2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.3确定圆的条件 同步能力达标测评（Word版含答案）

2.3确定圆的条件
一．选择题（共12小题，满60分）
1．在平面直角坐标系xOy中，若P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（　　）
A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5
2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A．3π B．4π C．6π D．9π
3．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）
A．55° B．65° C．60° D．75°
4．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（　　）
A．8或6 B．10或8 C．10 D．8
5．在同一平面内，过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
6．已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，交BC于E，⊙O半径为5，AC＝6，连接OD交BC于F．则EF的长是（　　）
A．2 B．4 C．1 D．3
7．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（　　）
A． B． C．2 D．
8．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝65°，则∠BAC＝（　　）
A．15° B．25° C．35° D．45°
二．填空题
9．在同一平面内，⊙O的直径为2cm，点P到圆心O的距离是3cm，则点P与⊙O的位置关系是　 　．
10．有一张矩形的纸片，AB＝3cm，AD＝4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是　 　．
11．P是直线l上的任意一点，点A在圆O上，设OP的最小值为m，若直线l过点A，则m与OA的大小关系是　 　．
12．已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，A是OP的中点，则点A与⊙O的位置关系是点A在　 　．（填圆内、圆外或圆上）
三．解答题
13．如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点（0，3）
（1）求∠DAO的度数；
（2）求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE．
（1）求∠ACB的度数；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
15．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长．
16．（1）如图1，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，
求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的．
（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，
求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的．
参考答案
一．选择题
1．解：∵点P的坐标为（3，4），
∴OP＝＝5，
∵点P（3，4）在⊙O内，
∴OP＜r，
即r＞5．
故选：D．
2．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．
故选：D．
3．解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，
故选：B．
4．解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝＝20，
因此这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故选：B．
5．解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选：D．
6．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D，
∴∠CAD＝∠D，
∴AC∥OD，
∴OF＝3，
∵FD＝5﹣3＝2，
在RT△OFB中，BF＝，
∵OD⊥BC，
∴CF＝BF＝4，
∵AC∥OD，
∴，
∴EF＝CF＝×4＝1．
故选：C．
7．解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：A．
8．解：由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝65°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝25°，
故选：B．
二．填空题
9．解：∵⊙O的直径为2cm，
∴半径r＝1cm，
∵d＝3，且d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O外，
故答案为：点P在⊙O外．
10．解：∵矩形的纸片，AB＝3cm，AD＝4cm，
∴AC＝5cm，
∴以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围为4cm＜r＜5cm．
故答案为4cm＜r＜5cm．
11．解：因为点A在圆O上，直线l过点A，
可得：m≤OA．
故答案为：m≤OA
12．解：因为OP＝4cm，A是线段OP的中点，所以OA＝2cm，小于圆的半径，因此点A在圆内．
故答案为：圆内．
三．解答题
13．解：（1）∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠AOD＝90°，
∴∠DAO＝30°．
（2）∵D的坐标是（0，3），则OD＝3，
在直角△AOD中，OA＝OD tan∠DAO＝3，AD＝2OD＝6，
∴A的坐标是（3，0），△AOB外接圆的面积是9π．
14．（1）证明：在△AEB和△DEC中
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
又∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°；
（2）解：作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝2，
∴EF＝1，
又∵AE＝ED＝3，
∴CF＝AF＝4，
∴AC＝8，EC＝5，
∴BC＝5，
∵∠BCM＝60°，
∴∠MBC＝30°，
∴CM＝，BM＝＝，
∴AM＝AC﹣CM＝，
∴AB＝＝7．
15．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）解：连接CD，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴DB＝DC，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝4，
∴△ABC外接圆的半径为2；
（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，
∴AD＝9．
16．证明：（1）如图1，连接OA，OC；
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵点O是等边三角形ABC的外心，
∴CF＝CG＝AC，∠OFC＝∠OGC＝90°，
∴在Rt△OFC和Rt△OGC中，，
∴Rt△OFC≌Rt△OGC．
同理：Rt△OGC≌Rt△OGA．
∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，
S四边形OFCG＝2S△OFC＝S△OAC，
∴S△OAC＝S△ABC，
∴S四边形OFCG＝S△ABC．
（2）证法一：
连接OA，OB和OC，则
△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2；
设OD交BC于点F，OE交AC于点G，
∠AOC＝∠3+∠4＝120°，∠DOE＝∠5+∠4＝120°，
∴∠3＝∠5；
在△OAG和△OCF中
，
∴△OAG≌△OCF，
∴S△OAG＝S△OCF，
∴S△OAG+S△OGC＝S△OCF+S△OGC，
即S四边形OFCG＝S△OAC＝S△ABC；
证法二：
设OD交BC于点F，OE交AC于点G；
作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为H、K；
在四边形HOKC中，∠OHC＝∠OKC＝90°，∠C＝60°，
∴∠HOK＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
即∠1+∠2＝120度；
又∵∠GOF＝∠2+∠3＝120°，
∴∠1＝∠3，
∵AC＝BC，
∴OH＝OK，
∴△OGK≌△OFH，
∴S四边形OFCG＝S四边形OHCK＝S△ABC．