3.1.3 空间向量的数量积运算(共21张PPT)

(共21张PPT)
3.1.3空间向量的数量积运算
平面向量数量积的相关知识
复面向量的夹角：
A
O
B
A
B
叫做向量 a与 b的夹角。
已知两个非零向量 a 和 b，
在平面上取一点O，
作OA= a,OB= b,则
平面向量的数量积的定义：
平面向量的数量积
已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos
叫做向量a, b的数量积，记作
即
并规定 0
你能类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律
概念
1） 两个向量的夹角的定义
O
A
B
2）两个向量的数量积
注意：
　①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
　②零向量与任意向量的数量积等于零。
3)空间向量的数量积性质
注意：
　①性质2）是证明两向量垂直的依据；
　②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
对于非零向量　　 ，有：
4)空间向量的数量积满足的运算律
注意：
数量积不满足结合律
思考
1.下列命题成立吗
①若 ,则
②若 ,则
③
应用
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决.
(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.
(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到.
典型例题
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！
证明：
如图,已知:
求证：
在直线l上取向量 ,只要证
为
逆命题成立吗
分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.
变式
设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足
则△BCD是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不确定
C
分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.
例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ .
m
n
g
取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件 要证的目标可以转化为向量的什么目标 怎样建立向量的条件与向量的目标的联系
共面向量定理
m
n
g
解:
在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在
上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使
例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ .
例3 如图，已知线段　　在平面　 内，线段　　　　
，线段　　　　 ，线段　　　　，　　　　　 ，如
果　　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离。
解：由　　　，可知　　　　.
由　　　　 知　　　　　　 .
课堂练习
A
B
A1
C1
B1
C
1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( )
A. B. C. D.
2.已知在平行六面体　　　　　　　中，　　　,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,
求对角线　　的长。
B
小 结：
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：
1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;
3、求两直线所成角.
作业
P98 A组 3 4 5
B组 1 2