(共25张PPT)
3.9弧长及扇形的面积
北师大版 九年级下册
复习旧知
1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
2.什么叫圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角
C=2πR S=π
情境导入
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
20πcm
A
cm
新知讲解
（3）转动轮转n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米
A
归纳总结
O
1°的圆心角所对的弧长是_______,即______．
2πR
360
πR
180
弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l=
nπR
180
n°
新知讲解
注意：(1)用弧长公式l= 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
(2)区分弧、弧的度数、弧长三个概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
典例精析
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料。试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长度（精确到0.1mm）.
典例精析
解：R=40 mm， n=110，
∴的长==
≈76.8（mm）.
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
练一练
如图，在同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆于C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（ ）
O
A
B
C
D
A.1∶1 B.1∶2
C.2∶1 D.1∶4
B
探究新知
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的另一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
n°
（2）如果这只狗只能绕柱子转过 n°角，那么它的最大活动区域有多大？
解：（1）这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9πm2 .
（2）狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的是圆面积，
1°的圆心角对应圆面积的，即×9π＝40π m2，
n°的圆心角对应的圆面积为n×40π＝40nπ m2.
探究新知
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
n°
R
R
l
扇形的周长是_______.
扇形的面积是____________.
在（2）问里狗活动的区域是一个什么图形呢？
2R+l
思考
S=πR2
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°
的扇形的面积的多少倍？
n倍
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少
（1）半径为R的圆,面积是多少？
归纳总结
O
B
A
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
想一想
扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
思考
（1）当已知弧长 l 和半径 R， 求扇形面积时，应选用
（2）当已知半径和圆心角的度数，求扇形面积时，应选用
典例精析
的长也可表示为.
例2 扇形 AOB 的半径为12cm，∠AOB = 120°，求的长（结果精确到0.1cm）和扇形 AOB 的面积（结果精确到0.1cm2）.
解：的长=
因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7c
练一练
已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是 （ ），扇形面积为（ ），阴影部分的面积为 .
A. 3π B.4π C.5π D.12π
B
D
方法点拨
左图： S弓形=S扇形-S三角形
右图：S弓形=S扇形+S三角形
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
弓形面积公式
课堂练习
1.若扇形的圆心角为90°,半径为6,则该扇形的弧长为( )
A.π B.2π C.3π D.6π
2.已知一个扇形的半径为6,弧长为2π,则这个扇形的圆心角为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
C
B
课堂练习
3.如图,AC是☉O的直径,B,D是☉O上的点,若☉O的半径为3,∠ADB=30°,则的长为 .
2π
180°
4.若一个扇形的半径为2 cm,面积为2π cm2,则此扇形的圆心角为 .
课堂练习
5.如图,扇形的圆心角为90°,半径OC=2,∠AOC=30°,
CD⊥OB于点D,求阴影部分的面积.
解:∵∠AOB=90°,∠AOC=30°,
∴∠BOC=60°.
∵CD⊥OB,
∴∠CDO=90°,
∴OD=OC=1,CD=OD=,
∴阴影部分的面积=S扇形BOC -S△COD=×1×π-.
作业布置
1.课本P102 习题3.11 1,2,3,4
课堂小结
1.弧长公式：
2.扇形面积公式：
注意：
或
求图形的面积：
割补法、组合法
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3.9弧长与扇形的面积教学设计
课题 确定圆的条件 单元 3 学科 数学 年级 九
学习 目标 理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程； 掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算
重点 弧长及扇形面积计算公式.
难点 应用公式解决问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？ 2.什么叫圆心角？ 教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结． 通过复习圆的相关知识，为学习新知识打下基础。
讲授新课 探究1：探索弧长的计算公式 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm. (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍． 解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20π cm； (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送＝ cm； (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×＝ cm， 根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗 归纳总结: 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝. 例1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即AB的长(结果精确到0.1 mm)． 分析：要求管道的展直长度，即求AB的长，根据弧长公式l＝可求得AB的长，其中n为圆心角，R为半径． 解：R＝40 mm，n＝110° ∴的长＝πR＝×40π≈76.8 mm. 因此，管道的展直长度约为76.8 mm. 探究2：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． (1)这只狗的最大活动区域有多大？ (2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？ 解：(1)如图①，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9πm2； (2)如图②，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的，即×9π＝，n°的圆心角对应的圆面积为n×＝ m2. 请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式． 【归纳结论】 S扇形＝πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角． 课件出示: 解:∵l=πR,S扇形=πR2, ∴πR2=R·πR. ∴S扇形=lR. 例2、扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)． 分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了． 解：的长＝π×12≈25.1 cm S扇形＝π×122≈150.8 cm2 因此，AB的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.8 cm2. 学生类比刚才的探索,积极思考后,与同伴交流,统一答案. 学生根据公式进行解答 学生首先独立思考两个最大区域的区别,然后与同伴交流,学生动手操作,推导扇形的面积公式. 学生观察后,尝试推导l和S之间的关系. 等学生完成后,教师出示解题过程,规范他们的步骤 利用圆的性质探索推导弧长公式,能用得出的结论进行说理,实质上是圆的有关性质的运用.并掌握用公式解决实际问题的一般思路. 让学生利用公式进行弧长的有关计算,明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切,熟练公式的应用. 引导学生自己根据已有的知识推导公式,由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难,因此引导他们采用类比的方法进行探究,这样可以让部分学生恢复解题的自信. 通过例题的解答,使学生熟练运用弧长公式和扇形面积公式,提高学生解决问题的综合能
课堂练习 1.若扇形的圆心角为90°,半径为6,则该扇形的弧长为( ) A.π B.2π C.3π D.6π 2.已知一个扇形的半径为6,弧长为2π,则这个扇形的圆心角为( ) A.30° B.60° C.90 D.120° 3.如图,AC是☉O的直径,B,D是☉O上的点,若☉O的半径为3,∠ADB=30°,则的长为 . 4.若一个扇形的半径为2 cm,面积为2π cm2,则此扇形的圆心角为 . 5.如图,扇形的圆心角为90°,半径OC=2,∠AOC=30°,CD⊥OB于点D,求阴影部分的面积. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 3.9 弧长及扇形的面积1.问题探究:2.归纳公式:3.应用练习:例题
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