2+4≤4,又-x2+4x≥0,∴0≤-x2+4x≤4,∴0≤≤2,∴-2≤-≤0,∴0≤2-≤2,故函数y=2-的值域是[0,2].
11.答案　-
解析　令=2,解得x=-,所以f(2)=-.
三、解答题
12.信息提取　①把长为1的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架;②半圆的半径为x.
数学建模　本题以生活中制作框架为背景,构建函数模型来解决实际问题.分别计算矩形和半圆的面积,相加即是框架围成的面积y与x的解析式,再根据实际意义,写出它的定义域.
解析　由题意,得AB=2x,的长为πx,
利用圆的周长公式求得　 的长.
所以AD=,
所以y=2x·+,
框架的面积=矩形的面积+半圆的面积.
即y=-x2+x,
由得0由直径大于0,AD的长大于0列不等式组
求解.
所以函数的定义域为0,.
故此框架围成的面积y与x的解析式为y=-x2+x.
易错警示
对于实际问题中的函数,其定义域需使实际问题有意义,如边长为正数,售价为正数,等等.
13.解析　(1)令a=b=0,则f(0×0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.令a=b=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.
(2)证明:∵f(1)=f=f(x)+f(x≠0),
又f(1)=0,∴f(x)+f=0(x≠0).
(3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2m,f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=2f(3)=2n,∴f(36)=f(4×9)=f(4)+f(9)=2m+2n.
14.解析　(1)当1-a2=0时,a=±1.
当a=1时,f(x)=,定义域为R,不符合题意;当a=-1时,f(x)=,定义域为[-1,+∞),不符合题意;
当1-a2≠0时,由函数f(x)的定义域为[-2,1]知,y=(1-a2)x2+3(1-a)x+6的大致图像如图所示,
因此,
解得a=2,故实数a的值为2.
(2)由(1)知当a=1时,f(x)=,定义域为R,符合题意;当1-a2≠0时,由f(x)的定义域为R,可得y=(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0恒成立,即函数y=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数,其图像开口向上,且与x轴最多有一个交点,所以只需满足1-a2>0且Δ=9(1-a)2-4(1-a2)·6≤0即可.由1-a2>0可得-110