2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册2.4.1平面向量基本定理课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
§ 2.4.1平面向量基本定理（二）
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.理解平面向量基本定理及其意义．
2．体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题.
数学素养
通过平面向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理与数学运算素养.
环节一
情境引入
情境引入
情境引入
如图，在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2，在实际应用中，常常需要把一个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和.
思考
任意两个向量做加法、减法或数乘运算的结果都是一个向量.反过来，对于平面内给定的两个不共线向量e1，e2，任一向量a是否都可以用形如λ1e1+λ2e2 的形式表示呢
分析
如图，给定两个不共线的向量e1， e 2，以及任意一个向量a
在平面内任取一点O，作
O
A
B
C
过点C作平行于OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于OA的直线，与直线OB交于点N.
N
M
分析
O
A
B
C
由共线(平行)向量基本定理可知，存在唯一的实数，，使得 又因为 所以 也就是说，任一向量a都可以表示成 的形式.这种形式又称作向量的线性表示。.
N
M
分析
如图，是两个不共线的向量，容易看出 可以发现，平面内任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线的向量线性表示.
环节二
平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任重一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使
我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为
基
若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基.在标准正交基下进行向量分解，许多有关度量的问题就变得较为简单.
我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为
基
1.0能不能作为基中的一个基向量？
由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基向量
2．平面向量的基唯一吗？
不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基．
环节三
对基的理解
对基的理解
【例1】　下列关于基的说法正确的是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基；
②基中的向量可以是零向量；③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①　　　　B．②　　　　C．①③　　　　D．②③
对基的理解
设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2　　B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
练习
B　∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基．
对基的理解
解后心得
环节四
用基表示平面向量
用基表示平面向量
【例2】　如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基表示，.
用基表示平面向量
用基表示平面向量
例3.如图，已知点M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，上的点，且 设 择基{a，b}，试写出向量、. 在此基下的分解式.
解：根据题意，得
所以 同理
环节五
平面向量基本定理应用
平面向量基本定理应用
【例4】　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
平面向量基本定理应用
平面向量基本定理应用
解后心得
环节六
学以致用
1.如图，已知向量e1与e2.不共线，求作向量
3.已知基{a.b}，实数x，y满足：
3 xa+(10-y)b=(4y+4)a+2xb，求x，y的值.
4.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，设=a，=b.选择基{a，b}试写出下列向量在此基于的分解式：、、、.