(共26张PPT)
1.2.1 直角三角形的性质与判定
北师版 八年级下册
新知导入
怎样判定一个三角形是直角三角形？
定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.
你能画出一个直角三角形吗？
新知导入
直角三角形有哪些性质？
直角三角形的两个锐角互余.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
新知讲解
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.
（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
是直角三角形.
你能证明吗？
新知讲解
已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°.
求证： △ABC是直角三角形.
证明：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
证明：在△ABC中，
∵ ∠A +∠B +∠C=180°，
又∠A +∠B=90°，∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.
新知讲解
你还记得勾股定理的内容吗？
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
如果将勾股定理反过来，怎么叙述呢？
即a2+b2=c2.
新知讲解
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
我们曾用度量的办法得出这个结论.
思考：这个命题是真命题吗？为什么？
是否还有其他方法？
新知讲解
已知：如图，在△ABC中，AC2+AB2=BC2.
求证:△ABC是直角三角形．
证明：如图，作 Rt△A′B′C′，
使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，
则 A′B′2+A′C′2=B′C′2（勾股定理）.
∵ AB2+AC2=BC2，∴ BC2=B′C′2.
∴ BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
∴ ∠A=∠A′=90°（全等三角形的对应角相等）.
因此，△ABC 是直角三角形.
新知讲解
【总结归纳】
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
几何语言：
∵a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形
a
c
b
新知讲解
直角三角形的性质定理:
1.直角三角形的两个锐角互余.
2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定定理:
1.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.
【总结归纳】
新知讲解
观察上面的定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
再观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置．
新知讲解
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题
吗？
逆命题：“如果两个有理数的平方相等，那么这两个数相等”。
它是真命题吗？
不是
新知讲解
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形
互逆 定理
课堂练习
1.在△OAB中，∠O=90°，∠A=35°，则∠B=( )
A.35° B.55°
C.65° D.145°
B
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=70°，则∠A的度数为( )
A.80° B.70°
C.60° D.50°
A
课堂练习
3.具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=3∠C
D
课堂练习
4.如图，已知∠A=90°，AC=AB=8，CD=4，BD=12，
则∠ACD= .
45°
课堂练习
5. 写出下列命题的逆命题，并判断真假.
(1)对顶角相等;
(2)如果a=b，那么ac=bc;
(3)如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等.
解:(1)逆命题:如果两个角相等,那么它们是对顶角.这是假命题.
(2)逆命题:如果ac=bc,那么a=b.这是假命题.
(3)逆命题:如果一个三角形的两条边相等,那么这两条边所对的角相等.这是真命题.
拓展提高
6.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由；
解：AP＝CQ.
理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝60°. ∵∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ.
又∵BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ(SAS)．∴AP＝CQ.
拓展提高
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由.
解：△PQC是直角三角形．
理由：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a，PB＝4a，
PC＝5a(a＞0)． 在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.
又由(1)知AP＝CQ，
∴PQ2＋QC2＝PQ2＋AP2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.
∴△PQC是直角三角形．
中考链接
7.【2021江苏苏州中考】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF.若∠CFE=72°，则∠B= .
54°
中考链接
8.【2020·河北】如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6 km到达l；从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是( )
A．从点P向北偏西45°走3 km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达l
A
课堂总结
本节课你学到了什么？
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理3：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
互逆命题
互逆定理
板书设计
课题：1.2.1 直角三角形的性质与判定
教师板演区
学生展示区
一、直角三角形的性质
二、直角三角形的判定
三、互逆命题、互逆定理
作业布置
课本 P16 练习题
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北师版八年级下册数学1.2.1 直角三角形的性质与判定教学设计
课题 1.2.1直角三角形的性质与判定 单元 第一单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用； 2.进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．3.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．4.敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
重点 探索并掌握直角三角形的判别条件。
难点 运用直角三角形判别条件解题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：你能画出一个直角三角形吗？怎样判定一个三角形是直角三角形？定义：有一个是直角的三角形叫直角三角形.直角三角形有哪些性质？直角三角形的两个锐角互余.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 让学生回顾前面所学习的直角三角形的性质和判定方法，主要是从角和边上回答，并让学生回答所学习的勾股定理和逆定理的内容。 让学生复习回顾前面所学习的有关直角三角形的性质和判定，以及勾股定理和逆定理内容，为本课直角三角形的性质和判定定理的证明做准备,激发学生学习兴趣和求知欲，为新课的学习做下铺垫.
讲授新课 教师提问：（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？是直角三角形.你能证明吗？证明：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°.求证： △ABC是直角三角形.证明：在△ABC中，∵ ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形.你还记得勾股定理的内容吗？勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.如果将勾股定理反过来，怎么叙述呢？如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．思考：这个命题是真命题吗？为什么？思考：这个命题是真命题吗？为什么？是否还有其他方法？已知：如图，在△ABC中，AC2+BC2=AB2.求证:△ABC是直角三角形．证明：如图(2)，作 Rt△A′B′C′，使∠ A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，则 A′B′2+A′C′2=B′C′2（勾股定理）.∵ AB2+AC2=BC2，∴ BC2=B′C′2.∴ BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.∴ ∠A=∠A′=90°（全等三角形的对应角相等）.因此，△ABC 是直角三角形.【总结归纳】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．几何语言：∵a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形【总结归纳】直角三角形的性质定理:1.直角三角形的两个锐角互余.2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.直角三角形的判定定理:1.有两个角互余的三角形是直角三角形2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.观察上面的定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？再观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？逆命题：“如果两个有理数的平方相等，那么这两个数相等”。它是真命题吗？不是一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 让学生回答出直角三角形的两锐角关系定理和逆定理内容,并在教师的指导下,让学生自己对两个定理进行证明.让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容,对于证明学生有一定的难度,尤其是逆定理的证明,在证明时教师加以指导.找学生认真分析每组中的两个命题的条件和结论，使学生明确两者的关系，让学生自己总结出互逆命题的定义，然后让学生再分析每个互逆命题是否正确，是真命题还是假命题，从而得出互逆定理的概念。 让学生通过分析归纳总结出直角三角形的两锐角定理和其逆定理内容，并能够对定理和逆定理进行证明.本活动的设计意让学生掌握勾股定理及其逆定理的内容和证明的方法.对于勾股定理及其逆定理主要是让学生掌握其应用,因此在证明时只要求学生能够接受证明的方法和过程即可,不宜对学生提出更高的要求.通过师生的共同探究,使学生掌握互逆命题和互逆定理的定义,提高了推理及归纳能力,进一步发展学生的逻辑思维和发展演绎推理能力,同时,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到数学逻辑关系存在的必然性,掌握了对数学问题初步的推理证明方法.
课堂练习 1.在△OAB中，∠O=90°，∠A=35°，则∠B=( B )A.35° B.55° C.65° D.145°2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=70°，则∠A的度数为( A )A.80° B.70° C.60° D.50°3.具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( D )A.∠A+∠B=∠CB.∠A-∠B=∠CC.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3D.∠A=∠B=3∠C4.如图，已知∠A=90°，AC=AB=8，CD=4，BD=12，则∠ACD= 45° . 5. 写出下列命题的逆命题，并判断真假.(1)对顶角相等;(2)如果a=b，那么ac=bc;(3)如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等.解:(1)逆命题:如果两个角相等,那么它们是对顶角.这是假命题.(2)逆命题:如果ac=bc,那么a=b.这是假命题.(3)逆命题:如果一个三角形的两条边相等,那么这两条边所对的角相等.这是真命题.6.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由；解：AP＝CQ.理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝60°. ∵∠PBQ＝60°，∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ.又∵BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ(SAS)．∴AP＝CQ.(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由.解：△PQC是直角三角形．理由：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a(a＞0)． 在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.又由(1)知AP＝CQ，∴PQ2＋QC2＝PQ2＋AP2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.∴△PQC是直角三角形．7.【2021江苏苏州中考】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF.若∠CFE=72°，则∠B=54°. 8.【2020·河北】如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6 km到达l；从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是( A )A．从点P向北偏西45°走3 km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达l 先让学生自己在规定的时间内独立完成，学生做完后，教师出示答案，学生同位间互批，教师统计学生答题情况并对学生出现错误较多的题目加以强调.出现错误的学生根据答案和教师的讲解进行纠错. 检验学生对本节课的掌握情况,同时也是对本节课知识的又一次巩固和提高,也有利于下节课知识的讲解.
课堂小结 本节课你学到了什么？定理1：直角三角形的两个锐角互余；定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.定理3：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形互逆命题互逆定理 对课堂所学知识的及时总结与梳理，可以使学生对本节课所学知识形成体系，以利于学生掌握与记忆，同时也能培养学生养成反思与总结的的良好习惯。
板书 课题：1.2.1 直角三角形的性质与判定 一、直角三角形的性质二、直角三角形的判定三、互逆命题、互逆定理
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