吉林省长春11高级中学2021-2022学年高二12月第三学程考试数学试题（Word版含答案）

长春11高级中学2021-2022学年高二12月第三学程考试
数 学 试 题
注意事项：1.本试卷共22小题，满分150分.
2.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（共 80 分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法错误的是（ ）
A. 设是两个空间向量，则一定共面
B. 设是两个空间向量，则
C. 设是三个空间向量，则一定不共面
D. 设是三个空间向量，则
2.如果，那么直线不经过的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A.点在圆上 B.点在圆外 C.点在圆内 D.以上都有可能
4.河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的2倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是16，则该洞窟的浮雕像的总个数为（ ）
A.1016 B.512 C.128 D.1024
5. 若双曲线（为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（ ）
A.6 B.8 C.12 D.16
6. 设为等差数列的前项和，若，则的公差为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
7.已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆上存在两个关于直线对称的点，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知数列满足，，则数列前项和为（ ）
A. B. C. D.
10.过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，垂线与另一条渐近线相交于点.若是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
11．已知是等比数列的前项和，下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12.已知为椭圆的上顶点，以为圆心，为半径的圆与的长轴相交于两点，与相交于两点.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则椭圆的离心率为
D．若，且，则的面积为
第Ⅱ卷（共 70 分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图，已知四面体分别是的中点，且，，，则用表示向量 .
14.某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5时，水面宽8，一条木船宽4，木船露出水面上的部分高为0.75.水面上涨到与抛物线拱顶相距 米时，木船不能通过.
15.椭圆的一个焦点是，过原点作倾斜角为锐角的直线与椭圆相交于两点，若的面积是20，则直线的方程是 .
16.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知抛物线上的点到焦点的距离为6．
（1）求的值及抛物线的标准方程；
（2）若，点为抛物线上一动点，点为线段的中点，试求点的轨迹方程．
18.（12分）某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.
（1）若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润
（2）若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目
19．（12分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，分别是，的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）若是边长为2的菱形，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21．（12分）已知椭圆的中心是坐标原点，左右焦点分别为设是椭圆上一点，满足轴，，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.
（参考公式：已知的三边分别是，且内切圆的半径是，则的面积
）
22．（12分）已知数列，，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，
（i）求数列的前项和；
（ii）求．
数学答案
一、单选题：
1. C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.D 10.D
1、多选题：
11.AC 12.ABC
三、填空题：13. 14.2 15. 16.
四、解答题：
17.解：（1）由题设，抛物线准线方程为，
∴抛物线定义知：，又，解得，；或.
∴，抛物线标准方程为，或，抛物线标准方程为.（5分）
（2）由（1）和知，抛物线为，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：，即，由点Q为抛物线C上，所以，即，即，所以中点的轨迹方程为.（10分）
18.解：（1）设第年获取利润为万元，由题设知，每年的维护费用是以12为首项，4为公差的等差数列，共.（2分）
则纯获利（4分）
令，解得，.（5分）
，所以从第3年开始获取纯利润.（6分）
（2）设年平均获利为,
则
当且仅当时等号成立.
所以应在第6年投资其它项目.（12分）
19.（1）证明：设中点为，连结，，
，分别是，的中点，，且，
又，，且
，且，四边形为平行四边形，
，平面，平面，
平面.（6分）
（2）解：由题意知，，两两互相垂直，以为原点，
，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
是边长为2的菱形，为的中点，且，
，，0，，，0，，，，，，0，，
，，，，，，，，，，0，，
，，，，0，，，，，
设平面的法向量，，，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则.
直线与平面所成角的正弦值为.（12分）
20.解：（1）因为，所以当时，，所以，（1分）
当时，，所以，所以.
所以从第二项起成等比数列，所以当时，.（4分）
又因为，所以.（6分）
（2）由（1）得，，（7分）
所以，（8分）
所以
.
所以.（12分）
21.解：（1）由题意是椭圆上一点，满足轴，，离心率为．
所以，解得所以．（4分）
（2）由（1）可知，，（5分）
设直线为，由，消去得，设，，则，，所以
所以，（9分）
令内切圆的半径为，则，即，（10分）
令，则，当且仅当，，即时等号成立，所以当时，取得最大值；（12分）
22.解：（1）n=1时，，
n≥2时，，所以，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.
则，设数列的公差为d，因为，，成等比数列，
所以，解得：d=2，
则.（4分）
（2）（ⅰ）由（1）可知，，
若n为偶数，则
；
若n为奇数，则,
于是，.（8分）
（ⅱ）由题意，对，，
设的前n项和为，
所以，，则，
则
，所以，
于是，.（12分）